La ecuación básica de la bosonización

Creo que hay un error tipográfico en la primera fórmula. Permítanme proponer esta respuesta (parcial) para el$3$primeras fórmulas:

Porque$H(z)H(0) \sim -ln(z)$, podemos escribir el OPE para cualquier par de operadores$F(H), G(H)$funciones de$H$(en analogía con la fórmula$2.2.10$pag.$39$volumen$1$)

$$:F::G: = e^{- \large \int dz_1 dz_2 ln z_{12} \frac{\partial}{\partial H(z_1)}\frac{\partial}{\partial H(z_2)}} :FG:\tag{1}$$

Esto da, por$F = e^{i \epsilon_1 H(z_1)}, G = e^{i \epsilon_2 H(z_2)}$

$$:e^{i \epsilon_1 H(z_1)}::e^{i \epsilon_2 H(z_2)}: = (z_{12})^{\epsilon_1 \epsilon_2} :e^{i \epsilon_1 H(z_1)}e^{i \epsilon_2 H(z_2)}:\tag{2}$$

Entonces tenemos :

$$:e^{iH(z)}::e^{-iH(0)}:~ = \frac{1}{z}~:e^{i H(z)}e^{-i H(0)}: ~\sim \frac{1}{z}:e^{i H(0)}e^{-i H(0)}: \sim \frac{1}{z}\tag{3}$$

$$:e^{iH(z)}::e^{iH(0)}:~ = z~:e^{i H(z)}e^{i H(0)}: ~\sim z~:e^{2i H(0)}: \sim O(z)\tag{4}$$

$$:e^{-iH(z)}::e^{-iH(0)}:~ = z~:e^{-i H(z)}e^{-i H(0)}: ~\sim z~:e^{-2i H(0)}: \sim O(z)\tag{5}$$

[EDITAR]

Para la última ecuación, creo que es el mismo razonamiento que el hecho en Vol.$1$, página$173,174$, fórmulas$6.2.24$hasta$6.2.31$

[EDITAR 2]

La formula$1$, y la fórmula$(2.2.10)$no son fórmulas ad hoc. Estos son la consecuencia de una definición del ordenamiento normal y la definición de las contracciones. Estas son la consecuencia de las fórmulas generales.$2.2.5$a$2.2.9$, , por ejemplo :

$$F = :F:+ ~contractions \tag{2.2.8}$$ $$:F::G: = :FG:+ ~cross-contractions \tag{2.2.9}$$

Ahora, podemos especializarnos en campos holomorfos.$Y(z)$, de modo que$Y(z)Y(0) \sim f(z)$, y escribe :

$$:F::G: = e^{ \large \int dz_1 dz_2 f(z_{12}) \frac{\partial}{\partial Y(z_1)}\frac{\partial}{\partial Y(z_2)}} :FG:\tag{6}$$ dónde $F$y $G$son funciones de $Y$

La especialización a un campo holomorfo no cambia la lógica y el cálculo realizado en$2.2.5$a$2.2.9$