¿Fock space con relaciones mixtas de conmutación/anticonmutación?

Digamos que tenemos dos modos, con el siguiente etiquetado de estados de número de ocupación:

$\lvert \Psi \rangle = \begin{pmatrix} 0,0 \\ 0,1 \\ 1,0 \\ 1,1 \end{pmatrix}$

Un ejemplo de (lo que supongo que es) operadores de creación fermiónicos para los dos modos es

$\hat a_1^\dagger = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \quad \hat a_2^\dagger = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Estos operadores obedecen relaciones anticonmutación completas.

$\{\hat a_1,\hat a_1^\dagger\} = \{\hat a_2,\hat a_2^\dagger\} = 1$

$a^\dagger_1 a^\dagger_1 = a^\dagger_2 a^\dagger_2 = 0$

$\{\hat a_1,\hat a_2^\dagger\} = \{\hat a_1,\hat a_2\} = 0$

Si no incluimos el ($-$) signo, entonces los operadores correspondientes al mismo modo siguen siendo anti-conmutación, pero los correspondientes a diferentes modos conmutan.

$\hat b_1^\dagger = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \quad \hat b_2^\dagger = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$\{\hat b_1,\hat b_1^\dagger\} = \{\hat b_2,\hat b_2^\dagger\} = 1$

$b^\dagger_1 b^\dagger_1 = b^\dagger_2 b^\dagger_2 = 0$

$[\hat b_1^\dagger,\hat b_2^\dagger] = [\hat b_1^\dagger,\hat b_2] = 0$

Parece que comenzamos a construir un espacio de Fock de bosones, pero solo incluimos estados para los cuales los números de ocupación son 0 o 1. ¿Hay alguna razón por la que estos operadores no sean adecuados, aparte de la observación de que todas las partículas elementales son fermiones o bosones? ¿Existen cuasi-partículas en la física de la materia condensada que se comporten así?