Notación de índice con operadores Del

Tengo problemas con algunos conceptos de notación de índice. (Notación de Einstein)

Si tomo la divergencia del rotacional de un vector, ∇ ⋅ ( ∇ × V → ) primero hago el paréntesis:

∇ i V j ϵ i j k mi ^ k y luego aplico el exterior ∇ ...

y obten: ∇ yo ( ∇ i V j ϵ i j k mi ^ k ) d yo k

No estoy seguro si apliqué el exterior. ∇ correctamente. Sin embargo, si lo hice correctamente, ¿cuál es mi próximo paso? Supongo que simplemente no conozco las reglas de la notación de índice lo suficientemente bien. ¿Puedo aplicar el índice de d hacia mi ^ dentro del paréntesis? ¿O eso es ilegal?

Respuestas (1)

Primero algo de notación

∇ × B → → ϵ i j k ∇ j B k
∇ ⋅ B → → ∇ i B i
∇ B → ∇ i B

Ahora, a tu problema,

∇ ⋅ ( ∇ × V → )

escribirlo en notación de índice

∇ i ( ϵ i j k ∇ j V k )

Ahora, simplemente calcúlelo (recuerde que Levi-Civita es una constante)

ϵ i j k ∇ i ∇ j V k

Aquí tenemos algo interesante, el Levi-Civita es completamente antisimétrico en i y j y tiene otro término ∇ i ∇ j que es completamente simétrico: resulta ser cero.

ϵ i j k ∇ i ∇ j V k = 0

Hagamos el último paso más claro. Siempre podemos decir que a = a + a 2 , entonces tenemos

ϵ i j k ∇ i ∇ j V k = 1 2 [ ϵ i j k ∇ i ∇ j V k + ϵ i j k ∇ i ∇ j V k ]

Ahora intercambiemos en el segundo Levi-Civita el índice ϵ i j k = − ϵ j i k , de modo que

ϵ i j k ∇ i ∇ j V k = 1 2 [ ϵ i j k ∇ i ∇ j V k − ϵ j i k ∇ i ∇ j V k ]

Ahora podemos cambiar el nombre del índice ϵ j i k ∇ i ∇ j V k = ϵ i j k ∇ j ∇ i V k ( aquí no se realizó ningún intercambio, solo se cambió el nombre ).

ϵ i j k ∇ i ∇ j V k = 1 2 [ ϵ i j k ∇ i ∇ j V k − ϵ i j k ∇ j ∇ i V k ]

Podemos entonces poner el Levi-Civita en evidencia,

ϵ i j k ∇ i ∇ j V k = ϵ i j k 2 [ ∇ i ∇ j V k − ∇ j ∇ i V k ]

Y, como V_k es un buen campo, no debe haber problema para intercambiar las derivadas ∇ j ∇ i V k = ∇ i ∇ j V k

ϵ i j k ∇ i ∇ j V k = ϵ i j k 2 [ ∇ i ∇ j V k − ∇ i ∇ j V k ]

Y, como puede ver, lo que está entre paréntesis es simplemente cero.

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