Prueba de existencia de la transformación de Lorentz de vectores similares a la luz a vectores similares a la luz

(Tomé un error trivial de antemano. Su declaración es verdadera, aquí está la prueba).

Asumo$c=1$a lo largo de la prueba.

Considerar$t\neq 0$y$u\neq 0$a la vez ligero y orientado al futuro. Fijar un marco de referencia de Minkowski con coordenadas temporales orientadas al futuro.

en coordenadas$t= (t^0, \vec{t})$y$u= (u^0, \vec{u})$con$t^0= ||\vec{t}||$y$u^0= ||\vec{u}||$porque ambos vectores están orientados al futuro y son similares a la luz.

Explotación de una transformación de Lorentz$\Lambda_R$completamente definido por una rotación espacial $R$, podemos transformar$t= (||\vec{t}||, \vec{t})$a$\Lambda_R t = (||\vec{t}||, R\vec{t}) = (||R\vec{t}||, R\vec{t})$, dónde$R\vec{t}$es paralelo a$\vec{u}$.

Para concluir, basta probar que existe un impulso$\Lambda_b$tal que$\Lambda_b \Lambda_R t =u$.

Para nuestra conveniencia, rotamos los ejes espaciales de nuestro marco de referencia para tener$\vec{u}$y$\vec{\Lambda_Rt}$dirigido a lo largo$x^3$. En estas coordenadas

$$\Lambda_R t = (a,0,0,a)\quad u = (b,0,0,b)\:,$$

La acción del impulso$\Lambda_b$a lo largo de$x^3$es, para algunos$\chi \in \mathbb R$,

$$\Lambda_b (a,0,0,a) = (\cosh \chi a + \sinh \chi a, 0,0, \sinh \chi a + \cosh \chi a)$$

El problema se reduce a encontrar$\chi \in \mathbb R$tal que

$$\cosh \chi a + \sinh \chi a =b$$

dónde$a,b>0$son dados. A saber

$$e^\chi a =b$$

la solución siempre existe y es, obviamente,

$\chi = \ln (b/a)$.

Resumiendo, si aplicamos primero$\Lambda_R$y luego$\Lambda_p$a$t$obtenemos$u$como quería La composición$\Lambda_p \Lambda_R$es la transformación de Lorentz buscada.

En caso$t$y$u$tienen direcciones temporales opuestas, el razonamiento anterior debe completarse agregando una operación de inversión de tiempo adicional a$t$(que también es una transformación de Lorentz) antes de usar$\Lambda_R$y$\Lambda_p$.

COMENTARIO _ Este resultado es interesante porque prueba que la acción del grupo de Lorentz es transitiva en el límite del cono de luz. En cambio, este hecho es falso si se refiere al interior del cono de luz, porque las transformaciones de Lorentz conservan la longitud lorentziana de los vectores y, por lo tanto, los vectores con diferentes longitudes no pueden mapearse entre sí mediante ninguna transformación de Lorentz. (La superficie del cono de luz es el caso límite de una superficie interna de vectores de longitud fija [una capa de masa en representación de cantidad de movimiento] de acuerdo con el resultado encontrado).

Proposición 1. El grupo de Lorentz $O(3,1)$actúa transitivamente en vectores nulos distintos de cero.

Desde la transformación de inversión de tiempo$T:t\mapsto -t$es una transformación de Lorentz, basta mostrar lo siguiente.

Proposición 2. El grupo de Lorentz restringido$SO^+(1,3;\mathbb{R})\cong SL(2,\mathbb{C})/\mathbb{Z}_2$actúa transitivamente en vectores nulos distintos de cero dirigidos hacia el futuro.

Prueba esbozada inspirada en Twistor de la Proposición 2: Recuerde primero los siguientes hechos:

1. Minkowski 4-vectores$\tilde{x}~=~(x^0,x^1,x^2,x^3)$se puede identificar con$2\times 2$matrices hermitianas$\sigma$, consulte, por ejemplo, la respuesta Phys.SE de twistor59 aquí o mi respuesta Phys.SE aquí .

2. el determinante$\det(\sigma)=||\tilde{x}||^2$es la forma cuadrática de Minkowski.

3. el rastro${\rm tr}(\sigma)=2x^0$es el doble de la coordenada de tiempo.

4. un elemento de grupo$g\in SL(2,\mathbb{C})$en la doble portada del restringido grupo de Lorentz actúa sobre Hermitian$2\times 2$matrices$\sigma$a través de$\rho(g)\sigma= g\sigma g^{\dagger}$.

Ahora volvamos a la configuración de OP. Similar a la luz significa que$\sigma$tiene determinante cero, es decir, tiene como máximo rango 1. En otras palabras, existen dos$2\times 1$Vectores de columnas$\lambda,\mu\in \mathbb{C}^2$tal que el$2\times 2$matriz

$$\sigma~=~\lambda\mu^{\dagger}.$$ Hermiticidad de$\sigma$muestra que$\lambda || \mu$. Asumir que$\sigma$no es cero Entonces tiene precisamente el rango 1. Dirigido al futuro significa que el valor propio restante distinto de cero de$\sigma$es positivo, cf. punto 3. ($\lambda$es el vector propio correspondiente.) Podemos suponer que wlog$\lambda=\mu$, posiblemente después de un cambio de escala.

En resumen, existe un espinor de Weyl izquierdo distinto de cero

$$\lambda~\in~ (\mathbb{C}^2)^{\times}~:=~\mathbb{C}^2\backslash\{(0,0)\},$$ de manera que la$2\times 2$matriz$\sigma$Se puede escribir como $$\sigma~=~ \lambda \lambda^{\dagger}.$$

Hay un$U(1)$ambigüedad de fase en la elección de$\lambda$. la doble cubierta$SL(2,\mathbb{C})$actúa transitivamente $\rho(g)\lambda=g\lambda$en$(\mathbb{C}^2)^{\times}$vía regular$2\times 2$matrices$g$: Para todos los pares$\lambda, \mu\in (\mathbb{C}^2)^{\times}$podemos encontrar un$2\times 2$matriz$g\in SL(2,\mathbb{C})$con determinante 1 tal que$\mu= g\lambda$. En conjunto, esto muestra la Proposición 2.$\Box$