Relatividad especial: verificar que una matriz de impulso general esté en el grupo de Lorentz

Consejos:

$$\text{your matrix :}\:\: \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \text{is this matrix :}\:\: \eta= \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & \boldsymbol{0}^{\mathsf{T}} \\ \boldsymbol{0} & \mathrm{I} \end{bmatrix} \tag{01}$$ dónde $$\boldsymbol{0}\equiv \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix} =\text{the null column vector}, \qquad \boldsymbol{0}^{\mathsf{T}}\equiv \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} =\text{the null row vector} \tag{02}$$

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$$B= \begin{bmatrix} \gamma & -\gamma\beta^j \\ -\gamma \beta_k & \delta_k^j+\dfrac{(\gamma -1)\beta^j \beta_k}{\beta^2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma & -\gamma\boldsymbol{\beta}^{\mathsf{T}} \\ -\gamma \boldsymbol{\beta} & \mathrm{I}+\dfrac{(\gamma -1)\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\beta}^{\mathsf{T}}}{\beta^2} \end{bmatrix} \tag{03}$$

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$$\boldsymbol{\beta}= \begin{bmatrix} \beta_{1}\\ \beta_{2}\\ \beta_{3} \end{bmatrix}, \qquad \boldsymbol{\beta}^{\mathsf{T}}= \begin{bmatrix} \beta^{1} & \beta^{2} & \beta^{3} \end{bmatrix}, \qquad \mathrm{I}= \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix} \tag{04}$$

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$$\boldsymbol{\beta}^{\mathsf{T}}\boldsymbol{\beta}= \begin{bmatrix} \beta^{1} & \beta^{2} & \beta^{3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \beta_{1}\\ \beta_{2}\\ \beta_{3} \end{bmatrix} =\beta^{m}\beta_{m} =\boldsymbol{\beta}\boldsymbol{\cdot}\boldsymbol{\beta}=\Vert \boldsymbol{\beta} \Vert ^{2}=\beta^{2}=\dfrac{v^2}{c^2}=\dfrac{\gamma^2-1}{\gamma^2} \tag{05}$$

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$$\boldsymbol{\beta}\boldsymbol{\beta}^{\mathsf{T}}= \begin{bmatrix} \beta^{1}\\ \beta^{2}\\ \beta^{3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \beta_{1} & \beta_{2} & \beta_{3} \end{bmatrix} =\beta_{m}\beta^{n}= \begin{bmatrix} \beta_{1}^{2} & \beta_{1}\beta_{2} & \beta_{1}\beta_{3}\\ \beta_{2}\beta_{1} & \beta_{2}^{2} & \beta_{2}\beta_{3}\\ \beta_{3}\beta_{1} & \beta_{3}\beta_{2} & \beta_{3}^{2} \end{bmatrix} \tag{06}$$

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$$\left(\boldsymbol{\beta}\boldsymbol{\beta}^{\mathsf{T}}\right)^{2}= \left(\boldsymbol{\beta}\boldsymbol{\beta}^{\mathsf{T}}\right)\left(\boldsymbol{\beta}\boldsymbol{\beta}^{\mathsf{T}}\right)= \boldsymbol{\beta}\underbrace{ \left (\boldsymbol{\beta}^{\mathsf{T}} \boldsymbol{\beta}\right)}_{\Vert \boldsymbol{\beta} \Vert ^{2}}\boldsymbol{\beta}^{\mathsf{T}}= \Vert \boldsymbol{\beta} \Vert ^{2}\boldsymbol{\beta}\boldsymbol{\beta}^{\mathsf{T}}=\left(\dfrac{{\gamma}^2-1}{\gamma^2}\right)\boldsymbol{\beta}\boldsymbol{\beta}^{\mathsf{T}} \tag{07}$$

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Tenga en cuenta que si$\:\mathbf{n}\:$es un 3-vector unitario entonces$\:\mathrm{P}_{\mathbf{n}}=\mathbf{n}\mathbf{n}^{\mathsf{T}}\:$es la proyección sobre su dirección, ya que para cada$\:\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{3}\:$

$$\mathrm{P}_{\mathbf{n}}\mathbf{x}=\mathbf{n}\mathbf{n}^{\mathsf{T}} \mathbf{x}= \begin{bmatrix} n_{1}\\ n_{2}\\ n_{3} \end{bmatrix} \underbrace{ \begin{bmatrix} n_{1} & n_{2} &n_{3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{bmatrix}}_{\left(\mathbf{x} \boldsymbol{\cdot}\mathbf{n} \right)} =\left(\mathbf{n} \boldsymbol{\cdot}\mathbf{x} \right)\mathbf{n} \tag{08}$$ con la bien conocida propiedad de las proyecciones $$\mathrm{P}_{\mathbf{n}}^{2}=\mathrm{P}_{\mathbf{n}} \tag{09}$$ Definición $$\mathbf{n} \equiv \dfrac{\boldsymbol{\beta}}{\Vert \boldsymbol{\beta} \Vert}=\dfrac{\boldsymbol{\beta}}{\beta} \tag{10}$$ entonces $$\mathrm{P}_{\mathbf{n}}=\mathbf{n}\mathbf{n}^{\mathsf{T}}=\left( \dfrac{ \boldsymbol{\beta}}{\beta} \right) \left(\dfrac{\boldsymbol{\beta}}{\beta}\right)^{\mathsf{T}}=\dfrac{\boldsymbol{\beta}\boldsymbol{\beta}^{\mathsf{T}} }{\beta^{2}} \tag{11}$$ y (07) es su propiedad como proyección.

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EDITAR :

$$\begin{align} & B^{\mathsf{T}}\eta B =\\ &\begin{bmatrix} \gamma & -\gamma\boldsymbol{\beta}^{\mathsf{T}} \\ -\gamma \boldsymbol{\beta} & \mathrm{I}+\dfrac{(\gamma -1)\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\beta}^{\mathsf{T}}}{\beta^2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & \boldsymbol{0}^{\mathsf{T}}\\ &\\ \boldsymbol{0} & \mathrm{I} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \gamma & -\gamma\boldsymbol{\beta}^{\mathsf{T}} \\ -\gamma \boldsymbol{\beta} & \mathrm{I}+\dfrac{(\gamma -1)\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\beta}^{\mathsf{T}}}{\beta^2} \end{bmatrix}=\\ &\begin{bmatrix} \gamma & -\gamma\boldsymbol{\beta}^{\mathsf{T}} \\ -\gamma \boldsymbol{\beta} & \mathrm{I}+\dfrac{(\gamma -1)\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\beta}^{\mathsf{T}}}{\beta^2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -\gamma & +\gamma\boldsymbol{\beta}^{\mathsf{T}} \\ -\gamma \boldsymbol{\beta} & \mathrm{I}+\dfrac{(\gamma -1)\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\beta}^{\mathsf{T}}}{\beta^2} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \sigma & \boldsymbol{\rho}^{\mathsf{T}} \\ &\\ \boldsymbol{\rho} & \mathrm{Z} \end{bmatrix}\equiv \xi \tag{12} \end{align}$$

dónde$\:\xi\:$un verdadero simétrico$\:4\times 4\:$matriz con elementos$\:\sigma,\boldsymbol{\rho},\mathrm{Z}\:$un escalar real, un 3-vector real y un simétrico real$\:3\times 3\:$matriz respectivamente, todo por determinar. Ahora,

$$\begin{align} \sigma=-\gamma^{2}\underbrace{\left(1-\boldsymbol{\beta}^{\mathsf{T}}\boldsymbol{\beta}\right)}_{1-\tfrac{v^2}{c^2}=\gamma^{-2}} \quad \Longrightarrow \quad \sigma=-1 \tag{13a} \end{align}$$

$$\begin{align} \boldsymbol{\rho} & =\gamma^{2}\boldsymbol{\beta}-\gamma\boldsymbol{\beta}-\dfrac{\gamma(\gamma -1)\boldsymbol{\beta}\boldsymbol{\beta}^{\mathsf{T}} \boldsymbol{\beta}}{\beta^2}\\ & =\gamma\left(\gamma-1\right)\boldsymbol{\beta}-\gamma\left(\gamma-1\right)\boldsymbol{\beta}\underbrace{\left(\dfrac{\boldsymbol{\beta}^{\mathsf{T}}\boldsymbol{\beta}}{\beta^2}\right)}_{=1} \quad \Longrightarrow \quad \boldsymbol{\rho}=\boldsymbol{0} \tag{13b} \end{align}$$

$$\begin{align} \mathrm{Z} & =-\gamma^{2}\boldsymbol{\beta}\boldsymbol{\beta}^{\mathsf{T}}+\biggl(\mathrm{I}+\dfrac{(\gamma -1)\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\beta}^{\mathsf{T}}}{\beta^2}\biggr)^{2}\\ & = -\gamma^{2}\boldsymbol{\beta}\boldsymbol{\beta}^{\mathsf{T}}+\mathrm{I}+\dfrac{2(\gamma -1)\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\beta}^{\mathsf{T}}}{\beta^2}+\left(\gamma -1\right)^{2}\overbrace{\biggl(\dfrac{\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\beta}^{\mathsf{T}}}{\beta^2}\biggr)^{2}}^{=\boldsymbol{\beta}\boldsymbol{\beta}^{\mathsf{T}}/\beta^2}\\ & = \mathrm{I}+ \underbrace{\left[-\gamma^{2}+\dfrac{2(\gamma -1)}{\beta^2}+\dfrac{(\gamma -1)^{2}}{\beta^2} \right]}_{=0}\boldsymbol{\beta}\boldsymbol{\beta}^{\mathsf{T}}\quad \Longrightarrow \quad \mathrm{Z}=\mathrm{I} \tag{13c} \end{align}$$

Entonces,

$$\begin{equation} B^{\mathsf{T}}\eta B = \xi = \begin{bmatrix} \sigma & \boldsymbol{\rho}^{\mathsf{T}} \\ &\\ \boldsymbol{\rho} & \mathrm{Z} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -1 & \boldsymbol{0}^{\mathsf{T}}\\ &\\ \boldsymbol{0} & \mathrm{I} \end{bmatrix} \equiv \eta \tag{14} \end{equation}$$

QED.

Otra forma menos complicada de hacer esto es la siguiente. Vincule dicha matriz a la matriz identidad por un camino definido por:

$$\Lambda:\mathbb{R}\to \mathscr{M}_{4\times4};\;\Lambda(\zeta) = \left(\begin{array}{c|c}\cosh\zeta & -\hat{B}^T \,\sinh\zeta\\\hline -\hat{B}\,\sinh\zeta &\mathrm{id} +\hat{B}\,\hat{B}^T\, (\cosh\zeta-1) \end{array}\right)\tag{1}$$

dónde$\zeta = \operatorname{artanh}\frac{v}{c}$es la rapidez del impulso putativo. Aquí$\hat{B} =\frac{1}{v} \begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}$es el vector unitario de los cosenos directores que apuntan a lo largo de la dirección del impulso.

Ejercicio : compruebe que todas las matrices de la forma indicada se pueden escribir en la forma de (1), de modo que todas formen un camino suave a través de la identidad (donde pasan cuando$\zeta=0$).

Tenga en cuenta la pequeña fórmula útil$\hat{B}^T\,\hat{B} = 1$, de modo que casi puede manipular matrices de la forma en (1) como si sus elementos fueran escalares, aparte de eso$\hat{B}\,\hat{B}^T$se deja sin simplificar. Obtienes cosas como$(\hat{B}\,\hat{B}^T)^N = \hat{B}\,\hat{B}^T;\,N\geq 1$(esto significa que$(\hat{B}\,\hat{B}^T)^N$es el proyector idempotente en la dirección del impulso) que puede usar a continuación.

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Ejercicio : Demostrar que

$$\Lambda(\zeta)\Lambda(-\zeta) = \mathrm{id}\tag{2}$$

De dónde:

$$\frac{\mathrm{d}\Lambda}{\mathrm{d}\zeta} \Lambda^{-1} = -\left(\begin{array}{c|c}0&\hat{B}^T\\\hline\hat{B}&0\end{array}\right)\tag{3}$$

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Ahora, dado (3), tenemos muy simplemente:

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\zeta} \left(\Lambda^T\,\eta\,\Lambda\right) = \Lambda^T\left(-\left(\begin{array}{c|c}0&\hat{B}^T\\\hline\hat{B}&0\end{array}\right)^T\,\eta - \eta \,\left(\begin{array}{c|c}0&\hat{B}^T\\\hline\hat{B}&0\end{array}\right)\right)\,\Lambda=0\tag{4}$$

y, dado que la identidad buscada se sigue trivialmente para$\zeta=0$, tenemos, a través de (4) un problema de valor inicial de Cauchy en el que la derivada es una función continua de Lipschitz de$\Lambda^T\,\eta\,\Lambda$, por lo tanto$\Lambda^T\,\eta\,\Lambda=\eta$, cierto para todos$\zeta$, es la solución única a este CIVP y la identidad está probada.

Por lo tanto, tiene una expresión bastante útil y compacta para un impulso general en (1), y puede ver, a la luz de (3), que es la matriz exponencial de$\zeta$veces la matriz simple del lado derecho de (3). La matriz del lado derecho de (3) a veces se denomina impulso infinitesimal ; todos los impulsos infinitesimales son combinaciones lineales, con los cosenos directores como pesos, de los tres impulsos infinitesimales para las tres direcciones de coordenadas espaciales.