Operación binaria ab+a definida en Q. ¿Es un grupo?

Una operación binaria ∗ se define en Q tal que a∗b=ab+a. ¿Es un grupo? Creo que es asociativo y el elemento de identidad es 0, pero ¿qué pasa con el elemento inverso? ¿Tengo razón al pensar que para todo a es -1?

Respuestas (4)

No es un grupo, ya que

a ∗ a = a ⟺ a 2 + a = a ⟺ a = 0.
Entonces, solo 0 puede ser el elemento de identidad. Pero 0 ∗ 1 = 0 ≠ 1 . Entonces, ( q , ∗ ) no tiene elemento de identidad.

No estoy seguro de entender lo que dices con esa parte :( Sé cuando se trata del elemento de identidad a e=e a=a , así que estoy pensando en a e= ae+a, ahí es donde Obtengo que el elemento de identidad es 0.
Si ( GRAMO , ∗ ) es un grupo, entonces la ecuación gramo ∗ gramo = gramo tiene una y sólo una solución en GRAMO , que es el elemento de identidad mi de GRAMO . En tu caso, probé que esa ecuación tiene efectivamente una y sólo una solución (es 0 ) pero luego probé que esa solución no es un elemento de identidad. Entonces, ( q , ∗ ) no tiene elemento de identidad.
Entonces, ¿se supone que ya no debo usar el hecho de que a b = ab + a (entonces a * 0 + a = a) y solo usar a b (a * 0 = 0) , como lo hiciste?
Otra forma de demostrar que no hay identidad es: a ∗ mi = a ⇝ a mi + a = a ⇝ a mi = 0 ⇝ mi = 0 pero taponando mi = 0 al revés: mi ∗ a = 0 a + 0 = 0 entonces a ∗ 0 ≠ 0 ∗ a y entonces 0 no puede ser la identidad después de todo.
¡ Pero usé ese hecho! Desde a ∗ b = a b + a , la ecuacion a ∗ a = a se convierte a 2 + a = a .
Oh, espera, ¿el punto es que volteas los números? En lugar de 1*0 es 0*1?
No, no volteé ningún número. Todo lo que hice fue esto: si 0 era de hecho el elemento de identidad, entonces tendríamos 0 ∗ q = q para cada q ∈ q . Pero no tenemos eso, ya que 0 ∗ 1 = 0 ≠ 1 .
Lo siento, creo que usé la palabra incorrecta. Pero, ¿qué quise decir que si funciona para q*0, como q*0= q*0+q=q, también tiene que funcionar para 0*q, y no funciona porque 0*q+0=0? Gracias por su paciencia.
No, no tiene que funcionar para 0 ∗ q también, ya que su operación binaria no es conmutativa.
bueno, la regla para el elemento identidad/neutro es que existe un elemento e en el grupo G, tal que para todo a: ae=ea=a, o eso pensaba, al menos eso es lo que tengo en mi ex.book . Además, cuando dices 0*1=0, ¿usas 0*1=0*1+0? ¿O eso ya no es relevante?
Lo que usé fue el hecho de que 0 ∗ 1 = 0 × 1 + 0 .

La operación binaria no es asociativa. a ∗ ( b ∗ C ) = a ∗ ( b C + b ) = a ( b C + b ) + a = a b C + a b + a ( a ∗ b ) ∗ C = ( a b + a ) ∗ C = ( a b + a ) C + ( a b + a ) = a b C + a C + a b + a que no tiene por qué ser igual en general. Por ejemplo, tome a = b = C = 1 entonces a ∗ ( b ∗ C ) = 3 y ( a ∗ b ) ∗ C = 4 .

¡Oh, gracias! Tenía todo esto tan mal. Entonces, cuando llego a, por ejemplo, a*(bc+b) una vez más, tengo que hacer la operación con a*b=ab+a en mente, ahí es donde obtienes a(bc+b) + otra a de ?
Todavía no estoy seguro de dónde (ab+a)*c obtenemos (ab+a)c+(ab+b). ¿De dónde viene eso (ab+b)? ¿O fue un error tipográfico y se supone que es (ab+a)?
Eso fue un error tipográfico. El caso es que verifiques la no asociatividad de esta operación binaria.
“Que no necesita ser igual en general”... bien, entonces muestra un ejemplo explícito de que no es igual. A veces las cosas no parecen iguales pero en realidad lo son.
Tome a, b y c como 1.
Sin mencionar: la diferencia entre ellos es a C . Serán iguales si y sólo si a C = 0 si y solo si a = 0 o C = 0 . Realmente no creo que un ejemplo explícito fuera nesc.

Esto no es un grupo; hay una identidad correcta, que es 0 :

a ∗ 0 = a 0 + a = a
y todo elemento tiene un inverso derecho, que es − 1 para todos a
a ∗ ( − 1 ) = a ( − 1 ) + a = 0
pero el hecho de que el mismo elemento funcione como un inverso derecho para todos ya te dice que esto no puede ser un grupo (si X − 1 = y − 1 en grupo entonces X = y ).

De hecho, la operación no es asociativa, ya que por ejemplo:

( 3 ∗ 2 ) ∗ 1 = ( 6 + 3 ) + 9 = 18
pero
3 ∗ ( 2 ∗ 1 ) = 3 ( 2 + 2 ) + 3 = 15
(entre muchas otras posibilidades).

Además, la identidad de derecha no es una identidad de izquierda, ya que 0 ∗ a = 0 a + 0 = 0 , que no será igual a para todos a ≠ 0 ; y si te dan a , entonces X ∗ a = 0 requiere 0 = X a + X = X ( a + 1 ) , tan solo a = − 1 tiene inversa izquierda.

Entonces, este es un magma con una identidad correcta e inversas correctas, pero no un grupo.

No me parece asociativo y a ∗ ( b ∗ C ) = a ∗ ( b C + b ) = a b C + a b + a y ( a ∗ b ) ∗ C = ( a b + a ) ∗ C = ( a b + a ) C + ( a b + a ) = a b C + a C + a b + a que por supuesto no siempre son iguales.

Para encontrar una identidad debemos encontrar un X para que 1) a ∗ X = a X + a = a siempre y 2) X ∗ a = X ∗ a + X = a siempre.

La solución de 1) es a X = 0 entonces X = 0 para todos a . Pero la solución a 2) es X ( a + 1 ) = a y si a ≠ 1 entonces X = a a + 1 que no es un valor consistente para cada a . Así que hay una identidad correcta pero no una identidad.

Para encontrar un inverso derecho a la identidad derecha (No tiene sentido encontrar un inverso izquierdo a una identidad derecha porque nunca podríamos usar eso para resolver nada --- aunque como ∗ no es asociativo, no tiene sentido encontrar un inverso en absoluto porque solo podemos usar inversos para resolver cosas cuando ∗ es asociativo) debemos resolver a ∗ X = a X + a = 0 entonces X = − 1 . Lo cual es interesante porque podemos usarlo para resolver a y = C porque aunque ( a y ) ∗ − 1 = C ∗ ( − 1 ) es cierto y a ( y ∗ − 1 ) = a ∗ 0 = a es cierto y no es cierto que ( a y ) ∗ − 1 = a ( y ∗ − 1 ) , y también C ∗ ( − 1 ) = 0 así que esto nunca resolverá nada.

Así que no, no es un grupo.

Oh, qué diablos para encontrar una identidad izquierda inversa a la derecha.... X ∗ a = 0 medio X a + X = 0 y X ( a + 1 ) = 0 entonces X = 0 .

a ≠ 1 debiera ser a ≠ − 1 en el tercer párrafo.
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