Números de Grassmann en el espacio dual

Estoy leyendo la sección sobre números de Grassmann en QFT para el aficionado dotado y estoy confundido por algo que se dice allí: primero, definen un estado coherente para los fermiones$\rvert \eta \rangle$como

$$\begin{align} \rvert \eta \rangle &= e^{-\eta \hat{c}^\dagger} \rvert 0 \rangle \\ &= \rvert 0 \rangle - \eta \rvert 1 \rangle \tag{28.12} \end{align}$$ dónde $c^{\dagger}$es el operador de creación de fermiones y $\eta$es un número de Grassmann. También, $$\hat{c}\rvert \eta \rangle = \eta \rvert \eta \rangle.$$ Ahora aquí está la parte que me confunde:

También podemos definir un estado$\langle\bar{\eta} \lvert \hat{c}^{\dagger} = \langle \bar{\eta} \lvert \bar{\eta}$dónde

$$\langle \bar{\eta} \lvert = \langle 0 \lvert - \langle 1 \lvert \bar{\eta} = \langle 0 \lvert + \bar{\eta} \langle 1 \lvert. \tag{28.15}$$ Tenga en cuenta que $\bar{\eta}$no es el complejo conjugado de $\eta$y $\langle \bar{\eta} \lvert$no es el adjunto de $\rvert \eta \rangle$. Con estas definiciones se sigue que el valor de un producto interior es $$\langle \bar{\zeta} \lvert \eta \rangle = e^{\bar{\zeta}\eta}. \tag{28.16}$$

Aquí el$\eta$y$\zeta$son ambas variables de Grassmann. mi pregunta es que es exactamente$\bar{\eta}$? Probablemente esta no sea una notación peculiar del libro, ya que en el capítulo 21 de su libro QM, Shankar también usa esta misma notación y también enfatiza que no es una conjugación compleja de lo que está hablando.

Siento como si este hecho de que esto es diferente de la conjugación compleja se enfatiza solo para dejar en claro que los números de Grassmann no son números reales ni números complejos, por lo que no hay una forma bien definida de conjugarlos o tomar adjuntos de sus kets . Pero luego, en otros libros de texto como el libro QFT de Srednicki, he visto menciones de conjugados complejos de números de Grassmann, algo que no parece permitido según QFT para el aficionado superdotado y Shankar. ¿Alguien podría aclarar la distinción entre números y estados de Grassmann con barras y sin barras? ¿Escribir el producto interno de Grassmann en esta notación de bra-ket es solo una notación sugerente para definir un producto interno?