Derivación de la identidad de impulso de Lorentz simple, dp′z/dpzdpz′/dpzdp'_z/dp_z

Dado un impulso de Lorentz en el$z$-dirección, en unidades naturales podemos escribir

$$p'_z = \gamma(p_z+\beta E)\,,\;\;\;\;\;E' = \gamma(E+\beta p_z)\,.$$

En Introducción a QFT de Peskins & Schroeder, p. 23, se hace la siguiente afirmación:

$$\frac{dp'_z}{dp_z} \equiv \frac{E'}{E}$$

No puedo hacer que esto suceda. Mi intento es el siguiente.

$$\begin{split} \frac{dp'_z}{dp_z} &= \gamma\left(1 + \beta\frac{dE}{dp_z}\right)\,;\\ \frac{dE}{dp_z} &= \frac{d}{dp_z}\left(\frac{p}{\beta}\right) \\ &= \frac{d}{dp_z}\left(\frac{[p_x^2+p_y^2+p_z^2]^{1/2}}{\beta}\right) \\ &= \frac{p_z}{\beta [p_x^2+p_y^2+p_z^2]^{1/2}} = \frac{p_z}{\beta p}\\ \implies \frac{dp'_z}{dp_z} &= \gamma\left(1 + \frac{p_z}{p}\right) \end{split}$$

Desde$E = \gamma m$y$p = \gamma m\beta$, tenemos$p = \beta E$, por lo tanto

$$\frac{dp'_z}{dp_z} = \gamma\left(1 + \frac{1}{\beta}\frac{p_z}{E}\right)\,.$$

Por la definición de$E'$, tenemos

$$\frac{E'}{E} = \gamma\left(1 + \beta\frac{p_z}{E}\right) \neq \frac{dp'_z}{dp_z}\,.$$

¿He hecho alguna estupidez?

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Como referencia , la derivación del libro en cuestión es la prueba de que la cantidad$\delta^{(3)}(\mathbf{p}-\mathbf{q})$no es invariante de Lorentz, donde$\mathbf{p}$y$\mathbf{q}$son momentos. Omitiendo un par de líneas, dicen que

$$\delta^{(3)}(\mathbf{p}-\mathbf{q}) = \delta^{(3)}(\mathbf{p'}-\mathbf{q'})\cdot\frac{dp'_z}{dp_z} = \delta^{(3)}(\mathbf{p'}-\mathbf{q'})\cdot\frac{E'}{E}\,.$$