Prueba de unicidad de transformación entre marcos relativistas

Asumiendo

1. El principio de la relatividad (que las leyes de la física son las mismas en todos los marcos de inercia),
2. La isotropía y homogeneidad del espacio,
3. Las transformaciones forman un grupo, y
4. Respetar la causalidad,

da las transformaciones de Lorentz con un parámetro libre C que especifica una velocidad máxima. Si C es infinito, obtienes el grupo galileano, mientras que para C finito obtienes las transformaciones de Lorentz habituales. (C luego se identifica físicamente con la velocidad de la luz en el vacío si acepta que el fotón no tiene masa).

Entonces, solo hay dos posibilidades bajo los cuatro supuestos anteriores. La derivación ha sido redescubierta muchas veces desde que Ignatowski hizo algo similar en 1910, véase, por ejemplo, http://o.castera.free.fr/pdf/One_more_derivation.pdf

Si relaja cualquiera de las suposiciones anteriores, obtiene generalizaciones que pueden ser útiles al buscar posibles desviaciones de la relatividad especial. Véase, por ejemplo, https://arxiv.org/abs/1302.5989

La respuesta a su pregunta depende exactamente de qué leyes de la física desea que conserven sus transformaciones, y también depende de cómo defina la frase "transformación de Lorentz".

Por ejemplo, si necesita que sus transformaciones de Lorentz sean lineales, entonces no son las únicas transformaciones que conservan el cono de luz. Otra transformación de este tipo es:

¿Cuenta esta transformación como una que "preserva las leyes de la física"? No podemos saber hasta que especifique exactamente qué leyes desea conservar.

Hay otro tema relacionado: Aunque preguntaste sobre transformaciones individuales, lo que realmente te interesará es la función que asocia a cada velocidad una transformación$L_v$. Además de preguntar sobre las propiedades de las transformaciones individuales permitidas, es probable que también le interesen las propiedades de esta función. Por ejemplo, es muy probable que desee$L_{v^{-1}}=L_v$para todos$v$. También es posible que desee la asignación$v\mapsto L_v$ser continua o diferenciable. Estas condiciones pueden acabar restringiendo los posibles valores de$L_v$.

Si requiere cada$L_v$ser una función diferenciable de$x$y$t$, y si requieres la asignación$v\mapsto L_v$también ser diferenciable, y si impone algunas simetrías naturales, y si requiere que se conserve el orden de los eventos, entonces debería poder mostrar (simplemente diferenciando las expresiones obvias y manipulando) que$L_v$debe ser lineal (y por lo tanto un elemento del grupo de Lorentz habitual). También es posible que pueda eliminar algunas de estas suposiciones y reemplazarlas con otras suposiciones que tengan el sabor de "tal o cual ley de la física debe ser preservada". Pero, de nuevo, eso dependerá exactamente de las leyes que tenga en mente y, a menos que/hasta que las establezca sin ambigüedades, no puede haber una respuesta inequívoca a su pregunta.