Número de parámetros del grupo Lorentz

De la relatividad especial sabemos que una transformación de Lorentz:

$$\begin{equation} x'^\mu = \Lambda^\mu {}_\nu x^\nu \end{equation}$$ conserva la distancia: $$\begin{equation} g^{\mu \nu} \Delta x_\mu \Delta x_\nu = g^{\mu \nu} \Delta x_\mu' \Delta x_\nu' \end{equation}$$ Las dos ecuaciones anteriores implican: $$\begin{equation} g^{\mu \nu} = g^{\rho \sigma}\Lambda_\rho {}^\mu \Lambda_\sigma {}^\nu \end{equation}$$ Ahora, consideremos una transformación infinitesimal: $$\begin{equation} \Lambda_\nu {}^\mu = \delta_\nu{}^\mu + \omega_\nu{}^\mu + O(\omega^2) \end{equation}$$ tal que podemos escribir: $$\begin{equation} \begin{aligned} g^{\mu \nu} & = g^{\rho \sigma}\Lambda_\rho {}^\mu \Lambda_\sigma {}^\nu \\& = g^{\rho \sigma} \left( \delta_\rho{}^\mu + \omega_\rho{}^\mu + \cdots \right)\left( \delta_\sigma{}^\nu + \omega_\sigma{}^\nu + \cdots \right) \\& = g^{\mu \nu} + g^{\mu \sigma} \omega_\sigma{}^\nu + g^{\rho \nu} \omega_\rho{}^\mu + O(\omega^2) \\& = g^{\mu \nu} + \omega^{\mu\nu} + \omega^{\nu \mu} + O(\omega^2) \end{aligned} \end{equation}$$ y entonces: $$\begin{equation} \omega^{\mu\nu} = - \omega^{\nu \mu} \end{equation}$$ Así, la matriz $\omega$es un $4 \times 4$ matriz antisimétrica , que corresponde a $6$parámetros independientes (es decir, el $3$parámetros correspondientes a los impulsos y la $3$parámetros correspondientes a las rotaciones).

Es de la misma manera que sabes que hay tres parámetros en$SO(3)$. La ecuacion$\Lambda^T \eta \, \Lambda = \eta$tiene$(n^2+n)/2$ecuaciones escalares independientes. Para ver esto, escribe la ecuación en forma de componentes:$\Lambda^{\mu\nu} \Lambda_\mu{}^\rho = \eta^{\nu\rho}$. Ahora vemos que hay$n^2$ecuaciones escalares ecuaciones, sino porque$\eta$es simétrico y el lado izquierdo es simétrico en$\nu$y$\rho$así, las ecuaciones relacionadas cambiando$\nu$y$\rho$son lo mismo. Así hemos establecido que hay$(n^2+n)/2$ecuaciones escalares independientes.

Desde$\Lambda$tiene$n^2$componentes, obtenemos$n^2-(n^2+n)/2 = n(n-1)/2$grados de libertad. En$3D$esto sale a la luz$3\cdot 2 /2=3$, y en$4D$esto sale a la luz$4 \cdot 3/2=6$.

Tienes dos muy buenas respuestas de Hunter y NowIGetToLearnWhatAHeadIs . Sin embargo, probablemente sea útil saber que esta bestia$O(1,3)$es isomorfo o localmente isomorfo ( es decir, tiene el mismo álgebra de Lie) a un número sorprendente de otros grupos interesantes, cada uno de los cuales le da una forma ligeramente diferente de pensar al respecto. Primero tenga en cuenta que su identidad conectó componente$SO^+(1,3)$de transformaciones ortocrónicas propias de Lorentz (aquellas que mantienen la misma orientación del espacio y el tiempo, también llamado grupo de Lorentz "restringido") determina, por supuesto, el álgebra de Lie.

1. $SO^+(1,3)\cong {\rm Aut}(\hat{\mathbb{C}}) \cong PSL(2,\mathbb{C})$es isomorfo al grupo de Möbius de todas las transformaciones de Möbius, a su vez isomorfo al grupo de todas las transformaciones conformes de la esfera unitaria. Por lo que se define por$z\mapsto \frac{a\,z+b}{c\,z+d}$con$a,\,b,\,c,\,d\in\mathbb{C}$y$a\,d-b\,c=1$. Entonces hay tres parámetros complejos independientes, es decir, seis parámetros reales independientes;

2. La doble cubierta de$PSL(2,\mathbb{C})$, a saber$SL(2,\mathbb{C})$(aún localmente isomorfo a$SO^+(1,3)$) es el grupo de todos$2\times 2$matrices de la forma:

$$\exp\left(\frac{1}{2}\left[\left(\eta^1 + i\theta \gamma^1\right) \sigma_1 + \left(\eta^2 + i\theta \gamma^2\right) \sigma_2 + \left(\eta^3 + i\theta \gamma^3\right) \sigma_3\right]\right)$$

dónde$\sigma_j$son las matrices de espín de Pauli,$\theta$es el ángulo de rotación,$\gamma^1,\,\gamma^2,\,\gamma^3$son los cosenos directores del eje de rotación y$\eta^1,\,\eta^2,\,\eta^3$los componentes de las rapidezes de la transformación de Lorentz. Así que es como la matriz general$\exp\left(\frac{\theta}{2}\left(\gamma^1 \sigma_1 + \gamma^2 \sigma_2 + \gamma^3 \sigma_3\right)\right)$en$SU(2)$pero con tres parámetros complejos, en lugar de tres reales ($\theta \gamma^j$) para$SU(2)$. Así que de nuevo vemos seis parámetros reales.