Distribución de combinaciones de problemas de bolas de colores

Question

Distribución de combinaciones de problemas de bolas de colores

Aliado

Si tienes una urna con $4$ bolas de color rojo, blanco, azul y negro, ¿cuál es la distribución de probabilidad de sacar $4$ bolas y conseguir exactamente $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , o $4$ bolas rojas?

Mis intentos de calcular combinaciones para dibujar exactamente $1$ bolas rojas es la siguiente:

(\binom{4}{1}) (\binom{12}{3})

$\binom{4}{1}\binom{12}{3}$ dónde

(\binom{4}{1})

$\binom{4}{1}$ cuenta el número de formas de seleccionar una bola roja y

(\binom{12}{3})

$\binom{12}{3}$ cuenta el número de formas de seleccionar tres de las otras doce bolas, con un resultado de

4 \times 220 = 880

$4\times220=880$ .

Me imagino que las combinaciones totales serían $4^4$ o $256$ , así que obviamente estoy en el camino equivocado.

lulú

Bueno, si diferencia las bolas (por ejemplo, numerándolas) como lo hizo en su cálculo (una buena idea, por cierto) entonces el total debería ser

(\binom{16}{4}) = 1820

$\binom {16}4=1820$

Leonhard Euler

6 \times 220 = 1320

$6 \times 220 = 1320$ .

lulú

Vale la pena comentar,

(\binom{12}{2}) = 66

$\binom {12}2=66$ . No estoy seguro de dónde está su

220

$220$ vino de. ni el

880

$880$ , vamos a eso.

Aliado

lo siento, factores mixtos de diferentes distribuciones. Al elegir exactamente 1 rojo, tendría que elegir 4 1 = 4 x 12 elegir 3 = 220 = 880. Me disculpo por la confusión.

NF Taussig

Puede editar su pregunta para corregir ese error presionando el botón de edición en la parte inferior de su pregunta.

NF Taussig

Además, aquí hay un tutorial sobre cómo escribir matemáticas en este sitio.

Aliado

Gracias por sus respuestas y ayuda con la composición. Llegué a 1.820 como suma de combinaciones donde el número de bolas rojas = 0 a 4 inclusive. Este enfoque parece consistente con otros ejemplos de bolas de colores, sin embargo, esperaría que la suma de distribución de bolas rojas sea exactamente 1/4 de las combinaciones totales. Supongo que las combinaciones totales son 256

Respuestas (1)

Distribución de combinaciones de problemas de bolas de colores

Bueno, si diferencia las bolas (por ejemplo, numerándolas) como lo hizo en su cálculo (una buena idea, por cierto) entonces el total debería ser $\binom {16}4=1820$
Vale la pena comentar, $\binom {12}2=66$ . No estoy seguro de dónde está su $220$ vino de. ni el $880$ , vamos a eso.
lo siento, factores mixtos de diferentes distribuciones. Al elegir exactamente 1 rojo, tendría que elegir 4 1 = 4 x 12 elegir 3 = 220 = 880. Me disculpo por la confusión.
Puede editar su pregunta para corregir ese error presionando el botón de edición en la parte inferior de su pregunta.
Además, aquí hay un tutorial sobre cómo escribir matemáticas en este sitio.
Gracias por sus respuestas y ayuda con la composición. Llegué a 1.820 como suma de combinaciones donde el número de bolas rojas = 0 a 4 inclusive. Este enfoque parece consistente con otros ejemplos de bolas de colores, sin embargo, esperaría que la suma de distribución de bolas rojas sea exactamente 1/4 de las combinaciones totales. Supongo que las combinaciones totales son 256

NF Taussig · Answer 1

Como señaló Lulu en los comentarios, la cantidad de formas en que se pueden seleccionar cuatro de las dieciséis bolas es

(\binom{dieciséis}{4})

$\binom{16}{4}$

El número de formas de seleccionar exactamente $k$ bolas rojas cuando se extraen cuatro bolas de la urna es

(\binom{4}{k}) (\binom{12}{4 - k})

$\binom{4}{k}\binom{12}{4 - k}$ dónde

(\binom{4}{k})

$\binom{4}{k}$ es el número de formas de seleccionar

k

$k$ de las cuatro bolas rojas y

(\binom{12}{4 - k})

$\binom{12}{4 - k}$ es el número de formas de seleccionar

4 - k

$4 - k$ del otro

12

$12$ bolas en la urna.

Por lo tanto, la probabilidad de seleccionar exactamente $k$ bolas rojas cuando se extraen cuatro bolas de la urna es

\frac{(\binom{4}{k}) (\binom{12}{4 - k})}{(\binom{dieciséis}{4})}

$\frac{\dbinom{4}{k}\dbinom{12}{4 - k}}{\dbinom{16}{4}}$ dónde

0 \leq k \leq 4

$0 \leq k \leq 4$ .

Gracias a los dos. Mi error es suponer que el número total de combinaciones es 256; Pensé que debería multiplicar 4 de cada color con un producto de 256. Si fueran naipes, las combinaciones totales para una mano de 2, 3, 4 y 5 con 4 disponibles de cada uno serían 256. Me cuesta entender la distinción.
@Ally Si tiene dieciséis cartas distintas, la cantidad de formas en que puede seleccionar un subconjunto que consta de cuatro de ellas es $\binom{16}{4}$ ya que debemos elegir cuales cuatro de las dieciséis cartas seleccionar. Por otro lado, si desea formar secuencias de longitud $4$ utilizando dígitos seleccionados del conjunto $\{1, 2, 3, 4\}$ con la repetición, hay $4^4 = 256$ tales secuencias ya que tenemos cuatro opciones para cada una de las cuatro posiciones en la secuencia. El número de funciones $f: \{1, 2, 3, 4\} \to \{1, 2, 3, 4\}$ es también $256$ ya que tenemos cuatro opciones en el codominio para cada elemento en el dominio.

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lulú

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NF Taussig

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