Teorema de la curva de Jordan (prueba de Maehara)

Un isomorfismo es la categoría topológica que generalmente se llama homeomorfismo, y no existe un homeomorfismo.$h:S^1 \to \mathbb{R}^2$(por ejemplo, el primero es compacto y el segundo no); podríamos hablar de algo así como una incrustación (topológica), etc.

De todos modos, estás preguntando si los homeomorfismos conservan los componentes conectados. Eso es cierto: un homeomorfismo$f:X \to Y$induce una biyección entre el conjunto de componentes conexas de$X$y el conjunto de componentes conexas de$Y$. (Esto generalmente se escribe en términos del objeto$\pi_0$, pero voy a trabajar directamente a partir de las definiciones aquí.) Un componente conectado de$X$son aquellos subespacios conexos de$X$que son máximos con respecto a la inclusión, y los homeomorfismos preservan la conexión y respetan la inclusión. Esto último es claro; para el primero, tenga en cuenta que un espacio conexo es exactamente uno que no contiene subconjuntos propios que son cerrados y abiertos, y los homeomorfismos conservan todas esas condiciones.