Naipes: fórmula para la probabilidad de coincidencia con reglas de extracción de cartas

Esta es una simplificación de un problema mayor en el que he estado trabajando, calculando probabilidades basadas en una característica, con reglas de selección basadas en una segunda característica. Creo que si puedo, con su ayuda, determinar el método de cálculo correcto para este problema, puedo expandirlo a mi problema más grande. ¡Gracias de antemano!

Configuración:

Con una baraja de 8 cartas: ( Ace Clubs Black [ACb], Ace Diamonds Red [ADr], Ace Hearts Red [AHr], Ace Spades Black [ASb], King Clubs Black [KCb], King Diamonds Red [KDr], King Hearts Red [KHr] y King Spades Black [KSb].

Por lo tanto: el mazo está (ACb, ADr, AHr, ASb, KCr, KDr KHr, KSb) dispuesto en un orden bastante aleatorio.

Reglas de sorteo:

Extrae, sin reposición, hasta 4 cartas. Deje de dibujar tan pronto como haya sacado 2 ases o haya sacado la cuarta carta.

Pregunta:

¿Cuál es la probabilidad P(A) de sacar exactamente 2 cartas negras y la carta KHr? La carta adicional, si se extrae, debe ser roja.

Resultado esperado (derivado del conteo de la lista exhaustiva de posibilidades):

$$P(A) = {296\over 1680} = {37\over 210}\approx 0.17619$$

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Necesito ayuda para desarrollar un enfoque generalizado, ya que el problema subyacente que estoy tratando de resolver tiene$_{416}P_6 \approx 5.0E6$permutaciones, por lo que la enumeración y el conteo de listas completas no son prácticos.

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Así es como lo he estado calculando, pero me he quedado atascado.

[EDITAR:] Después de reflexionar, parece que cada una de las 5 opciones de mano podría tratarse como un problema de selección de bolsas:

Por ejemplo, tienes 2 bolsas (A, K).

La bolsa A contiene 2 cuentas negras y 2 cuentas rojas. La bolsa K contiene 2 cuentas negras, 1 roja y una verde.

Para la mano "AAK", saque 2 de la bolsa A y 1 de la bolsa K. ¿Cuál es la probabilidad P(G ₂ ) de que lo que saque sea B, B, G?

$$P(G_2) = \left(\frac{2}{4}\right)\left ( \frac{1}{4} \right ) = 0.125$$ $$P(B_2) = \left(\frac{240}{1680}\right)$$ Luego multiplique esta probabilidad con P(B ₂ ) para obtener la probabilidad final de la mano. $$P(H_2) = P(B_2) * P(G_2) = \left(\frac{240}{1680}\right)*\left(\frac{1} {8}\right) = \left(\frac{240}{13440}\right) \approx 1.785714E-2$$ y luego suma todo junto $$P(A) = \sum_{i=0}^5 P(G_i)P(B_i)$$

¿Eso parece correcto?

[/EDITAR:]

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Hechos de permutación conocidos:

Permutaciones totales de 4 cartas:$T_p = _8P_4 = 1680$

Posibles manos extraídas, ordenadas por rango y sus permutaciones (los elementos entre paréntesis suponen que las cartas no extraídas pueden ser cualquiera de las restantes):

1. AUTOMÓVIL CLUB BRITÁNICO:$B_1 = _4P_2 * [_6P_2] * 1 = 360$Agujas: AAxx
2. AAK:$B_2 = _4P_2 * _4P_1 * [_5P_1] * 2 = 240$Manos: AKAx, KAAx
3. AAKK:$B_3 = _4P_2 * _4P_2 * 3 = 432$Manos: AKAK, AKKA, KKAA
4. AKKK:$B_4 = _4P_1 * _4P_3 * 4 = 384$Manos: AKKK, KAKK, KKAK, KKKA
5. KKKK:$B_5 = _4P_4 * 1 = 24$Manos: KKKK

Probabilidad de la mano n:$P(B_n) = {B_n\over T_P}$

Permutaciones del resultado deseado H (de 4 negro elige 2, de 1 KHr elige 1, de 3 rojo elige 1, todas las permutaciones):$H_P = \binom{4}{2}\binom{1}{1}\binom{3}{1}*(_4P_4) = 432$

Y aquí es donde tengo dificultad:

Permutaciones basadas en Bn dibujado a mano, donde para nCr$\binom{n}{r}$cuando r=n nCr = 1, cuando r>n, nCr = 0.

1. Para B1 _[ AA]:$H_1 = \binom{2}{2}\binom{2}{2}\binom{0}{1}\binom{1}{1}\binom{5}{2} * (_4P_4) = 0$
   De los 2 ases, elige 2 y de esos, elige de los 2 negros. De los 0 Reyes, elige 1... Imposible
2. Para B2 _[ AAK]:$H_2 = \binom{2}{2}\binom{1}{1}\binom{5}{1} * (_4P_4) = 120$Todas las permutaciones 4P4
3. Para B ₃ [AAKK]:$H_3 = \left(\binom{2}{2}\binom{1}{1}\binom{1}{1} + \binom{2}{1}\binom{2}{1}\binom{2}{1}\binom{1}{1} \right) * (_4P_4) = 168$
   Elige 2 negras de los ases, 1 KHr y una Kr. O Elija 1 negro de los ases, 1 rojo de los ases, 1 negro de los reyes y 1 KHr. Todas las permutaciones 4P4.
4. Para B ₄ [AKKK]:$H_4 = \left(\binom{2}{1}\binom{2}{1}\binom{1}{1}\binom{1}{1} + \binom{2}{1}\binom{2}{2}\binom{1}{1}\binom{1}{1}\right) * (_4P_4) = 144$
   Elija 1 negro de los 2 para Ases, elija 1 negro para los 2 para reyes, elija 1 de KHr y 1 del Kr restante O elija 1 de los 2 Ases rojos, 2 de los 2 reyes negros, 1 de KHr y 1 Kr. Toda la permutación 4P4
5. Para B ₅ [KKKK]:$H_5 = \binom{2}{2}\binom{1}{1}\binom{1}{1} * (_4P_4) = 24$
   De los reyes, elige 2 de los 2 negros, de los reyes restantes, elige 1 KHr, de los 1 restantes, elige 1. Todas las permutaciones 4P4.

La confusión que tengo es cómo pasar del valor de H _{n combinado con P(B n} ) para derivar el valor esperado de P(A). Si esto es$P(B_n|H_n)$entonces no sé el divisor de$B_n$

Como verificación: La lista de cantidades enumeradas de H _n |B _n son:

1. $H_1 = 0$
2. $H_2 = 20$
3. $H_3 = 108$
4. $H_4 = 144$
5. $H_5 = 24$

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Gracias por su asistencia. Esta es una nueva pregunta de este problema, ya que mi último intento en la pregunta fue rechazado dos veces sin comentarios, por lo que lo he reescrito por completo. Si cree que esto es digno de un voto negativo, ¿puedo pedir el favor de un comentario de consejo sobre cómo aclarar el escenario para hacerlo más aceptable? Gracias.