Cómo mostrar usando la transformación de Lorentz, la v⃗ v→\vec{v} de un marco a otro en cualquier marco es |v⃗ ||v→|\vert\vec{v}\vert [cerrado]

Para medir la contracción de la longitud, debe observar dos líneas de mundo paralelas; está mirando una línea de mundo individual y, por lo tanto, no ha sido claro acerca de lo que está estudiando.

La transformación de coordenadas que desea es (con$w=ct$y$\beta=v/c$para mostrar una cierta simetría de las ecuaciones)

$$\begin{align} w'&=\gamma~(w - \beta~x),\\ x'&=\gamma~(x - \beta~w),\\ y'&=y,\\ z'&=z.\end{align}$$ Ignorando el $y$y $z$direcciones como triviales, la contracción de la longitud se produce cuando consideramos las líneas universales $(w, x) = (s, 0)$para todos $s$y $(w, x)=(s, L)$para todos $s$. Ambos se transforman en: $$w'=\gamma~(s - \beta~L),\\ x'=\gamma~(L-\beta~s).$$ reemplazando $s=w'/\gamma + \beta~L$podemos encontrar la ecuacion $$x'=\gamma~(L-\beta~(w'/\gamma+\beta~L) = -\beta~w' + \gamma~L~(1 - \beta^2).$$

Tenga en cuenta que$\gamma~(1-\beta^2) = \gamma / \gamma^2 = 1/\gamma,$dando nuestro familiar factor de contracción de longitud; tenga en cuenta también que esta línea que estaba estacionaria ahora se mueve hacia atrás con velocidad$-\beta~c=-v$.

Este efecto de que cuando aceleras, los relojes frente a ti marcan más rápido cuanto más lejos están delante de ti, y los relojes detrás de ti marcan más lento cuanto más lejos están detrás de ti, se denomina "relatividad de la simultaneidad". Es un efecto muy importante: de hecho, he argumentado antes que es el efecto más importante, ya que para pequeños$\beta\ll 1$es el único efecto que sobrevive: y podemos reconstruir la transformación general de coordenadas anterior a partir de este$\gamma\approx 1$forma.

Usted habla de reciprocidad relativista, es decir, la afirmación de que la transformación inversa de Lorentz se encuentra al hacer la sustitución$v\mapsto-v$, como se discute más adelante en mi respuesta aquí .

Aunque intuitivamente razonable y engañosamente simple, no es trivial y debe tomarse como un postulado en sí mismo o puede derivarse de algunos principios axiomáticos para la relatividad especial.

La esencia del asunto es una suposición de isotropía del espacio: que si cambiamos la dirección de un impulso y realineamos nuestro sistema de coordenadas al impulso, la transformación de Lorentz no puede cambiar. Es decir, no hay una dirección especial o preferida en el espacio y todas las direcciones "se ven iguales". El paso 4 en mi explicación detallada a continuación es la forma crucial y más relevante para el problema en cuestión en el que la suposición de isotropía espacial entra en la discusión.

Pero la cantidad de suposiciones que necesita hacer para llegar al punto que está tratando de probar es notablemente grande. Puede consultar el documento vinculado en mi otra respuesta , o mi propia opinión sobre el asunto se esboza en los detalles a continuación.

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Axiomas necesarios detallados y derivación de la transformación de Lorentz, con reciprocidad

1. Los cuatro axiomas de

   • (1) el principio de Galileo (que la transformación de Lorentz depende solo de la velocidad relativa), junto con las suposiciones de
   • (2) homogeneidad del espacio-tiempo;
   • (3) planitud del espacio-tiempo (o de una variedad de espacio-tiempo y que estamos tratando con transformaciones locales para que al menos podamos tener planitud local) y
   • (4) la continuidad de la transformación de Lorentz (en su dependencia de las coordenadas del espacio-tiempo) muestra que la transformación de Lorentz actúa linealmente sobre las coordenadas del espacio-tiempo, es decir, puede describirse mediante una matriz;

2. Un quinto axioma de que la transformación de Lorentz en una dirección dada mapea la línea real de velocidades continuamente en un grupo de matrices muestra que la transformación debe ser de la forma:

   $$X\mapsto \exp(\eta(v)\,K)\,X\tag{1}$$ donde la rapidez$\eta(v)$es una función continua de la velocidad$v$,$K$es una constante$4\times 4$matriz y$X$el$1\times 4$vector columna de coordenadas de espacio-tiempo. Muestro esto con mayor detalle en mi respuesta aquí .

3. Ahora pensemos en la isotropía del espacio . Si el espacio es isótropo, somos libres de elegir el$x$eje para estar a lo largo de la dirección del impulso y no podemos perder la generalidad. Un impulso en cualquier otra dirección se encuentra simplemente mediante la rotación de las coordenadas de la forma que calculamos en el$x$dirección. Además, una rotación arbitraria de coordenadas sobre el$x$El eje tampoco puede cambiar la forma de nuestro impulso. Así, de (1):

   $$R_x(\theta)\exp(\eta\,K)\, R_x(\theta)^{-1} = \exp(\eta\,K)\tag{2}$$ dónde$R_x(\theta)$es la rotación a través del ángulo$\theta$acerca de$x$. Si nuestro orden de coordenadas es$(t,\,x,y,\,z)$entonces (2) puede demostrarse que reduce la matriz$K$a la forma: $$K = \left(\begin{array}{cc}k_{11}&k_{12}&0&0\\k_{21}&k_{22}&0&0\\0&0&k_{33}&-k_{43}\\0&0&k_{43}&k_{33}\end{array}\right)\tag{3}$$

4. Una segunda, una consideración crucial para su pregunta, la isotropía del espacio es lo que sucede cuando invertimos el eje de coordenadas en la dirección del impulso. Si invertimos uno de los otros ejes de coordenadas, de modo que las coordenadas espaciales permanezcan a la derecha, entonces un espacio isotrópico significa que la transformación no puede cambiar. Nuestra matriz de transformación de coordenadas es entonces, digamos,$\mathrm{diag}(1,\,-1,\,-1,\,1)$, el cual es un$180^\circ$rotación sobre el$z$eje (el mismo resultado se sigue de un$180^\circ$rotación sobre cualquier eje normal a la dirección de refuerzo). Entonces tenemos la condición: $$\eta \,\mathrm{diag}(1,\,-1,\,-1,\,1)\,K\,\mathrm{diag}(1,\,-1,\,-1,\,1) = \eta^\prime\, K\tag{3}$$ Es decir, el impulso está en la misma dirección, es decir, representa "el mismo tipo de movimiento", por lo que todavía tiene la forma (1) con un parámetro de velocidad posiblemente diferente$\eta^\prime$. Esto lleva a la ecuación: $$\left(\begin{array}{cc}(1+u)\,k_{11}&-(1-u)\,k_{12}&0&0\\-(1-u)\,k_{21}&(1+u)\,k_{22}&0&0\\0&0&(1+u)\,k_{33}&(1-u)\,k_{43}\\0&0&-(1-u)\,k_{43}&(1+u)\,k_{33}\end{array}\right)=0\tag{4}$$ dónde$u=\eta^\prime/\eta$. Ahora hay dos posibilidades,$u=\pm1$, para un no trivial ( es decir $K_{jk}=0;\;\forall j,\,k$) Transformación de Lorentz. El primero es$\eta=\eta^\prime$. No hay nada en los postulados hasta ahora que prohíba esto, pero sería un universo extraño en el que se mantuviera tal ley. La transformación de Lorentz sería diagonal y los aumentos no serían ningún movimiento relativo; de hecho, en lugar de un movimiento relativo, tendríamos una dilatación del tiempo junto con un encogimiento e hinchamiento de las escalas de longitud. Esto es lo que Sean Carroll llama el universo de "Alicia en el país de las maravillas"; donde los seres realmente no pueden moverse, pero pueden encogerse y estirarse a voluntad, como Alicia bebiendo su tostada con mantequilla "Bébeme" y mordisqueando los bordes de su champiñón. La segunda posibilidad es$u=-1$. Esto es esencialmente lo que quiere probar, es decir, que el mismo movimiento de la misma rapidez pero en la dirección opuesta corresponde a$\eta\mapsto-\eta$ya la transformación inversa de Lorentz. Así que esencialmente hemos terminado, pero si queremos ver el mismo resultado emitido en términos de velocidades, nos enfocamos en el$(x,\,t)$coordenadas, para las cuales la transformación es: $$\begin{array}{lcl}\left(\begin{array}{c}t\\x\end{array}\right)&\mapsto&\exp\left(\eta\left(\begin{array}{cc}0&k_{12}\\k_{21}&0\end{array}\right)\right)\,\left(\begin{array}{c}t\\x\end{array}\right)\\\\&=&\left(\begin{array}{cc}\cosh(\sqrt{k_{12}\,k_{21}}\,\eta)&\sqrt{\frac{k_{12}}{k_{21}}}\sinh(\sqrt{k_{12}\,k_{21}}\,\eta)\\\sqrt{\frac{k_{21}}{k_{12}}}\sinh(\sqrt{k_{12}\,k_{21}}\,\eta)&\cosh(\sqrt{k_{12}\,k_{21}}\,\eta)\end{array}\right)\,\left(\begin{array}{c}t\\x\end{array}\right)\end{array}\tag{5}$$ que ahora podemos "calibrar" para calcular la relación entre la velocidad$v$y rapidez$\eta(v)$encontrando la relación que establece$x=0$en las coordenadas transformadas: $$v = \sqrt{\frac{k_{21}}{k_{12}}}\tanh(\sqrt{k_{12}\,k_{21}}\,\eta)\tag{6}$$ que es una función impar en$v$, mostrando que la transformación inversa de Lorentz se encuentra haciendo la sustitución$v\mapsto-v$, que es lo que te propusiste probar.

Tenga en cuenta que esto no es trivial ni obvio, particularmente porque existe el universo de Alicia en el País de las Maravillas que es compatible con todas nuestras suposiciones, incluida la isotropía espacial, por lo que necesitamos, además de nuestros otros axiomas, descartar explícitamente esta posibilidad como un axioma / suposición. . El universo de Alicia en el País de las Maravillas tiene la misma transformación (en lugar de inversa) provocada por la inversión de dirección.

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Epílogo: Poner en orden: la causalidad y los últimos pasos hacia la transformación habitual de Lorentz

para hacer frente a la$k_{43}$en lo anterior, es decir , probar$k_{43}=0$, es decir, el curioso giro sobre el$x$eje que está permitido por nuestras suposiciones hasta ahora, necesitamos hacer más suposiciones; ya sea para postular explícitamente$k_{43}=0$sobre la base experimental de que este giro no se observa experimentalmente o, alternativamente, una suposición de que la inversión de la$t$eje corresponde a la transformación inversa de Lorentz también demostrará lo mismo. Por último, hay que investigar el signo de$k_{12}\,k_{21}$; si es negativa, la transformación de Lorentz es una rotación, que es difícil de reconciliar con la causalidad. Entonces debemos tener eso$k_{12}\,k_{21}>0$, que, con un cambio adecuado de unidades, conduce al familiar impulso de Lorentz en (5)