Algunas preguntas sobre la teoría de campos conformes, álgebras actuales y la construcción de Sugawara

Esta pregunta es bastante abierta. La segunda parte de esto implica la$SL(2,{\mathbb R})$subgrupo del álgebra de Virasoro. Entonces pensé que, a riesgo de dar respuestas que podrían no ser relevantes, pensé en intentar conectar esto con la teoría de Lie. El álgebra de Lie g tiene un conjunto máximo de matrices de conmutación que definen el centro de Cartan$H^i$,$i~=~1,\dots,~ rank(g)$. Estos operadores actúan sobre los restantes operadores.$E^\alpha$como$[H^i,~E^\alpha]~=~\alpha^i E^\alpha$, dónde$\alpha^i$son las raíces del álgebra. El teorema de Jacobi

$$[[H^i,~E^\alpha],~E^\beta]~+~[[E^\beta,~H^i],~E^\alpha]~+~[[E^\alpha,~E^\beta],~H^i]~=~0$$ nos permite calcular $$[E^\alpha,~E^\beta]~=~\matrix{ C(α,β)E^{α+β}~& :~\alpha~+~\beta~a~root \cr 2\alpha\cdot H/\alpha^2~& ~: \alpha~+~\beta~=~0\cr 0~& ~: otherwise}$$ La estructura constante $|C(\alpha,\beta)~=~\pm 1$y en el segundo de estos la contracción de $H^i$con la raíz $\alpha^i$es un rastro de $H^i$y se utiliza en una normalización $E^\alpha E^{-\alpha}~= 2/\alpha^2$.

Los operadores para los modos de cadena obedecen a un álgebra de Virasoro,

$${[L^{a_j},~L^{b_j}]~=~(a_j~-~b_j)L^{a_j + b_j}~+~c(a_j ,b_j ).}$$ Los generadores Virasoro se amplían según la expansión de Laurent $$L^{a_n}~=~\oint\frac{dz}{2\pi iz}z^{a_n+2}T(z),~T(z)~=~-\sum_{a_n=\infty}^\infty\frac{L^{a_n}}{z^{m+2}}.$$ Conmutadores de los generadores Virasoro $L^{-1},~L^0,~L^1$producir el $SL(2,{\mathbb R})$álgebra $$[L^0,~L^{-1}]~=~L_{-1},~[L^0,~L^1]~=~-L^1,~[L^1,~L^{-1}]~=~2L^0.$$ Esta es la misma forma que la $SU(2)$álgebra para los operadores de momento angular $L_\pm,~L_z$, pero no es compacto.

Un conmutador general de un elemento.$T^a~=~T^a(z)$en el espacio vectorial de un álgebra de Lie obedece$[T^a,~T^b]~=~iC^{ab}_cT^c$. El producto interno de estos elementos define un elemento positivo.$\langle T^a,~T^b\rangle~=~h^{ab}$. Esto sirve como una métrica en el espacio vectorial del álgebra de Lie. Esto define una regla

$$\langle[T^a,~T^b],~T^c\rangle~+~\langle T^b,~[T^a,~T^c]\rangle~=~0.$$ Entonces la métrica $h^{ab}$definido en alguna representación, $r$, de elemento de matriz $t^a_r$luego da el resultado del lema de Schur $tr(t^a_rt^b_r)~=~T_rh^{ab}$. Esto da además la definición del número de Coxeter cox(g) $$-\sum_{cd}C^{ac}_dC^{bd}_c~=~cox(g)(α_L)^2h^{ab}$$ para $\alpha_L$cualquier raíz larga.

Con algunos de estos conceptos básicos algebraicos de Lie, se pueden encontrar expansiones de producción de operador descendente (OPE). El operador de vértice bosónico para la cadena heterótica es de la forma$j(z)\phi^i({\bar z})exp(ik\cot X)$, para$X$la hoja del mundo de las cuerdas. Un operador de vértice bosónico de calibre es similar$j(z){\bar\partial}X^i({\bar z})exp(ik\cdot X)$. La corriente es holomorfa en el complejo.$z$, y la energía de tensión construida a partir de corrientes para ser conforme también debe ser holomorfa. La forma más básica de un OPE es el$(1,0)$corriente holomorfa es

$$j^aj^b~\sim~ k^{ab}/z^2~+~i(c^{ab}_c/z)f^c(0).$$ El contenido algebraico se encuentra tomando la expansión de Laurent de la actual $$j^a(z)~=~\sum_{m=-\infty}^∞\frac{j^a_m}{z^{m+1}},$$ donde los coeficientes actuales satisfacen un álgebra de Lie $$[j^a_m,~j^b_n]~=~mk^{ab}\delta_{m,-n}~+~iC^{ab}_cj^c_{m+n},$$ que es un álgebra de Virasoro. los coeficientes $k^{ab}~=~kh^{ab}$. Para $m = 0,\pm 1$el álgebra de Virasoro obedece a un álgebra cerrada de conmutadores $$[j^a_0,~j^b_{\pm1}]~=~ic^{ab}_cj^c_{\pm 1},~ [j^a_1,~ j^b_{-1}]~=~2J_0,$$ que es un $SU(2)$álgebra de los elementos $2\alpha\cdot H/\alpha^2$, $E^\alphaα_0$, $E^{-\alpha}_0$, o los elementos $(2\alpha\cdot H~+~k)/\alpha^2$, $E^\alpha_1 E^{-\alpha}_{-1}$. Entonces conectamos con la construcción algebraica de Lie anterior. El número de Coxeter anterior define un estrés-energía OPE $$T~=~[(k~+~cox(g))(\alpha_L)^2]^{-1}:jj(z):$$ Con : : significa una normalización. Con trabajo adicional, el álgebra actual del sistema construye expansiones OPE para términos relevantes. De esta manera se puede construir una tensión-energía consistente conforme.