Número de formas de sentarse en dos mesas

Question

Número de formas de sentarse en dos mesas

lucas collins

He tenido algunas dificultades con el siguiente problema de combinatoria/probabilidad (que inventé yo mismo para dar a los estudiantes en una prueba). Creo que les daré un poco de holgura y les daré una más fácil, pero todavía estoy insatisfecho por no haber encontrado una respuesta.

Pregunta : Dos mesas en Bistrot La Renaissance tienen capacidad para ocho personas cada una. Si llegan ocho parejas y sus asientos se asignan al azar, ¿cuál es la probabilidad de que al menos cinco de las parejas compartan la misma mesa (es decir, al menos cinco parejas de socios no estén en mesas separadas)?

Razoné para mí mismo de esta manera:

El Denominador : Este es bastante fácil. Cada distribución se puede considerar como secuencias binarias largas de 16 dígitos, donde la posición de cada dígito representa a cada persona y el valor de cada dígito representa la tabla designada ( $0$ para la primera mesa, $1$ para el segundo).

Por ejemplo, $1111111100000000$ representa a las primeras 8 personas sentadas a la mesa $1$ , y las segundas 8 personas sentadas a la mesa $0$ . Por lo tanto, aquí podemos considerar diferentes permutaciones de esta palabra de ejemplo, ya que cada una representa una posibilidad, y todas las posibilidades se pueden representar de esta manera. Así el denominador es

\frac{dieciséis!}{8! \times 8!} = (\binom{dieciséis}{8}) = 12870.

$\frac{16!}{8!\times8!}={16\choose 8}=12870.$

El Numerador : Aquí es donde me quedé atascado. Podemos volver a etiquetar a nuestra gente para que su posición en la secuencia binaria sea

$\underset{Couple 1}{\underset{⏟}{____}} \underset{Couple 2}{\underset{⏟}{____}} \underset{Couple 3}{\underset{⏟}{____}} \underset{Couple 4}{\underset{⏟}{____}} \underset{Couple 5}{\underset{⏟}{____}} \underset{Couple 6}{\underset{⏟}{____}} \underset{Couple 7}{\underset{⏟}{____}} \underset{Couple 8}{\underset{⏟}{____}} .$

Ahora existen los siguientes dos casos permitidos:
1. Cuatro parejas se sientan en la misma mesa (tomando todo para ellos solos) y la otra pareja se sienta en la otra.
2. Tres parejas se sientan en la misma mesa y dos en la otra.

Esto es más o menos lo que tengo. No estoy seguro de cómo abordar estos casos al considerar la construcción de la secuencia binaria. ¿Quizás hay una forma más sencilla de representar los asientos? Agradecería cualquier ayuda.

drhab

¿ Has echado un vistazo aquí ?

lucas collins

@drhab Ah, entonces es más difícil de lo que pensaba. Gracias.

lucas collins

@drhab Pero ese argumento es bastante general. ¿Quizás en esta situación, uno puede abordar el problema en los casos?

drhab

Sí, su problema restringido sigue siendo bastante desafiante y tal vez más simple de resolver. Es por eso que no declaro que su pregunta sea un duplicado.

Respuestas (1)

Número de formas de sentarse en dos mesas

@drhab Ah, entonces es más difícil de lo que pensaba. Gracias.
@drhab Pero ese argumento es bastante general. ¿Quizás en esta situación, uno puede abordar el problema en los casos?
Sí, su problema restringido sigue siendo bastante desafiante y tal vez más simple de resolver. Es por eso que no declaro que su pregunta sea un duplicado.

drhab · Answer 1

Tenga en cuenta que el número de pares en la mesa 1 igualará el número de pares en la mesa 2, por lo que necesita $3$ o $4$ parejas en una mesa.

Deje que las damas tomen asiento primero y seleccionen $8$ sillas para las mujeres.

Primero miramos el resultado de exactamente $3$ mujeres en alguna mesa que tiene probabilidad: $2\frac{\binom83\binom85}{\binom{16}{8}}$ .

En esa situación seleccione $3$ fuera de $8$ asientos abiertos para sus maridos.

La probabilidad de que vengan a sentarse a la misma mesa que sus esposas es $\frac{\binom53\binom30}{\binom83}$ .

Ahora miramos el resultado de exactamente $4$ mujeres en ambas mesas que tiene probabilidad: $\frac{\binom84\binom84}{\binom{16}{8}}$ .

En esa situación seleccione $4$ de los asientos abiertos para los esposos de las mujeres en la mesa 1.

probabilidad de que $3$ de ellos se unen a sus esposas es: $\frac{\binom43\binom41}{\binom84}$ .

probabilidad de que $4$ de ellos se unen a sus esposas es $\frac{\binom44\binom40}{\binom84}$ .

Otras situaciones no son relevantes y terminamos con probabilidad:

2 \frac{(\binom{8}{3}) (\binom{8}{5})}{(\binom{dieciséis}{8})} \times \frac{(\binom{5}{3}) (\binom{3}{0})}{(\binom{8}{3})} + \frac{(\binom{4}{4}) (\binom{4}{0})}{(\binom{8}{4})} \times [\frac{(\binom{4}{3}) (\binom{4}{1})}{(\binom{8}{4})} + \frac{(\binom{4}{4}) (\binom{4}{0})}{(\binom{8}{4})}]

$2\frac{\binom83\binom85}{\binom{16}{8}}\times\frac{\binom53\binom30}{\binom 83}+\frac{\binom44\binom40}{\binom84}\times\left[\frac{\binom43\binom41}{\binom84}+\frac{\binom44\binom40}{\binom84}\right]$

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lucas collins

drhab

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drhab

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drhab

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