Dos conjuntos de coordenadas, cada uno en fotogramas OOO y O′O′ O' (transformación de Lorentz)

La respuesta es SÍ . Es cierto que el sistema de coordenadas (u′,v′,w′) está relacionado con (x′,y′,z′) también por la matriz ortonormal A, al menos bajo las Transformaciones de Lorentz que se usan a continuación. Pero, por favor, usemos otros símbolos (por ejemplo, es costumbre usar$\;\upsilon\;$para la magnitud algebraica de la velocidad$\:\mathbf{v}=\upsilon\mathbf{n}\:$).

SECCIÓN A: La respuesta es SÍ.

Sean los dos sistemas de coordenadas$\;Ox_1 x_2 x_3 t \;$y$\;O^{\boldsymbol{\prime}}x_1^{\boldsymbol{\prime}}x_2^{\boldsymbol{\prime}}x_3^{\boldsymbol{\prime}}t^{\boldsymbol{\prime}}\;$con 4 vectores respectivamente

$$\begin{equation} \mathbf{X} = \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ ct\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \\ \mathbf{x}\\ \\ ct\\ \end{bmatrix} \quad , \quad \mathbf{X}^{\boldsymbol{\prime}} = \begin{bmatrix} x_1^{\boldsymbol{\prime}}\\ x_2^{\boldsymbol{\prime}}\\ x_3^{\boldsymbol{\prime}}\\ x_4^{\boldsymbol{\prime}}\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1^{\boldsymbol{\prime}}\\ x_2^{\boldsymbol{\prime}}\\ x_3^{\boldsymbol{\prime}}\\ ct^{\boldsymbol{\prime}}\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \\ \mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime}}\\ \\ ct^{\boldsymbol{\prime}}\\ \end{bmatrix} \tag{A-01} \end{equation}$$

El sistema$\;O^{\boldsymbol{\prime}}x_1^{\boldsymbol{\prime}}x_2^{\boldsymbol{\prime}}x_3^{\boldsymbol{\prime}}t^{\boldsymbol{\prime}}\;$se mueve con velocidad$\:\mathbf{v}=\upsilon\mathbf{n}=\upsilon\left(n_1,n_2,n_3\right)$,$\:\upsilon \in \left(-c,+c\right)\:$, con respecto a$\;Ox_1 x_2 x_3 t \;$por lo que están relacionados por una Transformación de Lorentz$\:\Bbb{L}\left(\mathbf{v}\right)\:$, una función de$\: \mathbf{v}\:$:

$$\begin{equation} \mathbf{X}^{\boldsymbol{\prime}}=\Bbb{L}\left(\mathbf{v}\right)\mathbf{X} \tag{A-02} \end{equation}$$

Usaremos una transformación de Lorentz donde para la inversa

$$\begin{equation} \Bbb{L}^{-1}\left(\mathbf{v}\right)=\Bbb{L}\left(-\mathbf{v}\right) \tag{A-03} \end{equation}$$

Supongamos ahora que el sistema de coordenadas$\;Ox_1 x_2 x_3 t \;$sufre una transformación a$\;Ow_1 w_2 w_3 t \;$por una rotación

$$\begin{equation} \mathbf{W}= \Bbb{A}\mathbf{X}= \begin{bmatrix} & \\ \rm{A} & \boldsymbol{0} \\ & \\ \boldsymbol{0}^{\rm{T}} & 1 \end{bmatrix} \mathbf{X} \tag{A-04} \end{equation}$$ dónde $\:\rm{A}$= $\:3\times 3\:$matriz de rotación, $\: \boldsymbol{0}\:$el $\:3\times 1\:$ vector de columna nula y $\: \boldsymbol{0}^{\rm{T}} \:$su traspuesto $\:1\times 3\:$ vector de fila nula

$$\begin{equation} \boldsymbol{0}= \begin{bmatrix} 0\\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \quad , \quad \boldsymbol{0}^{\rm{T}}= \begin{bmatrix} 0&0&0 \end{bmatrix} \tag{A-05} \end{equation}$$

Ahora, dejemos que un sistema$\;Ow_1^{\boldsymbol{\prime}} w_2^{\boldsymbol{\prime}} w_3^{\boldsymbol{\prime}} t^{\boldsymbol{\prime}} \;$moviéndose con la misma velocidad con respecto a$\;Ow_1 w_2 w_3 t \;$como$\;O^{\boldsymbol{\prime}}x_1^{\boldsymbol{\prime}}x_2^{\boldsymbol{\prime}}x_3^{\boldsymbol{\prime}}t^{\boldsymbol{\prime}}\;$con respecto a$\;Ox_1 x_2 x_3 t \;$. Entonces

$$\begin{equation} \mathbf{W}^{\boldsymbol{\prime}}=\Bbb{L}\left(\rm{A}\mathbf{v}\right)\mathbf{W} \tag{A-06} \end{equation}$$

donde el argumento de velocidad de la transformación de Lorentz es ahora$\:\rm{A}\mathbf{v}\:$visto por$\;Ow_1 w_2 w_3 t \;$y no$\:\mathbf{v}\:$visto por$\;Ox_1 x_2 x_3 t \;$.

De las ecuaciones (A-02), (A-03), (A-04) y (A-06) la relación de$\:\mathbf{W}^{\boldsymbol{\prime}}\:$y$\:\mathbf{X}^{\boldsymbol{\prime}}\:$es

$$\begin{equation} \mathbf{W}^{\boldsymbol{\prime}}=\Bbb{L}\left(\rm{A}\mathbf{v}\right)\mathbf{W}=\Bbb{L}\left(\rm{A}\mathbf{v}\right)\Bbb{A}\mathbf{X}=\Bbb{L}\left(\rm{A}\mathbf{v}\right)\Bbb{A}\Bbb{L}\left(-\mathbf{v}\right)\mathbf{X}^{\boldsymbol{\prime}}=\Bbb{A}^{\boldsymbol{\prime}}\mathbf{X}^{\boldsymbol{\prime}} \tag{A-07} \end{equation}$$ dónde $$\begin{equation} \Bbb{A}^{\boldsymbol{\prime}}=\Bbb{L}\left(\rm{A}\mathbf{v}\right)\cdot\Bbb{A}\cdot\Bbb{L}\left(-\mathbf{v}\right) \tag{A-08} \end{equation}$$ La pregunta es si $$\begin{equation} \Bbb{A}^{\boldsymbol{\prime}}\equiv \Bbb{A} \quad \textbf{(???)} \tag{A-09} \end{equation}$$ en cuyo caso (A-08) se expresa como $$\begin{equation} \Bbb{A}\cdot\Bbb{L}\left(\mathbf{v}\right)=\Bbb{L}\left(\rm{A}\mathbf{v}\right)\cdot\Bbb{A} \quad \textbf{(???)} \tag{A-10} \end{equation}$$

Haremos uso del siguiente tipo de Transformaciones de Lorentz, vea la SECCIÓN B , ecuaciones (B-27), (B-28) allí.

$$\begin{equation} \Bbb{L}(\mathbf{v})= \begin{bmatrix} &1+(\gamma-1)n_1^{2}&(\gamma-1)n_1n_2&(\gamma-1)n_1n_3&-\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}n_1&\\ &&&&&\\ &(\gamma-1)n_2n_1&1+(\gamma-1)n_2^{2}&(\gamma-1)n_2n_3&-\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}n_2&\\ &&&&&\\ &(\gamma-1)n_3n_1&(\gamma-1)n_3n_2&1+(\gamma-1)n_3^{2}&-\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}n_3&\\ &&&&&\\ &-\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}n_1&-\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}n_2&-\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}n_3&\gamma& \end{bmatrix} \tag{A-11} \end{equation}$$ y en forma de bloque $$\begin{equation} \Bbb{L}(\mathbf{v})= \begin{bmatrix} &I+(\gamma-1)\mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}} &\hspace{5mm} -\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\mathbf{n}&\\ &&&\\ &-\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\mathbf{n}^{\rm{T}} &\hspace{5mm}\gamma&\\ \end{bmatrix} \tag{A-12} \end{equation}$$

dónde$\:\mathbf{n}\:$a$\:3\times 1\:$vector de columna unitaria y$\: \mathbf{n}^{\rm{T}} \:$su traspuesto$\:1\times 3\:$vector de fila de unidad

$$\begin{equation} \mathbf{n}= \begin{bmatrix} n_1\\ n_2 \\ n_3 \end{bmatrix} \quad , \quad \mathbf{n}^{\rm{T}}= \begin{bmatrix} n_1&n_2&n_3 \end{bmatrix} \tag{A-13} \end{equation}$$ y $\:\mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}}\:$una transformación lineal, la proyección vectorial en la dirección $\:\mathbf{n}\:$ $$\begin{equation} \mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}}= \begin{bmatrix} n_1\\ n_2 \\ n_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} n_1&n_2&n_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} n_1^{2} & n_1 n_2 & n_1 n_3\\ n_2 n_1 & n_2^{2} & n_2 n_3\\ n_3 n_1 & n_3 n_2 & n_3^{2} \end{bmatrix} \tag{A-14} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \Bbb{L}^{-1}\left(\mathbf{v}\right)=\Bbb{L}\left(-\mathbf{v}\right)= \begin{bmatrix} &I+(\gamma-1)\mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}} &\hspace{5mm} +\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\mathbf{n}&\\ &&&\\ &+\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\mathbf{n}^{\rm{T}} &\hspace{5mm}\gamma&\\ \end{bmatrix} \tag{A-15} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \Bbb{L}(\rm{A}\mathbf{v})= \begin{bmatrix} &I+(\gamma-1)\rm{A} \mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}}\rm{A}^{\rm{T}} &\hspace{5mm} -\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\rm{A}\mathbf{n}&\\ &&&\\ &-\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\mathbf{n}^{\rm{T}}\rm{A}^{\rm{T}} &\hspace{5mm}\gamma&\\ \end{bmatrix} \tag{A-16} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \Bbb{A}\cdot\Bbb{L}\left(-\mathbf{v}\right)= \begin{bmatrix} & \\ \rm{A} & \boldsymbol{0} \\ & \\ \boldsymbol{0}^{\rm{T}} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} &I+(\gamma-1)\mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}} &\hspace{5mm} +\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\mathbf{n}&\\ &&&\\ &+\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\mathbf{n}^{\rm{T}} &\hspace{5mm}\gamma&\\ \end{bmatrix} \nonumber \end{equation}$$

$$\begin{equation} \Bbb{A}\cdot\Bbb{L}\left(-\mathbf{v}\right)= \begin{bmatrix} &\rm{A}+(\gamma-1)\rm{A}\mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}} &\hspace{5mm} +\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\rm{A}\mathbf{n}&\\ &&&\\ &+\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\mathbf{n}^{\rm{T}} &\hspace{5mm}\gamma&\\ \end{bmatrix} \tag{A-17} \end{equation}$$

$$\begin{align} &\Bbb{L}(\rm{A}\mathbf{v})\cdot\Bbb{A}\cdot\Bbb{L}\left(-\mathbf{v}\right)= \nonumber\\ &\begin{bmatrix} &I+(\gamma-1)\rm{A} \mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}}\rm{A}^{\rm{T}} &\hspace{5mm} -\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\rm{A}\mathbf{n}&\\ &&&\\ &-\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\mathbf{n}^{\rm{T}}\rm{A}^{\rm{T}} &\hspace{5mm}\gamma&\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} &\rm{A}+(\gamma-1)\rm{A}\mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}} &\hspace{5mm} +\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\rm{A}\mathbf{n}&\\ &&&\\ &+\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\mathbf{n}^{\rm{T}} &\hspace{5mm}\gamma&\\ \end{bmatrix} \nonumber\\ &= \begin{bmatrix} & \\ \rm{A}^{\boldsymbol{\prime}} & \boldsymbol{\rho} \\ & \\ \boldsymbol{\sigma}^{\rm{T}} & a \end{bmatrix} \tag{A-18} \end{align}$$ Desde $\:\rm{A}\rm{A}^{\rm{T}}=I=\rm{A}^{\rm{T}}\rm{A}\:$y $\:\mathbf{n}^{\rm{T}}\mathbf{n}=1\:$

$$\begin{equation} a=\left(-\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\mathbf{n}^{\rm{T}}\rm{A}^{\rm{T}}\right)\left(+\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\rm{A}\mathbf{n}\right)+\gamma^{2}=-\left(\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\right)^{2}\mathbf{n}^{\rm{T}}\rm{A}^{\rm{T}}\rm{A} \mathbf{n}+\gamma^{2}=1 \tag{A-19} \end{equation}$$

$$\begin{align} \boldsymbol{\rho}&=\left[I+(\gamma-1)\rm{A} \mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}}\rm{A}^{\rm{T}}\right]\left(+\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\rm{A}\mathbf{n}\right)-\dfrac{\gamma^{2}\upsilon}{c}\rm{A}\mathbf{n} \nonumber\\ &=\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\rm{A}\mathbf{n}+\gamma(\gamma-1)\dfrac{\upsilon}{c}\rm{A} \mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}}\rm{A}^{\rm{T}} \rm{A} \mathbf{n}-\dfrac{\gamma^{2}\upsilon}{c}\rm{A}\mathbf{n}=\boldsymbol{0} \tag{A-20} \end{align}$$ $$\begin{align} \boldsymbol{\sigma}^{\rm{T}}&=\left(-\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\mathbf{n}^{\rm{T}}\rm{A}^{\rm{T}}\right)\left[\rm{A}+(\gamma-1)\rm{A}\mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}}\right]+\dfrac{\gamma^{2}\upsilon}{c}\mathbf{n}^{\rm{T}} \nonumber\\ &=-\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\mathbf{n}^{\rm{T}}\rm{A}^{\rm{T}}\rm{A}-\gamma(\gamma-1)\dfrac{\upsilon}{c}\mathbf{n}^{\rm{T}}\rm{A}^{\rm{T}}\rm{A}\mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}}+\dfrac{\gamma^{2}\upsilon}{c}\mathbf{n}^{\rm{T}}=\boldsymbol{0}^{\rm{T}} \tag{A-21} \end{align}$$ y finalmente $$\begin{align} \rm{A}^{\boldsymbol{\prime}}&=\left[I+(\gamma-1)\rm{A} \mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}}\rm{A}^{\rm{T}}\right]\left[\rm{A}+(\gamma-1)\rm{A}\mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}}\right]+\left(-\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\rm{A}\mathbf{n}\right)\left(+\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\mathbf{n}^{\rm{T}}\right) \nonumber\\ &=\rm{A}+(\gamma-1)\rm{A}\mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}}+(\gamma-1)\rm{A} \mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}}\rm{A}^{\rm{T}}\rm{A}+(\gamma-1)^{2}\rm{A} \mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}}\rm{A}^{\rm{T}}\rm{A}\mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}}-\left(\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\right)^{2}\rm{A}\mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}} \nonumber\\ &=\rm{A}+2(\gamma-1)\rm{A}\mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}}+(\gamma-1)^{2}\rm{A} \mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}}-\left(\dfrac{\gamma \upsilon}{c}\right)^{2}\rm{A}\mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}}=\rm{A} \tag{A-22} \end{align}$$ Entonces las ecuaciones (A-09) y (A-10) son válidas $$\begin{equation} \Bbb{A}^{\boldsymbol{\prime}}\equiv \Bbb{A} \tag{A-09$^{\boldsymbol{\prime}}$} \end{equation}$$ $$\begin{equation} \Bbb{A}\cdot\Bbb{L}\left(\mathbf{v}\right)=\Bbb{L}\left(\rm{A}\mathbf{v}\right)\cdot\Bbb{A} \tag{A-10$^{\boldsymbol{\prime}}$} \end{equation}$$

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SECCIÓN B : La Transformación de Lorentz, ecuaciones (A-11) y (A-12).

En la figura anterior se muestra la denominada configuración estándar. El sistema$\:O^{\boldsymbol{\prime}}x^{\boldsymbol{\prime}}y^{\boldsymbol{\prime}}z^{\boldsymbol{\prime}}t^{\boldsymbol{\prime}}\:$se mueve con velocidad$\: \mathbf{v}_{o}=\upsilon\mathbf{e}_1\:$,$\:\upsilon \in \left(-c,+c\right)\:$, con respecto a$\:Oxyzt\:$a lo largo de su común$\:x$-eje.

Usando los cuatro vectores

$$\begin{equation} \mathbf{R} = \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ ct\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \\ \mathbf{r}\\ \\ ct\\ \end{bmatrix} \quad , \quad \mathbf{R}^{\boldsymbol{\prime}} = \begin{bmatrix} x^{\boldsymbol{\prime}}\\ y^{\boldsymbol{\prime}}\\ z^{\boldsymbol{\prime}}\\ ct^{\boldsymbol{\prime}}\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \\ \mathbf{r}^{\boldsymbol{\prime}}\\ \\ ct^{\boldsymbol{\prime}}\\ \end{bmatrix}\\ \tag{B-01} \end{equation}$$ el LT para la configuración estándar es $$\begin{equation} \begin{bmatrix} x^{\boldsymbol{\prime}}\\ \\ y^{\boldsymbol{\prime}}\\ \\ z^{\boldsymbol{\prime}}\\ \\ ct^{\boldsymbol{\prime}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} &\gamma&0&0&-\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}&\\ &&&&&\\ &0&\ \ 1\ \ \ &\ \ \ 0\ \ &0&\\ &&&&&\\ &0&0&1&0&\\ &&&&&\\ &-\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}&0&0&\gamma &\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ \\ y\\ \\ z\\ \\ ct \end{bmatrix} \tag{B-02} \end{equation}$$ o $$\begin{equation} \mathbf{R}^{'} =\ \Bbb{B}\ \mathbf{R}\\ \tag{B-03} \end{equation}$$ dónde $\ \Bbb{B}\ $es la representación matricial 4x4 de LT entre los dos sistemas en configuración estándar $$\begin{equation} \Bbb{B}(\upsilon)\ =\ \begin{bmatrix} &\gamma&0&0&-\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}&\\ &&&&&\\ &0&\ \ 1\ \ \ &\ \ \ 0\ \ &0&\\ &&&&&\\ &0&0&1&0&\\ &&&&&\\ &-\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}&0&0&\gamma &\\ \end{bmatrix} \tag{B-04} \end{equation}$$ Está claro que $\Bbb{B}$es una función del parámetro escalar real de la velocidad $\upsilon$.El parámetro de velocidad $\upsilon$no es necesariamente la norma del vector de velocidad, que no es negativo. Los valores negativos significan traslación hacia los valores negativos del eje. $Ox$.

También$\:\gamma\:$es el conocido factor

$$\begin{equation} \gamma\ \stackrel{\text{def}}{\equiv} \ \left(1-\frac{\upsilon^2}{c^{2}}\right)^{-\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{\upsilon^2}{c^{2}}}}\\ \tag{B-05} \end{equation}$$

Debemos señalar en este punto que$\ \Bbb{B}\ $tiene 3 propiedades principales: (1) es simétrica (2) su inversa es lo mismo con invertida$\upsilon$y (3) es de determinante unitario:

$$\begin{equation} \Bbb{B}^{\rm{T}}(\upsilon)=\Bbb{B}(\upsilon)\quad, \quad \Bbb{B}^{-1}(\upsilon)=\Bbb{B}(-\upsilon)\quad, \quad \det{\Bbb{B}(\upsilon)}=1 \tag{B-06} \end{equation}$$ Para que la configuración estándar sea más general, no se limita a velocidades paralelas al eje común $\ Ox\equiv Ox^{'}$, hacemos una rotación $\;S\;$del sistema de coordenadas espaciales de $\ (x,y,z)\equiv\mathbf{r}\ $a $\ (x_1,x_2,x_3)\equiv\mathbf{x}\ $tal que la velocidad $$\begin{equation} \mathbf{v}_{0}=(\upsilon,0,0)=\upsilon(1,0,0)=\upsilon \mathbf{e}_{1} \tag{B-07} \end{equation}$$ del sistema $\ O^{'}x^{'}y^{'}z^{'}\ $relativamente a $\ Oxyz\ $, ser transformado en $$\begin{equation} \mathbf{v}=(\upsilon_1,\upsilon_2,\upsilon_3)=\upsilon(n_1,n_2,n_3)=\upsilon \mathbf{n} \tag{B-08} \end{equation}$$ dónde $\ \mathbf{n}=(n_1,n_2,n_3)\ $es un vector unitario. Para mantener el sistema de coordenadas espaciales correctamente ortonormal, elegimos cualquier matriz ortogonal $\;S\;$con determinante unitario positivo: $$\begin{equation} S=\begin{bmatrix} &s_{11}&s_{12}&s_{13}&\\ &s_{21}&s_{22}&s_{23}&\\ &s_{31}&s_{32}&s_{33}& \end{bmatrix} \tag{B-09} \end{equation}$$

Ya que debemos tener

$$\begin{equation} S\mathbf{v}_{0}=\mathbf{v} \tag{B-10} \end{equation}$$ o $$\begin{equation} \begin{bmatrix} &s_{11}&s_{12}&s_{13}&\\ &s_{21}&s_{22}&s_{23}&\\ &s_{31}&s_{32}&s_{33}& \end{bmatrix} \begin{bmatrix} &1&\\ &0&\\ &0& \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} &n_1&\\ &n_2&\\ &n_3& \end{bmatrix} \tag{B-11} \end{equation}$$ entonces $$\begin{equation} \begin{bmatrix} &s_{11}&\\ &s_{21}&\\ &s_{31}& \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} &n_1&\\ &n_2&\\ &n_3& \end{bmatrix} \tag{B-12} \end{equation}$$ Las filas o columnas de $\;S\;$constituyen un sistema ortonormal recto, por lo que $$\begin{equation} SS^{\rm{T}}=I=S^{\rm{T}}S \tag{B-13} \end{equation}$$ y $$\begin{equation} S^{-1}=S^{\rm{T}} \tag{B-14} \end{equation}$$ El $4\times4$matriz está en forma de bloque $$\begin{equation} \Bbb{S}\ =\ \begin{bmatrix} & S &\mathbf{0}&\\ &&&\\ &\mathbf{0}^{\rm{T}}&\ \ 1\ \ \ &\\ \end{bmatrix} \tag{B-15} \end{equation}$$ donde, como en las definiciones (A-05) $$\begin{equation} \boldsymbol{0}= \begin{bmatrix} 0\\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \quad , \quad \boldsymbol{0}^{\rm{T}}= \begin{bmatrix} 0&0&0 \end{bmatrix} \tag{A-05} \end{equation}$$

Ahora bien, si en el sistema acentuado$\ O^{\boldsymbol{\prime}}x^{\boldsymbol{\prime}}y^{\boldsymbol{\prime}}z^{\boldsymbol{\prime}}\ $exactamente la misma transformación espacial$\;S\;$se usa desde$\ (x^{\boldsymbol{\prime}},y^{\boldsymbol{\prime}},z^{\boldsymbol{\prime}})\equiv\mathbf{r}\ $a$\ (x_1^{\boldsymbol{\prime}},x_2^{\boldsymbol{\prime}},x_3^{\boldsymbol{\prime}})\equiv\mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime}}\ $entonces

$$\begin{equation} \mathbf{X} = \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \\ \mathbf{x}\\ \\ ct \end{bmatrix} =\Bbb{S}\mathbf{R}= \begin{bmatrix} \\ S\mathbf{r}\\ \\\ ct \end{bmatrix} \quad , \quad \mathbf{X}^{\boldsymbol{\prime}} = \begin{bmatrix} x_1^{\boldsymbol{\prime}}\\ x_2^{\boldsymbol{\prime}}\\ x_3^{\boldsymbol{\prime}}\\ x_4^{\boldsymbol{\prime}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \\ \mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime}}\\ \\ ct^{\boldsymbol{\prime}}\\ \end{bmatrix} =\Bbb{A}\mathbf{R}^{\boldsymbol{\prime}}= \begin{bmatrix} \\ S\mathbf{r}^{\boldsymbol{\prime}}\\ \\ ct^{\boldsymbol{\prime}}\\ \end{bmatrix}\\ \tag{B-16} \end{equation}$$ y procedemos a encontrar la transformación entre las nuevas coordenadas, $\;\mathbf{X}\;$y $\;\mathbf{X}^{\boldsymbol{\prime}}\;$, de la relación entre $\;\mathbf{R}\;$y $\;\mathbf{R}^{\boldsymbol{\prime}}\;$, ver ecuaciones (B-02) a (B-04):
$$\begin{eqnarray} \mathbf{R}^{\boldsymbol{\prime}} &=& \Bbb{B}\mathbf{R} \nonumber\\ \Bbb{S}\mathbf{R}^{\boldsymbol{\prime}} &=& \Bbb{S}\Bbb{B}\mathbf{R} \nonumber\\ \Bbb{S}\mathbf{R}^{\boldsymbol{\prime}} &=& \left[\Bbb{S}\Bbb{B}\Bbb{S}^{-1}\right]\left[\Bbb{S}\mathbf{R}\right] \nonumber\\ \mathbf{X}^{\boldsymbol{\prime}} &=& \left[\Bbb{S}\Bbb{B}\Bbb{S}^{-1}\right]\mathbf{X} \nonumber\\ \mathbf{X}^{\boldsymbol{\prime}} &=& \Bbb{L}\mathbf{X} \tag{B-17} \end{eqnarray}$$ Entonces la nueva matriz para la Transformación de Lorentz es $$\begin{equation} \Bbb{L}=\Bbb{S}\Bbb{B}\Bbb{S}^{-1}\\ \tag{B-18} \end{equation}$$ y por las ecuaciones (B-13) y (B-14) $$\begin{equation} \Bbb{S}^{-1}= \begin{bmatrix} &S^{-1}\ &\boldsymbol{0}&\\ &&&\\ &\boldsymbol{0}^{\rm{T}}& 1 &\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} & S^{\rm{T}}&\boldsymbol{0}&\\ &&&\\ &\boldsymbol{0}^{\rm{T}}& 1 &\\ \end{bmatrix} = \Bbb{S}^{\rm{T}} \tag{B-19} \end{equation}$$ El $4\times4$matriz $\;\Bbb{B}\;$definido por la ecuación (B-04) se expresa en forma de bloque $$\begin{equation} \Bbb{B} = \begin{bmatrix} &B&-\;\dfrac{\gamma \mathbf{v}_{0}}{c}&\\ &&&\\ &-\;\dfrac{\gamma \mathbf{v}_{0}^{\rm{T}}}{c}&\ \ \gamma\ \ \ &\\ \end{bmatrix} \tag{B-20} \end{equation}$$ dónde $\;B\;$es el $3\times3$matriz
$$\begin{equation} B= \begin{bmatrix} &\gamma&0&0&\\ &0&1&0&\\ &0&0&1&\\ \end{bmatrix} \tag{B-21} \end{equation}$$ y $$\begin{equation} \mathbf{v}_{0}\equiv \begin{bmatrix} \upsilon\\ 0\\ 0\\ \end{bmatrix} =\upsilon \mathbf{e}_{1} \ \ \text{ with transpose }\ \ \mathbf{v}_{0}^{\rm{T}}= \begin{bmatrix} \ \ \upsilon\ \ 0\ \ 0\ \\ \end{bmatrix} \tag{B-22} \end{equation}$$ Entonces $$\begin{eqnarray} \Bbb{L}&=& \Bbb{S}\Bbb{B}\Bbb{S}^{-1}=\Bbb{S}\Bbb{B}\Bbb{S}^{\rm{T}} \nonumber\\ && \nonumber\\ &=& \begin{bmatrix} &S&\hspace{5mm}\mathbf{0}&\\ &\mathbf{0}^{\rm{T}}&\hspace{5mm}1&\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} &B&-\;\dfrac{\gamma \mathbf{v}_{0}}{c}&\\ &&&\\ &-\;\dfrac{\gamma \mathbf{v}_{0}^{\rm{T}}}{c}&\ \ \gamma\ \ \ &\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} &S^{\rm{T}}&\hspace{5mm} \mathbf{0}&\\ &\mathbf{0}^{\rm{T}}&\hspace{5mm}1&\\ \end{bmatrix} \nonumber\\ && \nonumber\\ &=& \begin{bmatrix} &SB&-\;\dfrac{\gamma S\mathbf{v}_{0}}{c}&\\ &&&\\ &-\;\dfrac{\gamma \mathbf{v}_{0}^{\rm{T}}}{c}&\ \ \gamma\ \ \ &\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} &S^{\rm{T}}& \mathbf{0}&\\ &\mathbf{0}^{\rm{T}}&1&\\ \end{bmatrix} \nonumber\\ && \nonumber\\ &=& \begin{bmatrix} &S B&-\;\dfrac{\gamma \mathbf{v}}{c}&\\ &&&\\ &-\;\dfrac{\gamma \mathbf{v}_{0}^{\rm{T}}}{c}&\ \ \gamma\ \ \ &\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} &S^{\rm{T}}& \mathbf{0}&\\ &\mathbf{0}^{\rm{T}}&1&\\ \end{bmatrix} \nonumber\\ && \nonumber\\ &=& \begin{bmatrix} &SBS^{\rm{T}}&-\;\dfrac{\gamma \mathbf{v}}{c}&\\ &&&\\ &-\;\dfrac{\gamma \mathbf{v}^{\rm{T}}}{c}&\ \ \gamma\ \ \ &\\ \end{bmatrix} \nonumber \end{eqnarray}$$ eso es $$\begin{equation} \Bbb{L}= \begin{bmatrix} &SBS^{\rm{T}}&-\;\dfrac{\gamma \mathbf{v}}{c}&\\ &&&\\ &-\;\dfrac{\gamma \mathbf{v}^{\rm{T}}}{c}&\ \ \gamma\ \ \ &\\ \end{bmatrix} \tag{B-23} \end{equation}$$

Para el$3\times3$matriz$\;SBS^{\rm{T}}\;$tenemos

$$\begin{equation} \begin{split} SBS^{T}& \quad = \quad \begin{bmatrix} &s_{11}&s_{12}&s_{13}&\\ &s_{21}&s_{22}&s_{23}&\\ &s_{31}&s_{32}&s_{33}& \end{bmatrix} \begin{bmatrix} &\gamma&0&0&\\ &0&1&0&\\ &0&0&1& \end{bmatrix} \begin{bmatrix} &s_{11}&s_{21}&s_{31}&\\ &s_{12}&s_{22}&s_{32}&\\ &s_{13}&s_{23}&s_{33}& \end{bmatrix} \\ &\\ & \quad = \quad \begin{bmatrix} &\gamma s_{11}&s_{12}&s_{13}&\\ &\gamma s_{21}&s_{22}&s_{23}&\\ &\gamma s_{31}&s_{32}&s_{33}& \end{bmatrix} \begin{bmatrix} &s_{11}&s_{21}&s_{31}&\\ &s_{12}&s_{22}&s_{32}&\\ &s_{13}&s_{23}&s_{33}& \end{bmatrix} \\ &\\ & \stackrel{(B-13)}{=} \begin{bmatrix} &1+(\gamma-1)s_{11}^{2}&\ \ (\gamma-1)s_{11}s_{21}\ \ &(\gamma-1)s_{11}s_{31}&\\ &&&&\\ &(\gamma-1)s_{21}s_{11}&\ \ 1+(\gamma-1)s_{21}^{2}\ \ &(\gamma-1)s_{21}s_{31}&\\ &&&&\\ &(\gamma-1)s_{31}s_{11}&\ \ (\gamma-1)s_{31}s_{21}\ \ &1+(\gamma-1)s_{31}^{2}& \end{bmatrix}\\ &\\ & \stackrel{(B-12)}{=} \begin{bmatrix} &1+(\gamma-1)n_1^{2}&\ \ (\gamma-1)n_1n_2\ \ &(\gamma-1)n_1n_3&\\ &&&&\\ &(\gamma-1)n_2n_1&\ \ 1+(\gamma-1)n_2^{2}\ \ &(\gamma-1)n_2n_3&\\ &&&&\\ &(\gamma-1)n_3n_1&\ \ (\gamma-1)n_3n_2\ \ &1+(\gamma-1)n_3^{2}& \end{bmatrix}\\ &\\ & \quad = \quad I+(\gamma-1) \begin{bmatrix} n_1\\ \\ n_2\\ \\ n_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} n_1\ \ n_2\ \ n_3 \end{bmatrix} \quad = \quad I+(\gamma-1)\mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}} \end{split} \tag{B-24} \end{equation}$$ y finalmente $$\begin{equation} SBA^{T}= I+(\gamma-1)\mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}} \tag{B-25} \end{equation}$$ dónde $$\begin{equation} \mathbf{n}\equiv \begin{bmatrix} n_1\\ n_2\\ n_3\\ \end{bmatrix} \ \ \text{ with transpose }\ \ \mathbf{n}^{\rm{T}} = \begin{bmatrix} \ \ n_1\ \ n_2\ \ n_3\ \\ \end{bmatrix} \tag{B-26} \end{equation}$$ Por la ecuación (B-23) la expresión detallada de $\; \Bbb{L} \;$es $$\begin{equation} \Bbb{L}(\mathbf{v})= \begin{bmatrix} &1+(\gamma-1)n_1^{2}&(\gamma-1)n_1n_2&(\gamma-1)n_1n_3&-\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}n_1&\\ &&&&&\\ &(\gamma-1)n_2n_1&1+(\gamma-1)n_2^{2}&(\gamma-1)n_2n_3&-\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}n_2&\\ &&&&&\\ &(\gamma-1)n_3n_1&(\gamma-1)n_3n_2&1+(\gamma-1)n_3^{2}&-\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}n_3&\\ &&&&&\\ &-\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}n_1&-\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}n_2&-\;\dfrac{\gamma \upsilon}{c}n_3&\gamma& \end{bmatrix} \tag{B-27} \end{equation}$$ y en forma de bloque $$\begin{equation} \Bbb{L}(\mathbf{v})= \begin{bmatrix} &I+(\gamma-1)\mathbf{n}\mathbf{n}^{\rm{T}} &\hspace{5mm} -\;\dfrac{\gamma \mathbf{v}}{c}&\\ &&&\\ &-\;\dfrac{\gamma \mathbf{v}^{T}}{c}&\hspace{5mm}\gamma&\\ \end{bmatrix} \tag{B-28} \end{equation}$$ donde está claro que esta transformación es una función del vector velocidad $\;\mathbf{v}\;$solamente, que es de los tres parámetros escalares reales $\upsilon_1,\upsilon_2,\upsilon_3$.

Tenga en cuenta que bajo esta Transformación de Lorentz más general, las transformaciones del vector de posición$\:\mathbf{x}\:$y tiempo$\:t\:$son

$$\begin{equation} \mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime}} = \mathbf{x}+(\gamma-1)(\mathbf{n}\circ \mathbf{x})\mathbf{n}-\gamma \mathbf{v}t \tag{B-29a} \end{equation}$$ $$\begin{equation} t^{\boldsymbol{\prime}} = \gamma\left(t-\dfrac{\mathbf{v}\circ \mathbf{x}}{c^{2}}\right) \tag{B-29b} \end{equation}$$ dónde " $\circ$"el producto interior habitual en $\:\mathbb{R}^{3}\:$.

en forma diferencial

$$\begin{equation} d\mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime}} = d\mathbf{x}+(\gamma-1)(\mathbf{n}\circ d\mathbf{x})\mathbf{n}-\gamma \mathbf{v}dt \tag{B-30a} \end{equation}$$ $$\begin{equation} dt^{\boldsymbol{\prime}} = \gamma\left(dt-\dfrac{\mathbf{v}\circ d\mathbf{x}}{c^{2}}\right) \tag{B-30b} \end{equation}$$

Entonces, si una partícula se mueve con velocidad$\:\mathbf{u}=\dfrac{d\mathbf{x}}{dt}\:$en el sistema$\:Ox_1x_2x_3\:$entonces su velocidad$\:\mathbf{u}^{\boldsymbol{\prime}}=\dfrac{d\mathbf{x}^{\boldsymbol{\prime}}}{dt^{\boldsymbol{\prime}}}\:$con respecto a$\:Ox_1^{\boldsymbol{\prime}}x_2^{\boldsymbol{\prime}}x_3^{\boldsymbol{\prime}}\:$se encuentra a partir de la división de (B-30a) y (B-30b) uno al lado del otro

$$\begin{equation} \mathbf{u}^{'} = \dfrac{\mathbf{u}+(\gamma-1)(\mathbf{n}\circ \mathbf{u})\mathbf{n}-\gamma \mathbf{v}}{\gamma \Biggl(1-\dfrac{\mathbf{v}\circ \mathbf{u}}{c^{2}}\Biggr)} \tag{B-31} \end{equation}$$

La ecuación (B-31) es una generalización de la suma de velocidades en Relatividad Especial no restringida a velocidades colineales. Aquí (B-31) es el resultado de la suma de velocidades$\:-\mathbf{v}\:$y$\:\mathbf{u}\:$.

Una transformación de Lorentz es una transformación que deja$dt^2-dx^2-dy^2-dz^2$sin alterar. Así que una rotación (que deja$dx^2+dy^2+dz^2$sin cambios y no cambia$t$) es un tipo especial de Transformación de Lorentz, que tiene$t'=t.$

Entonces, ¿puedes rotar por L y luego rotar por A? Seguro.

¿Puedes rotar por A y luego rotar por L? Seguro.

¿Obtienes la misma respuesta de cualquier manera? Puede que no.

Entonces, si hace una transformación de Lorentz L y luego una rotación A, es posible que no obtenga la misma respuesta que si primero rotara por A y luego hiciera una transformación de Lorentz L.