¿Es un error tipográfico en la derivación de David Tong de la interacción espín-órbita?

En la Figura-01 anterior, un sistema inercial$\:\mathrm S'\:$se traduce con respecto al sistema inercial$\:\mathrm S\:$con velocidad constante

$$\begin{align} \boldsymbol{\upsilon} & \boldsymbol{=}\left(\upsilon_{1},\upsilon_{2},\upsilon_{3}\right) \tag{02a}\label{02a}\\ \upsilon & \boldsymbol{=}\Vert \boldsymbol{\upsilon} \Vert \boldsymbol{=} \sqrt{ \upsilon^2_{1}\boldsymbol{+}\upsilon^2_{2}\boldsymbol{+}\upsilon^2_{3}}\:\in \left(0,c\right) \tag{02b}\label{02b} \end{align}$$

La transformación de Lorentz es

$$\begin{align} \mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime}} & \boldsymbol{=} \mathbf{x}\boldsymbol{+} \dfrac{\gamma^2}{c^2 \left(\gamma\boldsymbol{+}1\right)}\left(\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{x}\right)\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{-}\dfrac{\gamma\boldsymbol{\upsilon}}{c}c\,t \tag{03a}\label{03a}\\ c\,t^{\boldsymbol{\prime}} & \boldsymbol{=} \gamma\left(c\,t\boldsymbol{-} \dfrac{\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\cdot} \mathbf{x}}{c}\right) \tag{03b}\label{03b}\\ \gamma & \boldsymbol{=} \left(1\boldsymbol{-}\dfrac{\upsilon^2}{c^2}\right)^{\boldsymbol{-}\frac12} \tag{03c}\label{03c} \end{align}$$

Para la transformación de Lorentz$\eqref{03a}$-$\eqref{03b}$, los vectores$\:\mathbf{E}\:$y$\:\mathbf{B}\:$del campo electromagnético se transforman de la siguiente manera

$$\begin{align} \mathbf{E}' & \boldsymbol{=}\gamma \mathbf{E}\boldsymbol{-}\dfrac{\gamma^2}{c^2 \left(\gamma\boldsymbol{+}1\right)}\left(\mathbf{E}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\upsilon}\right)\boldsymbol{\upsilon}\,\boldsymbol{+}\,\gamma\left(\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\times}\mathbf{B}\right) \tag{04a}\label{04a}\\ \mathbf{B}' & \boldsymbol{=} \gamma \mathbf{B}\boldsymbol{-}\dfrac{\gamma^2}{c^2 \left(\gamma\boldsymbol{+}1\right)}\left(\mathbf{B}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\upsilon}\right)\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{-}\!\dfrac{\gamma}{c^2}\left(\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\times}\mathbf{E}\right) \tag{04b}\label{04b} \end{align}$$ Ahora, si en el sistema$\:\mathrm S\:$tenemos$\:\mathbf{B}\boldsymbol{=0}$, luego de $\eqref{04a}$- $\eqref{04b}$ $$\begin{align} \mathbf{E}' & \boldsymbol{=}\gamma \mathbf{E}\boldsymbol{-}\dfrac{\gamma^2}{c^2 \left(\gamma\boldsymbol{+}1\right)}\left(\mathbf{E}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\upsilon}\right)\boldsymbol{\upsilon} \tag{05a}\label{05a}\\ \mathbf{B}' & \boldsymbol{=} \boldsymbol{-}\dfrac{\gamma}{c^2}\left(\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\times}\mathbf{E}\right) \tag{05b}\label{05b} \end{align}$$ Ecuación $\eqref{05b}$corresponde a la ecuación de Tong (queda por explicar el signo menos).

De ecuaciones$\eqref{05a}$-$\eqref{05b}$tenemos

$$\begin{align} \mathbf{B}' & \boldsymbol{=} \boldsymbol{-}\dfrac{\gamma}{c^2}\left(\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\times}\mathbf{E}\right) \boldsymbol{=}\boldsymbol{-}\dfrac{1}{c^2}\left(\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\times}\gamma\mathbf{E}\right) \nonumber\\ & \boldsymbol{=} \boldsymbol{-}\dfrac{1}{c^2}\Biggl(\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\times}\left[\gamma \mathbf{E}\boldsymbol{-}\dfrac{\gamma^2}{c^2 \left(\gamma\boldsymbol{+}1\right)}\left(\mathbf{E}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\upsilon}\right)\boldsymbol{\upsilon}\right]\Biggr) \boldsymbol{=}\boldsymbol{-}\dfrac{1}{c^2}\left(\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\times}\mathbf{E}'\right) \nonumber \end{align}$$ eso es $$\begin{equation} \mathbf{B}' \boldsymbol{=}\boldsymbol{-}\dfrac{1}{c^2}\left(\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\times}\mathbf{E}'\right) \tag{06}\label{06} \end{equation}$$ Ecuación $\eqref{06}$corresponde a la ecuación de Griffiths.

Basado en ecuaciones$\eqref{04a}$,$\eqref{04b}$hemos probado que

$$\begin{equation} \mathbf{B}\boldsymbol{=0}\quad\stackrel{\eqref{04a},\eqref{04b}}{\boldsymbol{=\!=\!=\!\Longrightarrow}}\quad \mathbf{B}' \boldsymbol{+}\dfrac{1}{c^2}\left(\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\times}\mathbf{E}'\right)\boldsymbol{=0} \tag{06.1}\label{06.1} \end{equation}$$ Pero podemos probar la validez de su inversa $$\begin{equation} \mathbf{B}' \boldsymbol{+}\dfrac{1}{c^2}\left(\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\times}\mathbf{E}'\right)\boldsymbol{=0}\quad\stackrel{\eqref{04a},\eqref{04b}}{\boldsymbol{=\!=\!=\!\Longrightarrow}}\quad \mathbf{B}\boldsymbol{=0} \tag{06.2}\label{06.2} \end{equation}$$ Entonces estas condiciones son equivalentes $$\begin{equation} \boxed{\:\:\mathbf{B}\boldsymbol{=0}\quad\stackrel{\eqref{04a},\eqref{04b}}{\boldsymbol{\Longleftarrow\!=\!=\!\Longrightarrow}}\quad \mathbf{B}' \boldsymbol{+}\dfrac{1}{c^2}\left(\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\times}\mathbf{E}'\right)\boldsymbol{=0}\:\:\vphantom{\dfrac{\tfrac{a}{b}}{\tfrac{a}{b}}}} \tag{06.3}\label{06.3} \end{equation}$$ Ecuación $\eqref{06.2}$es válido porque $$\begin{equation} \mathbf{B}' \boldsymbol{+}\dfrac{1}{c^2}\left(\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\times}\mathbf{E}'\right)\boldsymbol{=}\gamma^{\boldsymbol{-}1}\mathbf{B}_{\boldsymbol{\perp}} \boldsymbol{+}\mathbf{B}_{\boldsymbol{\parallel}} \tag{06.4}\label{06.4} \end{equation}$$ dónde$\mathbf{B}_{\boldsymbol{\parallel}},\mathbf{B}_{\boldsymbol{\perp}}$los componentes de$\mathbf{B}$paralela y normal al vector velocidad$\boldsymbol{\upsilon}$respectivamente.

$\boldsymbol{=\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!=}$

$\textbf{ADDENDUM}$

Si en el sistema$\:\mathrm S\:$tenemos$\:\mathbf{E}\boldsymbol{=0}$, luego de$\eqref{04a}$-$\eqref{04b}$

$$\begin{align} \mathbf{E}' & \boldsymbol{=}\gamma\left(\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\times}\mathbf{B}\right) \tag{07a}\label{07a}\\ \mathbf{B}' & \boldsymbol{=} \gamma \mathbf{B}\boldsymbol{-}\dfrac{\gamma^2}{c^2 \left(\gamma\boldsymbol{+}1\right)}\left(\mathbf{B}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\upsilon}\right)\boldsymbol{\upsilon} \tag{07b}\label{07b} \end{align}$$ de modo que $$\begin{align} \mathbf{E}' & \boldsymbol{=} \gamma\left(\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\times}\mathbf{B}\right)\boldsymbol{=} \left(\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\times}\gamma\mathbf{B}\right) \nonumber\\ & \boldsymbol{=} \boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\times}\left[\gamma \mathbf{B}\boldsymbol{-}\dfrac{\gamma^2}{c^2 \left(\gamma\boldsymbol{+}1\right)}\left(\mathbf{B}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\upsilon}\right)\boldsymbol{\upsilon}\right] \boldsymbol{=}\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\times}\mathbf{B}' \nonumber \end{align}$$ eso es $$\begin{equation} \mathbf{E}' \boldsymbol{=}\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\times}\mathbf{B}' \tag{08}\label{08} \end{equation}$$

Basado en ecuaciones$\eqref{04a}$,$\eqref{04b}$hemos probado que

$$\begin{equation} \mathbf{E}\boldsymbol{=0}\quad\stackrel{\eqref{04a},\eqref{04b}}{\boldsymbol{=\!=\!=\!\Longrightarrow}}\quad \mathbf{E}' \boldsymbol{-}\left(\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\times}\mathbf{B}'\right)\boldsymbol{=0} \tag{08.1}\label{08.1} \end{equation}$$ Pero podemos probar la validez de su inversa $$\begin{equation} \mathbf{E}' \boldsymbol{-}\left(\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\times}\mathbf{B}'\right)\boldsymbol{=0}\quad\stackrel{\eqref{04a},\eqref{04b}}{\boldsymbol{=\!=\!=\!\Longrightarrow}}\quad \mathbf{E}\boldsymbol{=0} \tag{08.2}\label{08.2} \end{equation}$$ Entonces estas condiciones son equivalentes $$\begin{equation} \boxed{\:\:\mathbf{E}\boldsymbol{=0}\quad\stackrel{\eqref{04a},\eqref{04b}}{\boldsymbol{\Longleftarrow\!=\!=\!\Longrightarrow}}\quad \mathbf{E}' \boldsymbol{-}\left(\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\times}\mathbf{B}'\right)\boldsymbol{=0}\:\:\vphantom{\dfrac{\tfrac{a}{b}}{\tfrac{a}{b}}}} \tag{08.3}\label{08.3} \end{equation}$$ Ecuación $\eqref{08.2}$es válido porque $$\begin{equation} \mathbf{E}' \boldsymbol{-}\left(\boldsymbol{\upsilon}\boldsymbol{\times}\mathbf{B}'\right)\boldsymbol{=}\gamma^{\boldsymbol{-}1}\mathbf{E}_{\boldsymbol{\perp}} \boldsymbol{+}\mathbf{E}_{\boldsymbol{\parallel}} \tag{08.4}\label{08.4} \end{equation}$$ dónde$\mathbf{E}_{\boldsymbol{\parallel}},\mathbf{E}_{\boldsymbol{\perp}}$los componentes de$\mathbf{E}$paralela y normal al vector velocidad$\boldsymbol{\upsilon}$respectivamente.

$\boldsymbol{=\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!=}$

La transformación de dualidad del campo electromagnético se produce por los reemplazos

$$\begin{equation} \begin{matrix} \hphantom{c}\mathbf{E}&\boldsymbol{-\!-\!\!\!\longrightarrow}&\boldsymbol{-}c\mathbf{B}\\ c\mathbf{B}&\boldsymbol{-\!-\!\!\!\longrightarrow}&\hphantom{\boldsymbol{-}c}\mathbf{E} \end{matrix} \tag{09}\label{09} \end{equation}$$ Estos reemplazos deben hacerse también en el sistema cebado. $$\begin{equation} \begin{matrix} \hphantom{c}\mathbf{E}'&\boldsymbol{-\!-\!\!\!\longrightarrow}&\boldsymbol{-}c\mathbf{B}'\\ c\mathbf{B}'&\boldsymbol{-\!-\!\!\!\longrightarrow}&\hphantom{\boldsymbol{-}c}\mathbf{E}' \end{matrix} \tag{09'}\label{09'} \end{equation}$$ En lo anterior encontramos pares de ecuaciones o expresiones duales, es decir bajo una transformación de dualidad se transforman una a la otra: $$\begin{equation} \begin{matrix} \eqref{04a}&\stackrel{\mathtt{duality}}{\boldsymbol{\longleftarrow\!\!\!-\!\!\!\longrightarrow}}&\eqref{04b}\\ \eqref{06}&\stackrel{\mathtt{duality}}{\boldsymbol{\longleftarrow\!\!\!-\!\!\!\longrightarrow}}&\eqref{08}\\ \eqref{06.3}&\stackrel{\mathtt{duality}}{\boldsymbol{\longleftarrow\!\!\!-\!\!\!\longrightarrow}}&\eqref{08.3}\\ \eqref{06.4}&\stackrel{\mathtt{duality}}{\boldsymbol{\longleftarrow\!\!\!-\!\!\!\longrightarrow}}&\eqref{08.4} \end{matrix} \tag{10}\label{10} \end{equation}$$

$\boldsymbol{=\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!=}$

ecuaciones$\eqref{06}$y$\eqref{08}$son las siguientes ecuaciones$\eqref{12.109}$y$\eqref{12.110}$respectivamente

$$\begin{equation} \boxed{\:\:\overset{\boldsymbol{-\!\!\!\!\!-}}{\mathbf{B}} \boldsymbol{=}\boldsymbol{-}\dfrac{1}{c^2}\left(\mathbf{v}\boldsymbol{\times}\overset{\boldsymbol{-\!\!\!\!\!-}}{\mathbf{E}}\right)\boldsymbol{.}\:\:\vphantom{\dfrac{\tfrac{a}{b}}{\tfrac{a}{b}}}} \tag{12.109}\label{12.109} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \boxed{\:\:\overset{\boldsymbol{-\!\!\!\!\!-}}{\mathbf{E}} \boldsymbol{=}\mathbf{v}\boldsymbol{\times}\overset{\boldsymbol{-\!\!\!\!\!-}}{\mathbf{B}}\,\boldsymbol{.}\:\:\vphantom{\dfrac{\tfrac{a}{b}}{\tfrac{a}{b}}}} \tag{12.110}\label{12.110} \end{equation}$$ como se muestra en ''Introducción a la electrodinámica'' de David J. Griffiths, 3ra edición 1999.

$\boldsymbol{=\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!=}$

$\vec{p}=\gamma m\vec{v}$es la ecuación técnicamente correcta, pero para partículas no relativistas donde$|\vec{v}|\ll c$, el factor de Lorentz se convierte en

$$\begin{equation} \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\approx 1, \end{equation}$$ y así puede ser despreciado.

Para su referencia, eché un vistazo rápido y creo que Eq. (6.45) de sus notas EM es de donde se deriva esto.

Sin embargo, no estoy seguro sobre el signo negativo en Griffiths.