Me gustaría recibir ayuda para evaluar una teoría física propuesta recientemente por un profesor de física en el College of Dupage.

Creo que la teoría está completamente equivocada, por razones muy simples. Si un aficionado siente que puede refutar a un profesor de física (especialmente si usa lógica simple y álgebra básica, y especialmente cuando involucra mecánica cuántica), generalmente no es una buena señal para decirlo suavemente. Quiero aprender aquí y necesito la ayuda de los expertos en física para evaluar la teoría.

Tomé algunas clases de física en el pasado, pero soy esencialmente un aficionado autodidacta, por lo que agradecería mucho las respuestas que se encuentran en el nivel principal de física de pregrado y me remito a un libro de texto que puedo leer más por mi cuenta.

Sea pedante, ya que los problemas pueden ser sutiles. Esto comenzó con un compañero de trabajo (que a diferencia de mí tiene un doctorado en física), que trató de descartar una propuesta de teoría de la gravedad cuántica (borrador aquí) basada en algunos argumentos muy básicos. El profesor de física que sugiere la teoría ha declarado públicamente que mi compañero de trabajo ignora por completo la esencia de la propuesta porque no comprende los conceptos básicos de QFT y GR. Ambos afirman que el otro está tan equivocado que básicamente deberían volver a la escuela. Así que esto se ha convertido en un fascinante debate de física para mí. Sé muchas veces, cuando estoy aprendiendo un tema difícil, que las conclusiones aparentemente obvias de los conceptos básicos pueden estar equivocadas, y aunque los argumentos de mi compañero de trabajo son muy convincentes para mí, son tan básicosque plantea algunas preocupaciones de que solo está malinterpretando al profesor. Seguí haciendo preguntas, así que mi compañero de trabajo me envió aquí para obtener ayuda imparcial.

El tema en cuestión es el punto de partida de la propuesta que consiste en definir un espacio de Hilbert sobre algunos escalares distintos de los números complejos. En particular, un subconjunto de matrices de 4x4 que se puede escribir como$x_a \gamma^a$dónde ($x_a$son cuatro números reales y$\gamma^a$son las matrices de dirac). El papel se refiere$x_a$como cuatro vectores en el álgebra$C\ell_{1,3}(R)$(el álgebra de las matrices de dirac). Entonces, el punto de partida del artículo es un "espacio de Hilbert sobre el espacio de cuatro vectores".

Según tengo entendido, dos argumentos simplificados contra esta teoría son:

Primera linea de razonamiento

Un espacio de Hilbert$H$sobre algunos escalares$S$debe satisfacer:

1. Para cualquier vector$X \in H$y escalar$a \in S$, entonces$aX \in H$(la multiplicación escalar da otro vector en$H$)

2. Para dos vectores cualesquiera$X,Y \in H$, el producto interior$\langle X|Y\rangle \in S$(el producto interior de dos vectores es un escalar en el espacio de Hilbert)

3. Para dos vectores cualesquiera$X,Y \in H$y escalar$a \in S$, el producto interior$\langle X|aY\rangle = \langle X|Y \rangle a$(el producto interior es lineal)

Luego, aplicando #1 y #2$\langle X|aY\rangle \in S$. Luego, aplicando este hecho junto con el #3, para un escalar arbitrario$a \in S$, y cualquier escalar que pueda escribirse como resultado de un producto interno$b=\langle X|Y\rangle$, el resultado de multiplicar estos dos escalares en$S$, también debe ser un escalar en$S$(simplemente,$ba \in S$).

Por lo tanto, un contraejemplo de la existencia de este espacio de Hilbert es mostrar que dos cuatro vectores multiplicados en el álgebra$C\ell_{1,3}(R)$no es un cuatro-vector (en otras palabras, los cuatro-vectores no son una sub-álgebra de$C\ell_{1,3}(R)$).

Esto se puede dividir en álgebra matricial simple ( por ejemplo, como lo hizo mi compañero de trabajo aquí ) para mostrar que la multiplicación de estos "escalares" no está cerrada en el conjunto de estos escalares, porque multiplicar dos cuatro vectores puede producir algo más que un cuatro -vector. He resuelto esto de manera más general, y parece que multiplicar dos cuatro vectores no dará otro cuatro vector a menos que al menos un cuatro vector sea el vector cero (0,0,0,0). Sin embargo, no confío plenamente en mi trabajo aquí como para descartar a un profesor. ¿Es suficiente un contraejemplo? ¿O es posible que una vez que nos restringimos a solo escalares que son el resultado de productos internos, de alguna manera el producto se cierra?

En una referencia recomendada por el profesor, el producto en álgebras de Clifford se analiza con bastante claridad ( here ). Si lo leí correctamente, el producto de dos vectores cualquiera será la suma de escalares y bivectores en el espacio multivectorial. Por lo tanto, NINGÚN resultado de multiplicar dos cuatro vectores puede escribirse como otro cuatro vectores excepto en el caso de que al menos uno de los cuatro vectores sea el vector cero (0,0,0,0). Esto está de acuerdo con el álgebra matricial desordenada que resolví y me da más confianza. Pero otras personas han explicado de manera similar, y el profesor afirmó que están malinterpretando esa fuente. ¿Hay una fuente mejor? ¿Qué tiene de malo la lógica anterior?

Nuevamente, esto parece sospechosamente simple, y si un aficionado no está de acuerdo con un profesor de física, generalmente no es una buena señal. Si no fuera por mi compañero de trabajo, me preocuparía volverme un chiflado. ¿Me estoy perdiendo algo fundamental aquí?

Segunda línea de razonamiento

En mecánica cuántica:

1. Los estados de un sistema se representan mediante vectores en el espacio de Hilbert. (Aunque no de forma única, ya que los vectores relacionados por una multiplicación escalar representan el mismo estado físico).

2. Los observables son operadores autoadjuntos en el espacio de Hilbert. Medir un observable colocará el sistema en un vector propio de ese operador.

3. Para un sistema preparado en un estado representado por$X$, la probabilidad de medirlo para estar en un estado representado por$Y$(algún vector propio no degenerado del observable que se está midiendo) es

   $$Prob = \frac{\langle X|Y\rangle \langle Y|X\rangle}{\langle X|X\rangle \langle Y|Y \rangle}$$

Por lo tanto, para predecir medidas, también necesitamos poder dividir con estos escalares. Y además, el resultado de cualquier cálculo de la forma anterior debe ser un número real para que tenga sentido como probabilidad. Todavía$C\ell_{1,3}(R)$no es un álgebra de división normada. Y desde$\langle X | X \rangle$ni siquiera tiene un valor real en la teoría del profesor, no entiendo cómo podrían ser las probabilidades pronosticadas.

La respuesta del profesor a esto (¿y posiblemente también a algunas de las propiedades de los espacios de Hilbert anteriores? No me queda claro) es que se trata de una teoría cuántica de campos y que las propiedades de los espacios de Hilbert y el cálculo de probabilidades para las mediciones funcionan de manera diferente en QFT que en QM introductorio de partículas no relativistas.

Fui a buscar esto en los libros que tengo y, sorprendentemente, en la "Teoría cuántica de campos" de Srednicki, afirma explícitamente en la primera página del primer capítulo que no repasará los postulados de QFT, y en el " prefacio para estudiantes", simplemente enumera algunas ecuaciones y dice que si las entiende, tiene los antecedentes para usar este libro. ¿Está suponiendo que ya conocemos los postulados?

Veo en esta pregunta de intercambio de pila de física ( formalismo de la teoría cuántica de campos frente a la mecánica cuántica ), que al menos en opinión de Lubos esto se debe a que los postulados son los mismos. Pero no da ninguna referencia, y la referencia sugerida por el profesor ( "Teoría axiomática del campo cuántico en el espacio-tiempo curvo" Hollands y Wald), ni siquiera discute medidas o probabilidades. Al buscar, encontré los "Postulados de la Teoría Cuántica de Campos" frecuentemente citados.Hagg y Schorer (1962), pero ni siquiera eso habla de medidas o probabilidades. Simplemente discuten cómo construir un espacio de Hilbert para teorías de campo. Parecen simplemente asumir que conocemos el 'resto' de los postulados. También tengo "Teoría cuántica de campos en pocas palabras" de Zee, hojeé el principio y él también parece asumir que conocemos los postulados.

Si no fuera por mi compañero de trabajo, en este punto simplemente asumiría que estoy equivocado, ya que ni siquiera puedo encontrar un libro para validar mi comprensión de los postulados y soy un aficionado que no está de acuerdo con un actual Profesor de física contratado.

¿Puede alguien ayudarme a evaluar esta teoría física y darme algunas referencias de libros de texto que pueda seguir?