Muchas dualidades entre la geometría y el álgebra surgen a través de un objeto de dualización . Aproximadamente, si es una categoría de espacios y una categoría de "álgebras", a menudo se encuentra un objeto dualizante que vive en ambas categorías y tal que las construcciones y constituyen una equivalencia o por lo menos una adjunción entre y .
Por ejemplo, la dualidad de Pontrjagin ( ), dualidad de piedra ( ), dualidad de Gelfand ( ), y el teorema fundamental de la teoría de Galois ( , para un campo) surgen de esta manera.
Pregunta: ¿ Cuál es el objeto dualizante en la dualidad entre esquemas afines y anillos conmutativos?
(Segunda pregunta: ¿Cuál es el objeto dualizante en el teorema fundamental de cubrir espacios , que establece aproximadamente que la categoría de cubrir espacios sobre un espacio es equivalente a la categoría de todos los conjuntos equipados con una acción del grupoide fundamental sobre ese conjunto? Por un lado, no es una dualidad, por lo que tal vez no tenga un objeto dualizante en sentido estricto, pero como esta afirmación es muy similar al teorema fundamental de la teoría de Galois, tal vez haya algo similar).
Su pregunta supone que existe un objeto de dualización. Mi opinión es que no existe. Del lado del esquema afín, la línea afín tiene una estructura de anillo y representa el la mitad de la equivalencia – esto no es problemático. Pero en la filosofía de la concepción dualizante del objeto de la dualidad, tendría que haber un anillo que "es" en algún sentido también (¡de una manera "covariante"!) que "representa" el la mitad de la equivalencia y no veo ninguna forma razonable de interpretar esto con precisión.
La situación es mucho mejor si, en cambio, observamos variedades afines sobre un campo algebraicamente cerrado. y dominios integrales finitamente generados sobre . El objeto dualizante es entonces como una variedad y como un álgebra. Esto es "obviamente correcto": como antes, tiene una estructura de anillo, y además el conjunto de puntos de se identifica canónicamente con el conjunto de elementos de , por lo que hay un buen sentido en el que podemos pensar en y como siendo "lo mismo". Además, de hecho representa el funtor que envía un dominio integral finitamente generado sobre al conjunto de puntos de la variedad afín a la que corresponde.
Dado lo anterior, parecería que la encarnación del anillo de debiera ser – pero, francamente, esto no es convincente. Si bien es cierto que podemos identificar canónicamente los elementos de con ciertos puntos de , hay muchos más puntos además. También es difícil decir que el funtor representado por es un funtor que envía un anillo al conjunto de puntos del esquema al que corresponde; al menos, ciertamente no representa al funtor que envía un anillo al conjunto de ideales primos de . Por estas (y otras) razones, creo que no es razonable decir que hay un objeto dual en esta historia.
De los esquemas afines al anillo, el funtor está representado por la línea afín equipado con una estructura de objeto de anillo. En la dirección inversa, no está claro lo que querría decir, ya que no hay un funtor obvio de los esquemas afines a los conjuntos y, por lo tanto, no está claro qué funtor tendría que representar el objeto de dualización.