Obtener la matriz de impulso arbitraria de una transformación de similitud

Question

Obtener la matriz de impulso arbitraria de una transformación de similitud

dsm

Nota : para la siguiente pregunta estoy usando el no estándar $(x,y,z,ct)$ notación.

Quiero representar un impulso arbitrario en el $\hat{\beta}$ dirección haciendo una transformación de similitud en el cuadro impulsado en el $z$ dirección a un marco con ejes $\{{r_1,r_2,\hat{\beta}}\}$ , permitiendo $r_1$ y $r_2$ ser cualesquiera dos vectores ortonormales entre sí, así como ortogonales a $\hat{\beta}$ . Entonces, la matriz de impulso y la matriz de transformación son, respectivamente,

L = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & γ & - γ β \\ 0 & 0 & - γ β & γ \end{matrix})

$L=\pmatrix{1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&\gamma&-\gamma\beta\\0&0&-\gamma\beta&\gamma}$

R = (\begin{matrix} X \cdot r_{1} & y \cdot r_{1} & z \cdot r_{1} & 0 \\ X \cdot r_{2} & y \cdot r_{2} & z \cdot r_{2} & 0 \\ X \cdot \hat{β} & y \cdot \hat{β} & z \cdot \hat{β} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} r_{1 X} & r_{1 y} & r_{1 z} & 0 \\ r_{2 X} & r_{2 y} & r_{2 z} & 0 \\ β_{X} / β & β_{y} / β & β_{z} / β & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})

$R = \pmatrix{x\cdot r_1&y\cdot r_1&z\cdot r_1&0\\x\cdot r_2&y\cdot r_2&z\cdot r_2&0\\x\cdot\hat{\beta}&y\cdot\hat{\beta}&z\cdot\hat{\beta}&0\\0&0&0&1} = \pmatrix{r_{1x}&r_{1y}&r_{1z}&0\\r_{2x}&r_{2y}&r_{2z}&0\\\beta_{x}/\beta&\beta_{y}/\beta&\beta_{z}/\beta&0\\0&0&0&1}$

Realizando la transformación de semejanza,

\tilde{L} = R L R^{T} = (\begin{matrix} r_{1 X}^{2} + r_{1 y}^{2} + γ r_{1 z}^{2} & r_{1 X} r_{2 X} + r_{1 y} r_{2 y} + γ r_{1 z} r_{2 z} & (r_{1 X} β_{X} + r_{1 y} β_{y} + γ r_{1 z} β_{z}) / β & - γ r_{1 z} β \\ r_{1 X} r_{2 X} + r_{1 y} r_{2 y} + γ r_{1 z} r_{2 z} & r_{2 X}^{2} + r_{2 y}^{2} + γ r_{2 z}^{2} & (r_{2 X} β_{X} + r_{2 y} β_{y} + γ r_{2 z} β_{z}) / β & - γ r_{2 z} β \\ (r_{1 X} β_{X} + r_{1 y} β_{y} + γ r_{1 z} β_{z}) / β & (r_{2 X} β_{X} + r_{2 y} β_{y} + γ r_{2 z} β_{z}) / β & (β_{X}^{2} + β_{y}^{2} + γ β_{z}^{2}) / β^{2} & - γ β_{z} \\ - γ r_{1 z} β & - γ r_{2 z} β & - γ β_{z} & γ \end{matrix})

$\tilde{L}=RLR^T=\pmatrix{r_{1x}^2+r_{1y}^2+\gamma r_{1z}^2&r_{1x}r_{2x}+r_{1y}r_{2y}+\gamma r_{1z}r_{2z}&(r_{1x}\beta_{x}+r_{1y}\beta_{y}+\gamma r_{1z}\beta_{z})/\beta&-\gamma r_{1z}\beta\\r_{1x}r_{2x}+r_{1y}r_{2y}+\gamma r_{1z}r_{2z}&r_{2x}^2+r_{2y}^2+\gamma r_{2z}^2&(r_{2x}\beta_{x}+r_{2y}\beta_{y}+\gamma r_{2z}\beta_{z})/\beta&-\gamma r_{2z}\beta\\(r_{1x}\beta_{x}+r_{1y}\beta_{y}+\gamma r_{1z}\beta_{z})/\beta&(r_{2x}\beta_{x}+r_{2y}\beta_{y}+\gamma r_{2z}\beta_{z})/\beta&(\beta_x^2+\beta_y^2+\gamma\beta_z^2)/\beta^2&-\gamma\beta_z\\-\gamma r_{1z}\beta&-\gamma r_{2z}\beta&-\gamma\beta_z&\gamma}$

Utilizando la ortogonalidad mutua para eliminar todos los componentes de la $r$ es excepto $r_{1z}$ y $r_{2z}$ da como resultado

\tilde{L} = (\begin{matrix} 1 + r_{1 z}^{2} (γ - 1) & r_{1 z} r_{2 z} (γ - 1) & r_{1 z} β_{z} (γ - 1) / β & - γ β r_{1 z} \\ r_{1 z} r_{2 z} (γ - 1) & 1 + r_{2 z}^{2} (γ - 1) & r_{2 z} β_{z} (γ - 1) / β & - γ β r_{2 z} \\ r_{1 z} β_{z} (γ - 1) / β & r_{2 z} β_{z} (γ - 1) / β & 1 + β_{z}^{2} (γ - 1) / β^{2} & - γ β_{z} \\ - γ β r_{1 z} & - γ β r_{2 z} & - γ β_{z} & γ \end{matrix})

$\tilde{L}=\pmatrix{1+r_{1z}^2(\gamma-1)&r_{1z}r_{2z}(\gamma-1)&r_{1z}\beta_z(\gamma-1)/\beta&-\gamma\beta r_{1z}\\r_{1z}r_{2z}(\gamma-1)&1+r_{2z}^2(\gamma-1)&r_{2z}\beta_z(\gamma-1)/\beta&-\gamma\beta r_{2z}\\r_{1z}\beta_z(\gamma-1)/\beta&r_{2z}\beta_z(\gamma-1)/\beta&1+\beta_z^2(\gamma-1)/\beta^2&-\gamma\beta_z\\-\gamma\beta r_{1z}&-\gamma\beta r_{2z}&-\gamma\beta_z&\gamma}$

Y el resultado final deseado del ejercicio es

\tilde{L} = R L R^{T} = (\begin{matrix} 1 + \frac{β_{X}^{2} (γ - 1)}{β^{2}} & \frac{β_{X} β_{y} (γ - 1)}{β^{2}} & \frac{β_{X} β_{z} (γ - 1)}{β^{2}} & - β_{X} γ \\ \frac{β_{X} β_{y} (γ - 1)}{β^{2}} & 1 + \frac{β_{y}^{2} (γ - 1)}{β^{2}} & \frac{β_{y} β_{z} (γ - 1)}{β^{2}} & - β_{y} γ \\ \frac{β_{X} β_{z} (γ - 1)}{β^{2}} & \frac{β_{y} β_{z} (γ - 1)}{β^{2}} & 1 + \frac{β_{z}^{2} (γ - 1)}{β^{2}} & - β_{z} γ \\ - β_{X} γ & - β_{y} γ & - β_{z} γ & γ \end{matrix})

$\tilde{L} = RLR^T = \pmatrix{1+\frac{\beta_{x}^2(\gamma-1)}{\beta^2}&\frac{\beta_{x}\beta_{y}(\gamma-1)}{\beta^2}&\frac{\beta_{x}\beta_{z}(\gamma-1)}{\beta^2}&-\beta_{x}\gamma\\\frac{\beta_{x}\beta_{y}(\gamma-1)}{\beta^2}&1+\frac{\beta_{y}^2(\gamma-1)}{\beta^2}&\frac{\beta_{y}\beta_{z}(\gamma-1)}{\beta^2}&-\beta_y\gamma\\\frac{\beta_{x}\beta_{z}(\gamma-1)}{\beta^2}&\frac{\beta_{y}\beta_{z}(\gamma-1)}{\beta^2}&1+\frac{\beta_{z}^2(\gamma-1)}{\beta^2}&-\beta_z\gamma\\-\beta_x\gamma&-\beta_y\gamma&-\beta_z\gamma&\gamma}$

Mi confusión: el ejercicio dice $r_1$ y $r_2$ ser dos vectores ortonormales, pero específicamente necesito que tengan sus $z$ -los componentes sean $r_{1z}=\beta_x/\beta$ y $r_{2z}=\beta_y/\beta$ para llegar a un acuerdo con la matriz anterior. ¿Cómo estoy haciendo esto de manera incorrecta para que el resultado dependa de estos $z$ -componentes de $r_1$ y $r_2$ ? Tal vez se supone que debo utilizar la invariancia del determinante bajo transformaciones de similitud, $|\tilde{L}|=|L|$ , para eliminar uno más de esos $z$ -componentes? Eso parece una pesadilla algebraica, y dado que mi matriz tiene una forma tan parecida, no creo que sea el enfoque correcto.

Cineed Simson

En la transformación de semejanza, el determinado de

L

$L$ debe ser igual al determinado de

\tilde{L} .

$\tilde{L}.$ Y tal vez entendí mal el problema, pero ¿no es un impulso de Lorentz en el

z

$z$ dirección

L = [\begin{matrix} γ & 0 & 0 & - β γ \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ - β γ & 0 & 0 & γ \end{matrix}]

$L=\begin{bmatrix} \gamma & 0 & 0 & -\beta\gamma \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -\beta\gamma & 0 & 0 & \gamma \\ \end{bmatrix}$

Cineed Simson

Me acabo de dar cuenta del pedido de su

4

$4$ -los componentes de los vectores no son estándar; los está escribiendo como:

[\begin{array}{cccc} X \\ y \\ z \\ t \end{array}]

$\left[ \begin {array}{cccc} {\it x} \\ y\\ z \\ t\end {array} \right]$ El pedido estándar de la

4

$4$ -componentes vectoriales es:

[\begin{array}{cccc} t \\ X \\ y \\ z \end{array}]

$\left[ \begin {array}{cccc} {\it t} \\ x\\ y\\ z\end {array} \right]$ Realmente no importa, pero es posible que desee tener esto en cuenta al publicar preguntas.

Cineed Simson

Realmente no entiendo lo que estás haciendo. Esta es la matriz para un impulso de Lorentz arbitrario usando vectores perpendiculares y paralelos:

L = [\begin{matrix} I + \frac{γ - 1}{{\vec{v}}^{2}} \vec{v} {\vec{v}}^{T} & γ {\vec{v}}^{T} \\ γ {\vec{v}}^{T} & γ \end{matrix}]

$L=\begin{bmatrix} I+\frac{\gamma-1}{\vec{v}^2}\,\vec v \,\vec{v}^T & \gamma \,\vec{v}^T \\ \gamma\vec{v}^T &\gamma \end{bmatrix}$ Si lo expande, debe coincidir con el resultado deseado del ejercicio, usando su

4

$4$ -notacion vectorial. Y si configuras el

β_{x} = β_{y} = 0

$\beta_{x}=\beta_{y}=0$ entonces deberías poder recuperar el impulso de Lorentz en el

z

$z$ dirección.

dsm

Hola @CinaedSimson. Sí, debí haber aclarado que estoy trabajando en el

(x, y, z, c t)

$(x,y,z,ct)$ convención (edité mi publicación para incluir eso). Entiendo la forma de una matriz de impulso arbitraria, lo que estoy tratando de ver es cómo no requiere que tenga

r_{1 z}

$r_{1z}$ y

r_{2 z}

$r_{2z}$ ser esos valores específicos.

Cineed Simson

Bien, deja

{\vec{r}}^{^{'}} = {\vec{r}}_{⊥} + {\vec{r}}_{∥}

$\vec r^{'}=\vec r_{\perp}+\vec r_{\parallel}$ y

\vec{r} \cdot \vec{v} = r_{∥} v

$\vec r\cdot \vec v=r_{\parallel}v$ . Entonces

t^{^{'}} = γ (t - \frac{\vec{r} \cdot \vec{v}}{C^{2}})

$t^{'}=\gamma(t-\frac{\vec r\cdot \vec v}{c^{2}})$

{\vec{r}}^{^{'}} = {\vec{r}}_{⊥} + (γ - 1) {\vec{r}}_{∥} - γ \vec{v} t

$\vec r^{'}=\vec r_{\perp}+(\gamma-1) \vec r_{\parallel}-\gamma \vec vt$ . Sustituto,

{\vec{r}}_{⊥} = \vec{r} - {\vec{r}}_{∥}

$\vec r_{\perp}=\vec r-\vec r_{\parallel}$ , y

{\vec{r}}_{∥} = (\frac{\vec{r} \cdot \vec{v}}{v}) \frac{\vec{v}}{v}

$\vec r_{\parallel}=(\frac{\vec r\cdot \vec v}{v})\frac{\vec v}{v}$ - dónde

\vec{r} \cdot \vec{v}

$\vec r\cdot \vec v$ es la proyección de

\vec{r}

$\vec r$ sobre

\vec{v}

$\vec v$ , y

\frac{\vec{v}}{v}

$\frac{\vec v}{v}$ es un vector unitario - en

{\vec{r}}^{^{'}}

$\vec r^{'}$ . Por eso,

{\vec{r}}^{^{'}} = \vec{r} + (\frac{γ - 1}{v^{2}} \vec{r} \cdot \vec{v} - γ t) \vec{v}

$\vec r^{'}=\vec r+(\frac{\gamma-1}{v^{2}}\vec r\cdot \vec v-\gamma t)\vec v$ .

dsm

@CinaedSimson Lo siento, pero no estoy del todo seguro de cómo eso es relevante para mi pregunta. Estoy tratando de eliminar toda dependencia de las direcciones ortogonales en mi matriz de impulso general para obtener la matriz final que anoté (con una transformación de similitud). Está casi allí.

Cineed Simson

Estas son las ecuaciones vectoriales para una transformación de Lorentz arbitraria de

r \to r^{^{'}}

$r \rightarrow r^{'}$ :

{\vec{r}}^{^{'}} = \vec{r} + (\frac{γ - 1}{v^{2}} \vec{r} \cdot \vec{v} - γ t) \vec{v}

$\vec r^{'}=\vec r+(\frac{\gamma-1}{v^{2}}\vec r\cdot \vec v-\gamma t)\vec v$

t^{^{'}} = γ (t - \frac{\vec{r} \cdot \vec{v}}{C^{2}})

$t^{'}=\gamma(t-\frac{\vec r\cdot \vec v}{c^{2}})$ Convertirlos en una matriz para compararlos con el resultado deseado se deja como un ejercicio para usted.

dsm

@CinaedSimson Mi pregunta no es cómo convertir la transformación arbitraria de Lorentz en una matriz, lo entiendo. Obtiene la matriz de impulso arbitraria de una transformación de similitud . Agradezco el aporte, pero, nuevamente, todo lo que pido es una aclaración sobre el último paso de mi pregunta. Tal vez la forma en que lo he preguntado es demasiado difícil de entender.

dsm

@ArtBrown ¡Ah, sí, gracias!

Frobenius

Una transformación de similitud, que es una rotación en el espacio, tiene significado entre marcos en reposo entre sí. Entonces deja

S \equiv O x y z t

$\;\mathrm S\boldsymbol{\equiv}Oxyzt\:$ tu marco inicial,

S_{α} \equiv O_{α} x y z_{α} t_{α}

$\;\mathrm S_{\alpha}\boldsymbol{\equiv}O_{\alpha}xyz_{\alpha}t_{\alpha}\:$ el marco impulsado en el

z -

$z-$ dirección y

S_{β} \equiv O_{β} x_{β} y_{β} z_{β} t_{β}

$\;\mathrm S_{\beta}\boldsymbol{\equiv}O_{\beta}x_{\beta}y_{\beta}z_{\beta}t_{\beta}\:$ el marco impulsado en el

\hat{β} -

$\hat{\beta}-$ dirección. Para hacer una rotación en el espacio desde

S_{α}

$\;\mathrm S_{\alpha}\:$ a

S_{β}

$\;\mathrm S_{\beta}\:$ estos marcos deben estar en reposo entre sí, pero....

Frobenius

...esto es imposible si

\hat{β} (\equiv \hat{z_{β}}) \neq \hat{z}

$\hat{\beta}(\equiv \hat{z_{\beta}})\boldsymbol{\ne}\hat{z}$ .

Frobenius

La matriz de Lorentz dada como

\tilde{L}

$\;\tilde{L}\;$ en su pregunta, idéntica a la dada en un comentario de @Cinaed Simson

L = [\begin{matrix} I + \frac{γ - 1}{{\vec{v}}^{2}} \vec{v} {\vec{v}}^{T} & γ {\vec{v}}^{T} \\ γ {\vec{v}}^{T} & γ \end{matrix}]

$L=\begin{bmatrix} I+\frac{\gamma-1}{\vec{v}^2}\,\vec v \,\vec{v}^T & \gamma \,\vec{v}^T \\ \gamma\vec{v}^T &\gamma \end{bmatrix}$ no es válido para configuraciones arbitrarias, pero para lo que llamo Configuración estándar , consulte, por ejemplo, la Figura 01 en mi respuesta aquí: ¿Es un error tipográfico en la derivación de la interacción espín-órbita de David Tong? .

Frobenius

... o la Figura-01 en mi respuesta aquí: cuando calculamos el momento angular relativista de una partícula en la dirección del eje z, ¿qué masa relativista debemos usar? .

Frobenius

Para ver cómo se prueba esta Configuración Estándar general a partir de la conocida Configuración Estándar en el

x -

$x-$ eje, consulte la SECCIÓN B en mi respuesta aquí (como 'user82794' en el pasado): dos conjuntos de coordenadas, cada uno en los marcos O y O ′ (transformación de Lorentz)

Cineed Simson

Una transformación de semejanza es la transformación de un campo que ocurre después de la

4

$4$ -el vector ha sido transformado por Lorentz. Y dado que pareces estar actuando al menos

2

$2$ impulso puro en

2

$2$ diferentes direcciones - y posiblemente con

2

$2$ diferentes velocidades, los marcos de Lorentz habrían precedido, y no puede volver al marco original sin un impulso compuesto y un separado

3

$3$ rotación del espacio d. Consulte Thomas Precession " en.wikipedia.org/wiki/Thomas_precession " y los comentarios de @Frobenius.

Frobenius

@Cinaed Simson: En mi opinión, su comentario aclaratorio anterior debe ser una pista en una respuesta. Por cierto, dos transformaciones de Lorentz (simétricas) sucesivas en dos direcciones diferentes dan una transformación de Lorentz (simétrica) y una rotación de Thomas (o Wigner) (estática), no una precesión (movimiento). Además, tenemos una contradicción aquí: creo que OP daría la recompensa +50 por una respuesta completa aceptada, pero para la última no está permitido que sea completa ya que la moderación la ha etiquetado como tarea y ejercicios .

dsm

@Frobenius Gracias por la entrada. No estoy seguro de entender su comentario acerca de que la rotación es imposible si

\hat{β} \neq \hat{z}

$\hat{\beta}\neq\hat{z}$ , puedes aclarar? ¿Estás diciendo que el problema es fundamentalmente defectuoso? El punto es mirar

\hat{β} \neq \hat{z}

$\hat{\beta}\neq\hat{z}$ , con por supuesto el

\hat{β} = \hat{z}

$\hat{\beta}=\hat{z}$ satisfecho como un caso específico. Este es el ejercicio en cuestión. yo estoy incrustando

R

$R$ en

S O (3, 1)_{o}

$SO(3,1)_o$ , ¿cambia esto tu imposibilidad?

dsm

@CinaedSimson ¿Puede aclarar cómo estoy "realizando al menos 2 impulsos puros en 2 direcciones diferentes, y posiblemente con 2 velocidades diferentes"? El objetivo completo de este problema, o eso pensé, era solo ver el

z

$z$ boost como uno arbitrario girando a un marco diferente que tiene

\hat{β}

$\hat{\beta}$ como su

z

$z$ -eje. Por lo tanto, un impulso puro visto arbitrariamente. Lamento haber alargado esto tanto tiempo, ya no estoy seguro de lo que espero obtener de este enfoque.

Respuestas (2)

Obtener la matriz de impulso arbitraria de una transformación de similitud

En la transformación de semejanza, el determinado de $L$ debe ser igual al determinado de $\tilde{L}.$ Y tal vez entendí mal el problema, pero ¿no es un impulso de Lorentz en el $z$ dirección $L = [\begin{matrix} γ & 0 & 0 & - β γ \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ - β γ & 0 & 0 & γ \end{matrix}]$ $L=\begin{bmatrix} \gamma & 0 & 0 & -\beta\gamma \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -\beta\gamma & 0 & 0 & \gamma \\ \end{bmatrix}$
Me acabo de dar cuenta del pedido de su $4$ -los componentes de los vectores no son estándar; los está escribiendo como: $[\begin{array}{cccc} X \\ y \\ z \\ t \end{array}]$ $\left[ \begin {array}{cccc} {\it x} \\ y\\ z \\ t\end {array} \right]$ El pedido estándar de la $4$ -componentes vectoriales es: $[\begin{array}{cccc} t \\ X \\ y \\ z \end{array}]$ $\left[ \begin {array}{cccc} {\it t} \\ x\\ y\\ z\end {array} \right]$ Realmente no importa, pero es posible que desee tener esto en cuenta al publicar preguntas.
Realmente no entiendo lo que estás haciendo. Esta es la matriz para un impulso de Lorentz arbitrario usando vectores perpendiculares y paralelos: $L = [\begin{matrix} I + \frac{γ - 1}{{\vec{v}}^{2}} \vec{v} {\vec{v}}^{T} & γ {\vec{v}}^{T} \\ γ {\vec{v}}^{T} & γ \end{matrix}]$ $L=\begin{bmatrix} I+\frac{\gamma-1}{\vec{v}^2}\,\vec v \,\vec{v}^T & \gamma \,\vec{v}^T \\ \gamma\vec{v}^T &\gamma \end{bmatrix}$ Si lo expande, debe coincidir con el resultado deseado del ejercicio, usando su $4$ -notacion vectorial. Y si configuras el $\beta_{x}=\beta_{y}=0$ entonces deberías poder recuperar el impulso de Lorentz en el $z$ dirección.
Hola @CinaedSimson. Sí, debí haber aclarado que estoy trabajando en el $(x,y,z,ct)$ convención (edité mi publicación para incluir eso). Entiendo la forma de una matriz de impulso arbitraria, lo que estoy tratando de ver es cómo no requiere que tenga $r_{1z}$ y $r_{2z}$ ser esos valores específicos.
Bien, deja $\vec r^{'}=\vec r_{\perp}+\vec r_{\parallel}$ y $\vec r\cdot \vec v=r_{\parallel}v$ . Entonces $t^{^{'}} = γ (t - \frac{\vec{r} \cdot \vec{v}}{C^{2}})$ $t^{'}=\gamma(t-\frac{\vec r\cdot \vec v}{c^{2}})$ ${\vec{r}}^{^{'}} = {\vec{r}}_{⊥} + (γ - 1) {\vec{r}}_{∥} - γ \vec{v} t$ $\vec r^{'}=\vec r_{\perp}+(\gamma-1) \vec r_{\parallel}-\gamma \vec vt$ . Sustituto, $\vec r_{\perp}=\vec r-\vec r_{\parallel}$ , y $\vec r_{\parallel}=(\frac{\vec r\cdot \vec v}{v})\frac{\vec v}{v}$ - dónde $\vec r\cdot \vec v$ es la proyección de $\vec r$ sobre $\vec v$ , y $\frac{\vec v}{v}$ es un vector unitario - en $\vec r^{'}$ . Por eso, $\vec r^{'}=\vec r+(\frac{\gamma-1}{v^{2}}\vec r\cdot \vec v-\gamma t)\vec v$ .
@CinaedSimson Lo siento, pero no estoy del todo seguro de cómo eso es relevante para mi pregunta. Estoy tratando de eliminar toda dependencia de las direcciones ortogonales en mi matriz de impulso general para obtener la matriz final que anoté (con una transformación de similitud). Está casi allí.
Estas son las ecuaciones vectoriales para una transformación de Lorentz arbitraria de $r \rightarrow r^{'}$ : ${\vec{r}}^{^{'}} = \vec{r} + (\frac{γ - 1}{v^{2}} \vec{r} \cdot \vec{v} - γ t) \vec{v}$ $\vec r^{'}=\vec r+(\frac{\gamma-1}{v^{2}}\vec r\cdot \vec v-\gamma t)\vec v$ $t^{^{'}} = γ (t - \frac{\vec{r} \cdot \vec{v}}{C^{2}})$ $t^{'}=\gamma(t-\frac{\vec r\cdot \vec v}{c^{2}})$ Convertirlos en una matriz para compararlos con el resultado deseado se deja como un ejercicio para usted.
@CinaedSimson Mi pregunta no es cómo convertir la transformación arbitraria de Lorentz en una matriz, lo entiendo. Obtiene la matriz de impulso arbitraria de una transformación de similitud . Agradezco el aporte, pero, nuevamente, todo lo que pido es una aclaración sobre el último paso de mi pregunta. Tal vez la forma en que lo he preguntado es demasiado difícil de entender.
Una transformación de similitud, que es una rotación en el espacio, tiene significado entre marcos en reposo entre sí. Entonces deja $\;\mathrm S\boldsymbol{\equiv}Oxyzt\:$ tu marco inicial, $\;\mathrm S_{\alpha}\boldsymbol{\equiv}O_{\alpha}xyz_{\alpha}t_{\alpha}\:$ el marco impulsado en el $z-$ dirección y $\;\mathrm S_{\beta}\boldsymbol{\equiv}O_{\beta}x_{\beta}y_{\beta}z_{\beta}t_{\beta}\:$ el marco impulsado en el $\hat{\beta}-$ dirección. Para hacer una rotación en el espacio desde $\;\mathrm S_{\alpha}\:$ a $\;\mathrm S_{\beta}\:$ estos marcos deben estar en reposo entre sí, pero....
...esto es imposible si $\hat{\beta}(\equiv \hat{z_{\beta}})\boldsymbol{\ne}\hat{z}$ .
La matriz de Lorentz dada como $\;\tilde{L}\;$ en su pregunta, idéntica a la dada en un comentario de @Cinaed Simson $L = [\begin{matrix} I + \frac{γ - 1}{{\vec{v}}^{2}} \vec{v} {\vec{v}}^{T} & γ {\vec{v}}^{T} \\ γ {\vec{v}}^{T} & γ \end{matrix}]$ $L=\begin{bmatrix} I+\frac{\gamma-1}{\vec{v}^2}\,\vec v \,\vec{v}^T & \gamma \,\vec{v}^T \\ \gamma\vec{v}^T &\gamma \end{bmatrix}$ no es válido para configuraciones arbitrarias, pero para lo que llamo Configuración estándar , consulte, por ejemplo, la Figura 01 en mi respuesta aquí: ¿Es un error tipográfico en la derivación de la interacción espín-órbita de David Tong? .
... o la Figura-01 en mi respuesta aquí: cuando calculamos el momento angular relativista de una partícula en la dirección del eje z, ¿qué masa relativista debemos usar? .
Para ver cómo se prueba esta Configuración Estándar general a partir de la conocida Configuración Estándar en el $x-$ eje, consulte la SECCIÓN B en mi respuesta aquí (como 'user82794' en el pasado): dos conjuntos de coordenadas, cada uno en los marcos O y O ′ (transformación de Lorentz)
Una transformación de semejanza es la transformación de un campo que ocurre después de la $4$ -el vector ha sido transformado por Lorentz. Y dado que pareces estar actuando al menos $2$ impulso puro en $2$ diferentes direcciones - y posiblemente con $2$ diferentes velocidades, los marcos de Lorentz habrían precedido, y no puede volver al marco original sin un impulso compuesto y un separado $3$ rotación del espacio d. Consulte Thomas Precession " en.wikipedia.org/wiki/Thomas_precession " y los comentarios de @Frobenius.
@Cinaed Simson: En mi opinión, su comentario aclaratorio anterior debe ser una pista en una respuesta. Por cierto, dos transformaciones de Lorentz (simétricas) sucesivas en dos direcciones diferentes dan una transformación de Lorentz (simétrica) y una rotación de Thomas (o Wigner) (estática), no una precesión (movimiento). Además, tenemos una contradicción aquí: creo que OP daría la recompensa +50 por una respuesta completa aceptada, pero para la última no está permitido que sea completa ya que la moderación la ha etiquetado como tarea y ejercicios .
@Frobenius Gracias por la entrada. No estoy seguro de entender su comentario acerca de que la rotación es imposible si $\hat{\beta}\neq\hat{z}$ , puedes aclarar? ¿Estás diciendo que el problema es fundamentalmente defectuoso? El punto es mirar $\hat{\beta}\neq\hat{z}$ , con por supuesto el $\hat{\beta}=\hat{z}$ satisfecho como un caso específico. Este es el ejercicio en cuestión. yo estoy incrustando $R$ en $SO(3,1)_o$ , ¿cambia esto tu imposibilidad?
@CinaedSimson ¿Puede aclarar cómo estoy "realizando al menos 2 impulsos puros en 2 direcciones diferentes, y posiblemente con 2 velocidades diferentes"? El objetivo completo de este problema, o eso pensé, era solo ver el $z$ boost como uno arbitrario girando a un marco diferente que tiene $\hat{\beta}$ como su $z$ -eje. Por lo tanto, un impulso puro visto arbitrariamente. Lamento haber alargado esto tanto tiempo, ya no estoy seguro de lo que espero obtener de este enfoque.

Arte Marrón · Answer 1

Confieso que no estoy del todo cómodo con este problema. (Sea testigo de mi primer intento de respuesta.)

Presionando adelante a pesar de todo, creo que $\vec{r_1}$ y $\vec{r_2}$ están restringidas por el requisito de que la transformación de Lorentz $\tilde{L}$ ser un impulso puro; es decir, que los vectores espaciales perpendiculares a la dirección de impulso $\vec{\beta}/\beta$ se dejan sin cambios por $\tilde{L}$ . (Estos vectores forman un espacio propio bidimensional con valor propio 1).

En concreto, resolver $\tilde{L} \vec{r_1} = \vec{r_1}$ y $\tilde{L} \vec{r_2} = \vec{r_2}$ (o componentes del mismo) produce 2 condiciones que se satisfacen eligiendo $r_{1z}=\beta_x/\beta$ y $r_{2z}=\beta_y/\beta$ .

por ejemplo, el $x$ -componente de $\tilde{L} \vec{r_1} = \vec{r_1}$ se simplifica a:

r_{1 X} r_{1 z} + r_{1 y} r_{2 z} + r_{1 z} β_{z} / β = 0

$r_{1x} r_{1z} + r_{1y} r_{2z} + r_{1z} \beta_z/\beta = 0$

Con las sustituciones, esta ecuación se convierte en un producto interno de $r_1$ y $\beta$ , que desaparece por la ortogonalidad de $r_1$ y $\beta$ .

Los otros componentes dan la misma ecuación o una similar que se satisface con las mismas sustituciones.

ACTUALIZAR:

Las cosas están más claras ahora. Mi respuesta anterior fue problemática porque impuso algunas restricciones adicionales a $\hat{r_1}$ y $\hat{r_2}$ más allá de que sean ortonormales entre sí y $\hat{\beta}$ , mientras que el problema establecía que cualquier par ortonormal debería funcionar. De hecho, cualquier par $\hat{r_1}$ y $\hat{r_2}$ produce un simétrico $\tilde{L}$ , y por lo tanto un impulso puro, entonces, ¿por qué deberían requerirse restricciones adicionales?

La respuesta es que no se requieren restricciones adicionales, si se elige la matriz $R$ rotar $\hat{z}$ en $\hat{\beta}$ ( $R \hat{z}=\hat{\beta}$ ). Específicamente, $R$ debería haber sido la transpuesta de la que usaste. Con este cambio, el cálculo que realizó da el resultado esperado, sin restricciones adicionales en $\hat{r_1}$ y $\hat{r_2}$ requerido.

(Por el contrario, con la versión de $R$ usted empleó, era necesario que $r_{1z}=\beta_x/\beta$ y $r_{2z}=\beta_y/\beta$ de modo que $\hat{z}$ fue rotado en $\hat{\beta}$ .)

¿Puede explicar cómo esas condiciones son el resultado de exigir la invariancia del tiempo adecuado? Parece ser mi retraso
@dsm, esa idea mía no era correcta, lo siento. Creo que mi respuesta revisada funciona mejor.
requiriendo $\tilde{L}r_1=r_1$ y $\tilde{L}r_2=r_2$ tiene sentido, pero no sé cómo hacer que salgan $r_{1z}=\beta_x/\beta$ y $r_{2z}=\beta_y/\beta$ . En mi forma más simplificada de $\tilde{L}$ he eliminado $\beta_x$ y $\beta_y$ usando la ortogonalidad, y no veo cómo esos componentes vuelven al juego a partir de esas dos ecuaciones matriciales. ¿Me estoy perdiendo de algo?
Cancelé los factores comunes en la ecuación. Lo que quedó podría expresarse como la desaparición del producto interno de $r$ y otro vector. Ese segundo vector se convierte en $\beta$ si los dos submarinos en cuestión están hechos estratégicamente (llevando $\beta_x$ etc. de vuelta al juego) y satisfaciendo la ecuación por ortogonalidad.
¡Ahhh, ya lo veo! Gracias. Eso me confundió durante demasiado tiempo. Y en lugar de sustitución, es más claro para mí simplemente restar la condición de ortogonalidad de $r_1$ y $\beta$ a partir de ese $x$ -ecuación de componentes para ver que debemos tener esos $z$ -componentes a cuenta de $r_1$ (o $r_2$ si se utiliza la otra ecuación) teniendo arbitraria $x$ y $y$ componentes; es decir $r_{1 X} (r_{1 z} - β_{X} / β) + r_{1 y} (r_{2 z} - β_{y} / β) = 0 \Rightarrow r_{1 z} = β_{X} / β y r_{2 z} = β_{y} / β$ $r_{1x}(r_{1z}-\beta_x/\beta)+r_{1y}(r_{2z}-\beta_y/\beta)=0\hspace{1mm}\Rightarrow r_{1z}=\beta_x/\beta\hspace{1mm}\text{and}\hspace{1mm}r_{2z}=\beta_y/\beta$ Agradezco tu persistencia, saludos :)

eli · Answer 2

La matriz de transformación general de Lorentz es:

L = [\begin{matrix} γ & - γ {\vec{β}}^{T} \\ - γ \vec{β} & I_{3} + \frac{γ - 1}{\vec{v} \cdot \vec{v}} \vec{β} {\vec{β}}^{T} \end{matrix}]

$L=\begin{bmatrix} \gamma & -\gamma\,\vec{\beta}^T \\ -\gamma\,\vec{\beta} & I_3+\frac{\gamma-1}{\vec{v}\,\cdot \vec{v}}\,\vec{\beta}\,\vec{\beta}^T \\ \end{bmatrix}$

si rotas la matriz de Lorentz entonces:

$\vec{\beta}\mapsto R\,\vec{\beta}$

donde esta r $3\times 3$ Matriz de rotación ortogonal

$R^T=\left[\vec{r_1},\vec{r_2},\vec{r_3}\right]$ y $R^\,R^T=I_3$

porque $R\,\vec{\beta}$ en tu caso es:

β_{z} [\begin{matrix} r_{1 z} \\ r_{2 z} \\ r_{3 z} \end{matrix}]

$\beta_z\,\begin{bmatrix} r_{1z} \\ r_{2z} \\ r_{3z} \\ \end{bmatrix}$

solo están involucradas las componentes z de los vectores que crean la matriz de rotación R

No sé lo que estás tratando de hacer aquí. ¿Por qué estás aplicando? $R$ a $\vec{\beta}$ , la dirección en la que estoy girando el $z$ dirección a? ¿Y qué estás tratando de transmitir con el $\beta_z(r_{1z},r_{2z},r_{3z})^T$ ? Y lo que es $r_3$ ? Todo lo que estoy tratando de hacer es eliminar $r_{1z}$ y $r_{2z}$ en mi expresión final para obtener esa matriz final; es decir, no depender de ningún componente de la ortogonal $r$ direcciones.

Obtener la matriz de impulso arbitraria de una transformación de similitud

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