¿Cuál es el grado de libertad de este tipo de matriz?

Aquí hay una respuesta parcial: la ofrezco con la esperanza de que su método pueda ayudar a alguien más a darle una respuesta completa.

Sugiero que una mejor presentación de su pregunta podría ser:

Dado un$n\times n$matriz de números reales positivos$r_{j\,k};\;j,\,k\in 1\cdots n$, cuantas se pueden elegir libremente para que existan fases reales$\phi_{j\,k};\;j,\,k\in 1\cdots n$tal que la matriz cuyos elementos son$r_{j\,k}\,\exp(i\,\phi_{j\,k})$es unitario? ¿Cuáles son las relaciones entre los que pueden elegirse libremente y el resto?

Aquí hay una conjetura cuya justificación no puedo ver cómo hacerla rigurosa por el momento (por eso dije que es una respuesta parcial).

Conjetura: La respuesta es$\frac{n\,(n-1)}{2}$

Lo que sé con seguridad : la respuesta es al menos$\frac{n\,(n-1)}{2}$y como mucho$\frac{n\,(n+1)}{2}$

Para ver esto, trabajamos de la siguiente manera.

Todas las matrices unitarias son de la forma$e^H$, dónde$H$es sesgado simétrico (esto es válido globalmente para el$U(N)$Ejemplo de grupo de mentiras, pero hay grupos de mentiras conectados que no son simplemente las exponenciales de sus álgebras. Sin embargo, la verdad local (en la vecindad de la identidad) del enunciado es suficiente para nuestros propósitos). El verdadero álgebra de la mentira$\mathfrak{u}(n)$de$n\times n$las matrices simétricas sesgadas permiten$n^2$coordenadas geodésicas (exponenciales) dimensionales para el grupo de Lie$U(N)$en algún barrio abierto$\mathcal{U}\subset U(N)$de la matriz de identidad dentro$U(N)$.

Igualmente bien, las magnitudes y fases de la$\frac{n\,(n-1)}{2}$números complejos por encima de la diagonal principal de$H\in\mathfrak{u}(n)$junto con el$n$elementos diagonales principales imaginarios de$H$(de nuevo, un total de$n^2$números reales) sirven como coordenadas únicas dentro del vecindario$\mathcal{U}$.

Ahora un lema:

Lema: Hay un barrio$\mathcal{V}\subseteq \mathcal{U}$de la identidad interior$U(N)$tal que para cualquier$\gamma\in\mathcal{V}$la siguiente$n^2$los números reales sirven como coordenadas únicas para el vecindario$\mathcal{V}$: (1) las partes real e imaginaria del$\frac{n\,(n-1)}{2}$números complejos por encima de la diagonal principal en$\gamma\in\mathcal{V}$junto con el$n$fases de los elementos a lo largo de la diagonal principal de$\gamma$.

Prueba: Considere$f:\mathbb{R}^{n^2}\to\mathbb{R}^{n^2}$dónde$f$mapea las coordenadas dadas por el$\frac{n\,(n-1)}{2}$partes reales del triangulo superior,$\frac{n\,(n-1)}{2}$partes imaginarias del triángulo superior junto con las$n$imaginarios puros diagonales principales en el elemento del álgebra de Lie$g=\log \gamma$sobre la$\frac{n\,(n-1)}{2}$partes reales del triangulo superior,$\frac{n\,(n-1)}{2}$triángulo superior partes imaginarias y$n$fases diagonales principales del elemento$\gamma$. Esta función es continuamente diferenciable y$\mathrm{d} f$es invertible en el origen; en efecto$\mathrm{d} f=\mathrm{id}$allí (dado que$e^H = \mathrm{id} + H + O(H^2)$). Por lo tanto, por el teorema de la función inversa, existe una vecindad abierta del origen en la que$f$es invertible, por lo que siempre hay un miembro del álgebra de Lie cuyo exponencial tiene cualquier conjunto de magnitudes y fases en su triángulo superior y cualquier conjunto de fases a lo largo de su diagonal principal, siempre que las magnitudes y las fases de la diagonal principal sean lo suficientemente pequeñas.$\;\square$

Así que ahora sabemos que para una matriz unitaria lo suficientemente cerca de la identidad, podemos elegir cualquier conjunto de$\frac{n\,(n-1)}{2}$magnitudes menores que algún máximo distinto de cero en su triángulo superior, pero no en su triángulo inferior, ya que el triángulo superior junto con las fases diagonales principales forman un conjunto de coordenadas locales cerca de la identidad. Pero como máximo podemos elegir las magnitudes diagonales principales, por lo que la respuesta correcta se encuentra entre$\frac{n\,(n-1)}{2}$y$\frac{n\,(n+1)}{2}$(inclusivo).

sospecho que es$\frac{n\,(n-1)}{2}$, porque, a primer orden, las magnitudes de los elementos de diagnóstico principales de una matriz unitaria cercana a la identidad son la unidad, pero tal vez alguien lo sepa con seguridad.

La matriz que ha definido está hecha de entradas no negativas, digamos$a_{ij}$, y satisfacen