Respuesta corta

No entiendo por qué se usa el impulso generalizado en la última ecuación en lugar del impulso ordinario.

El impulso generalizado$\vec P$se utiliza porque las ecuaciones de movimiento de Hamilton relacionan la derivada temporal del impulso generalizado$d \vec P/dt$-- no es la derivada temporal del momento cinético$d \vec p/dt$-- a las derivadas parciales negativas del hamiltoniano con respecto a la posición generalizada$-\partial H/\partial \vec r$.

Y no me queda claro por qué el último término de esta ecuación$e\left( {\vec v\frac{{\partial \vec A}}{{\partial \vec r}} - \frac{{\partial \vec A}}{{\partial \vec r}}\vec v} \right)$no es cero y qué${\frac{{\partial \vec A}}{{\partial \vec r}}}$¿medio? Si${\vec A}$fuera un escalar, sería solo un valor de gradiente, pero la cantidad del vector me confunde

Correcto. Si$\vec A$fuera en cambio un campo escalar, ese término denotaría el gradiente de un campo escalar. Resulta que podemos aplicar el concepto de gradiente no solo a los escalares sino también a los vectores y, más generalmente, a los tensores , una clase de objetos geométricos a los que se aplican los escalares, o tensores de orden cero , y los vectores, o tensores de primer orden. , pertenecer. Como el gradiente de un tensor de orden cero produce un tensor de primer orden, puede suponer que el gradiente de un tensor de primer orden produce un tensor de segundo orden, un objeto geométrico que se puede representar usando un$n \times n$matriz; estaría en lo correcto, y aunque no es tan claro en la notación que ha elegido, el hecho de que$\partial \vec A/\partial \vec r$-- el gradiente del campo vectorial$\vec A$-- es un tensor de segundo orden es exactamente la razón por la cual$\vec v (\partial \vec A/\partial \vec r) - (\partial \vec A/\partial \vec r)\vec v \neq 0$.

De hecho, solo por inspección, debería poder al menos convencerse de que, dado que

$$- e\frac{\partial \vec A}{\partial t} - e\frac{\partial \phi}{\partial \vec r} = e \left(-\frac{\partial \vec A}{\partial t} - \frac{\partial \phi}{\partial \vec r}\right) = e \vec E$$

debe ser eso$\vec v (\partial \vec A/\partial \vec r) - (\partial \vec A/\partial \vec r)\vec v = \vec v \times \vec B$, ya que el lado derecho de la ecuación para$d \vec p/dt$debe dar la expresión correcta para la fuerza de Lorentz.

Respuesta larga

Ahora vamos a probar nuestra convicción.

tensores en$\mathbb R^3$

Considere una base vectorial$\{\mathbf e_i\}$, donde el índice$i$varía de 1 a 3 y, por simplicidad, suponga que esta base vectorial es euclidiana; en otras palabras, el producto interno de los vectores base$\mathbf e_i$y$\mathbf e_j$da,

$$\mathbf e_i \cdot \mathbf e_j = \delta_{ij} \tag{1}$$

dónde

$$\left(\delta_{ij}\right) = \left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right) \tag{2}$$

es la matriz identidad.

un vector$\mathbf f$puede expresarse en esta base de coordenadas como,

$$\mathbf f = \sum_{i=1}^3 f_i\, \mathbf e_i = \left(\begin{matrix} f_1 & f_2 & f_3 \end{matrix}\right)_{\{\mathbf e_i\}} \tag{3}$$

mientras que un tensor de segundo orden$\mathbf F$puede expresarse como,

$$\mathbf F = \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 F_{ij}\, \mathbf e_i \otimes \mathbf e_j = \left(\begin{matrix} F_{11} & F_{12} & F_{13} \\ F_{21} & F_{22} & F_{23} \\ F_{31} & F_{32} & F_{33} \end{matrix}\right)_{\{\mathbf e_i \otimes \mathbf e_j\}} \tag{4}$$

dónde$\mathbf e_i \otimes \mathbf e_j$se llama el producto exterior de$\mathbf e_i$y$\mathbf e_j$. El producto exterior se define de tal manera que, dados los vectores$\mathbf a$,$\mathbf b$,$\mathbf c$, y$\mathbf d$,

$$(\mathbf a \otimes \mathbf b) \cdot (\mathbf c \otimes \mathbf d) = (\mathbf b \cdot \mathbf c)(\mathbf a \otimes \mathbf d) \tag{5}$$

o equivalente,

$$(\mathbf a \otimes \mathbf b) \cdot \mathbf c = (\mathbf b \cdot \mathbf c)\mathbf a$$ $$\mathbf c \cdot (\mathbf a \otimes \mathbf b) = (\mathbf c \cdot \mathbf a)\mathbf b \tag{6}$$

la transposición de$\mathbf a \otimes \mathbf b$, denotado como$(\mathbf a \otimes \mathbf b)^T$, Se define como,

$$(\mathbf a \otimes \mathbf b)^T = \mathbf b \otimes \mathbf a \tag{7}$$

y así (6) se puede reescribir como,

$$(\mathbf a \otimes \mathbf b) \cdot \mathbf c = \mathbf c \cdot (\mathbf a \otimes \mathbf b)^T = (\mathbf b \cdot \mathbf c)\mathbf a$$ $$\mathbf c \cdot (\mathbf a \otimes \mathbf b) = (\mathbf a \otimes \mathbf b)^T \cdot \mathbf c = (\mathbf c \cdot \mathbf a)\mathbf b \tag{8}$$

Además, aplicando (7) a (4), la transposición de$\mathbf F$, denotado$\mathbf F^T$, es,

$$\mathbf F^T = \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 F_{ij}\, \mathbf e_j \otimes \mathbf e_i = \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 F_{ji}\, \mathbf e_i \otimes \mathbf e_j = \left(\begin{matrix} F_{11} & F_{21} & F_{31} \\ F_{12} & F_{22} & F_{32} \\ F_{13} & F_{23} & F_{33} \end{matrix}\right)_{\{\mathbf e_i \otimes \mathbf e_j\}} \tag{9}$$

Si el tensor de segundo orden$\mathbf F^T = \mathbf F$, entonces$\mathbf F$se dice que es simétrico ; si$\mathbf F^T = -\mathbf F$, entonces$\mathbf F$se dice que es antisimétrica .

Un tensor de tercer orden$\mathbf \Phi$puede expresarse como,

$$\mathbf \Phi = \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \Phi_{ijk}\, \mathbf e_i \otimes \mathbf e_j \otimes \mathbf e_k \tag{10}$$

Un tensor de tercer orden comúnmente encontrado conocido como tensor alterno , denotado como$\mathbf \epsilon$, Se define como,

$$\mathbf \epsilon = \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \epsilon_{ijk}\, \mathbf e_i \otimes \mathbf e_j \otimes \mathbf e_k \tag{11}$$

tal que$\mathbf \epsilon$es antisimétrica bajo un intercambio de cualquiera de los dos índices (por ejemplo,$\epsilon_{jik} = -\epsilon_{ijk}$) y$\epsilon_{123} = 1$. Tenga en cuenta que esto implica que cualquier componente$\epsilon_{ijk}$que tiene dos o más índices establecidos en el mismo valor es igual a cero (por ejemplo,$\epsilon_{112} = 0$).

Una práctica común en muchas publicaciones es omitir los símbolos de suma que se encuentran en las expresiones de los tensores anteriores; esto se conoce como la convención de suma de Einstein , y esta convención se utilizará a partir de este punto. Las reglas de la convención de suma de Einstein son las siguientes:

1. En un término que involucra solo el producto de los componentes tensoriales, si un índice$i$solo aparece una vez en el término, entonces$i$se conoce como un índice libre y no implica una suma en ese índice.
2. En un término que involucra solo el producto de los componentes tensoriales, si un índice$i$aparece dos veces en el término, entonces$i$se conoce como un índice de suma , y ​​se implica una suma en ese índice.
3. Para cualquier índice$i$, puede indicarlo con cualquier otra letra que no se esté utilizando como índice en el mismo término.
4. Para evitar ambigüedades, ningún índice puede aparecer más de dos veces en el mismo término.

Operaciones de tensor relevantes

El producto escalar de dos vectores.$\mathbf a$y$\mathbf b$, denotado$\mathbf a \cdot \mathbf b$, es dado por,

$$\mathbf a \cdot \mathbf b = a_i b_j\, \mathbf e_i \cdot \mathbf e_j = a_i b_j \delta_{ij} = a_i b_i \tag{12}$$

Del mismo modo, el producto interior de un vector$\mathbf a$y un tensor de segundo orden$\mathbf B$es dado por,

$$(\mathbf B \cdot \mathbf a)_i = B_{ij} \delta_{jk} a_k = B_{ij}a_j$$ $$(\mathbf a \cdot \mathbf B)_i = a_k \delta_{kj} B_{ji} = B_{ji}a_j \tag{13}$$

dónde$(\mathbf B \cdot \mathbf a)_i$y$(\mathbf a \cdot \mathbf B)_i$son, respectivamente, los$i$-ésima componentes de los vectores$\mathbf B \cdot \mathbf a$y$\mathbf a \cdot \mathbf B$.

El producto vectorial de dos vectores$\mathbf a$y$\mathbf b$, denotado$\mathbf a \times \mathbf b$, es dado por,

$$(\mathbf a \times \mathbf b)_i = \epsilon_{ijk} a_j b_k \tag{14}$$

dónde$(\mathbf a \times \mathbf b)_i$es el$i$-ésimo componente de$\mathbf a \times \mathbf b$. De manera similar, el rotacional de un vector$\mathbf a$es dado por,

$$(\nabla \times \mathbf a)_i = \epsilon_{ijk} \frac{\partial a_k}{\partial x_j} \tag{15}$$

dónde$x_j$es el$j$-ésima componente del vector de posición$\mathbf r$en relación con el origen de nuestra base de coordenadas.

El gradiente de un vector$\mathbf a$, un tensor de segundo orden denotado$\nabla \mathbf a$, Se define como,

$$(\nabla \mathbf a)_{ij} = \frac{\partial a_i}{\partial x_j} \tag{16}$$

dónde$(\nabla \mathbf a)_{ij}$es el componente de$\nabla \mathbf a$asociado con el producto exterior$\mathbf e_i \otimes \mathbf e_j$.

Una nota sobre los tensores de segundo orden antisimétricos

Si un tensor de segundo orden$\mathbf F$es antisimétrica (es decir$F_{ji} = -F_{ij}$), entonces existen algunos escalares$f_k$tal que,

$$F_{ij} = \epsilon_{ijk} f_k \tag{17}$$

o equivalente,

$$f_k = \frac{1}{2}\epsilon_{ijk}F_{ij} \tag{18}$$

y el vector$\mathbf f$para cual$f_k$es el$k$-ésima componente se llama el vector axial de$\mathbf F$. Tenga en cuenta que la definición del producto vectorial en (14) también involucra los componentes del tensor alterno. Esto no es casualidad, ya que el producto vectorial en$\mathbb R^3$entre dos vectores$\mathbf a$y$\mathbf f$es en realidad el resultado de un producto interno entre un tensor antisimétrico$\mathbf F$y un vector$\mathbf a$,

$$F_{ij}a_j = \epsilon_{ijk} a_j f_k \tag{19}$$

La Fuerza de Lorentz

Ahora estamos en condiciones de considerar la ecuación que ha escrito para$d \vec p/dt$usando una notación más clara,

$$\begin{align} \frac{d\mathbf p}{dt} & = e\left[\left(-\frac{\partial \mathbf A}{\partial t} - \nabla \phi \right) + \mathbf v \cdot \nabla \mathbf A - \nabla \mathbf A \cdot \mathbf v\right] \\ & = e\left(\mathbf E + \mathbf v \cdot \nabla \mathbf A - \nabla \mathbf A \cdot \mathbf v\right) \end{align} \tag{20}$$

Reescribamos esto en notación de sumatoria:

$$\begin{align} \frac{dp_i}{dt} & = e\left(E_i + v_l \delta_{lj}\frac{\partial A_j}{\partial x_i} - \frac{\partial A_i}{\partial x_j} \delta_{jl} v_l\right) \\ & = e\left(E_i + \left(\frac{\partial A_j}{\partial x_i} - \frac{\partial A_i}{\partial x_j}\right) v_j\right) \end{align} \tag{21}$$

El término$(\partial A_j/\partial x_i) - (\partial A_i/\partial x_j)$es claramente el componente$F_{ij}$de un tensor de segundo orden antisimétrico$\mathbf F$, por lo que las componentes de su correspondiente vector axial$f_k$son,

$$\begin{align} f_k & = \frac{1}{2} \epsilon_{ijk} \left(\frac{\partial A_j}{\partial x_i} - \frac{\partial A_i}{\partial x_j}\right) \\ & = \frac{1}{2} \left(\epsilon_{ijk}\frac{\partial A_j}{\partial x_i} - \epsilon_{ijk}\frac{\partial A_i}{\partial x_j}\right) \\ & = \frac{1}{2} \left(\epsilon_{kij}\frac{\partial A_j}{\partial x_i} + \epsilon_{kji}\frac{\partial A_i}{\partial x_j}\right) \\ & = \frac{1}{2} \left[\left(\nabla \times \mathbf A\right)_k + \left(\nabla \times \mathbf A\right)_k\right] \\ & = \left(\nabla \times \mathbf A\right)_k \\ & = B_k \end{align} \tag{22}$$

De este modo,

$$\begin{align} \frac{dp_i}{dt} & = e\left(E_i + \left(\frac{\partial A_j}{\partial x_i} - \frac{\partial A_i}{\partial x_j}\right) v_j\right) \\ & = e\left(E_i + \epsilon_{ijk} B_k v_j\right) \\ & = e\left(E_i + \left(\mathbf v \times \mathbf B\right)_i \right) \\ \end{align} \tag{23}$$

Una nota final sobre la formulación tensorial del electromagnetismo

Al estudiar los fenómenos electromagnéticos en el contexto de la relatividad, debido a la naturaleza no euclidiana de la geometría del espacio-tiempo, no podemos simplificar nuestro análisis matemático trabajando en una base euclidiana tridimensional; sin embargo, dado que los tensores son objetos geométricos que existen independientemente de cualquier base de coordenadas utilizada para describirlos , se puede realizar un análisis similar para obtener el resultado correcto, y en el espacio-tiempo de Minkowski terminará construyendo un$4 \times 4$tensor antisimétrico de la forma,

$$F_{\mu \nu} = \partial_{\mu}A_{\nu} - \partial_{\nu}A_{\mu} = \left(\begin{matrix} 0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\ E_x/c & 0 & B_z & -B_y \\ E_y/c & -B_z & 0 & B_x \\ E_z/c & B_y & -B_x & 0 \\\end{matrix}\right) \tag{24}$$

más comúnmente conocido como el tensor de campo electromagnético , y la Ley de Fuerza de Lorentz para una carga$q$tomará la forma de

$$\frac{dp_\mu}{d \tau} = qF_{\mu\nu}U^{\nu} \tag{25}$$

dónde$p_\mu$son los componentes covariantes del cuatro impulso de la carga,$\tau$es el tiempo propio experimentado por la carga, y$U^{\nu}$son las componentes contravariantes de las cuatro velocidades de la carga.