Curl se puede equiparar con la integral de línea cerrada en el límite que el área rodeada$\Delta S$va a cero. Sin embargo, tendríamos que hacer esto en tres componentes porque curl es un vector.

$$(\nabla \times \vec{v})_x = \lim_{\Delta S \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta S} \oint \vec{v}\cdot d\vec{l}$$ en el $yz$avión y así sucesivamente.

Pero, ¿qué significa? Bueno, es fácil demostrar que

$$\nabla \times \vec{v} = 2 \vec{ \omega}$$ Como sigue: $$(\nabla \times \vec{v})_x = \partial_y v_z - \partial_z v_y = \partial_y (\vec{\omega} \times \vec{r})_z - \partial_z (\vec{\omega} \times \vec{r})_y$$ $$(\nabla \times \vec{v})_x = \partial_y (\omega_x y - \omega_y x) - \partial_z ( \omega_z x - \omega_x z) = 2 \omega_x$$

y lo mismo para los otros componentes

$$(\nabla \times \vec{v})_y = \partial_z v_x - \partial_x v_z = 2\omega_y$$ $$(\nabla \times \vec{v})_z = \partial_x v_y- \partial_y v_x = 2\omega_z$$ es decir, el rotacional de un campo de velocidad es igual al doble de la velocidad angular en ese punto. En otras palabras, ¡es la velocidad angular dentro de un flujo de fluido lo que crea el rizo! Puede imaginarse la construcción de un "medidor de rotaciones" a partir de una pequeña rueda de paletas (infinitesimalmente pequeña) que podría insertarse en el flujo de fluido. Si la rueda de paletas gira, entonces hay curvatura.

Tienes un montón de buenas respuestas ahora, déjame agregar dos cosas que no vi:

El$\delta$-función curl: las cosas pueden parecer torcidas sin serlo.

Considere el campo

$$\vec V(x, y, z) = \frac{1}{x^2 + y^2}\begin{bmatrix}-y\\x\\0\end{bmatrix} = \hat\theta / r.$$ Extrañamente, $\nabla\times\vec V=0$en todos los puntos excepto en la línea $(x,y,z)=(0, 0, z)$donde no está definido. Esto "parece" rotacional: el $\hat\theta$puntos vectoriales alrededor del origen. Sin embargo, la escala exacta de $1/r$es justo lo que necesita para que el rizo desaparezca.

Por lo tanto, cualquier interpretación ingenua de "el rizo te dice cuán retorcido se ve algo" es incorrecta , porque aquí hay algo que parece retorcido pero no tiene rizo.

Mejor: la interpretación fuerza-torque.

Suponer$\vec V$representa un campo de fuerza , en el sentido habitual de la física de una fuerza definida en cada punto del espacio, por favor, no en el sentido de ciencia ficción de un muro invisible.

Ahora supongamos que ponemos un pequeño molinete dentro del campo de fuerza y ​​hacemos que sienta esas fuerzas. Sin pérdida de generalidad, lo escribimos como un pequeño círculo de radio$\epsilon$en el$xy$-plano sobre el origen, los puntos$\delta\vec r(\theta) = [\epsilon \cos\theta, \epsilon \sin\theta, 0]$para$0\le\theta\lt 2\pi.$La fuerza sobre cualquier punto de este círculo es aproximadamente:

$$\vec F(\theta) \approx \vec V(0, 0, 0) + \frac{\partial \vec V}{\partial x}~\epsilon~\cos(\theta) + \frac{\partial \vec V}{\partial y}~\epsilon~\sin(\theta).$$ A primer orden en $\epsilon$, por supuesto, la fuerza neta en este molinete es solo $\vec V(0, 0, 0)$: los términos lineales en $\epsilon$desaparecer.

El par neto , sin embargo, no desaparece:

$$\delta \vec\tau = \int_0^{2\pi} d\theta~ \delta\vec r(\theta)\times\vec F(\theta) \approx \epsilon \int_0^{2\pi} d\theta~\hat z~\big(\partial_x V_y \cos^2\theta - \partial_y V_x \sin^2\theta \big),$$ con todos los demás términos desapareciendo a medida que integramos senos y cosenos simples u ocasionalmente $\sin\theta\cos\theta = \frac12 \sin(2\theta),$todos los cuales oscilan alrededor $0$. Solo $\cos^2$y $\sin^2$oscilan alrededor de un promedio diferente, a saber $\frac12$. Por lo tanto, realizar la integral conduce al pequeño par: $$\delta \vec\tau \approx \frac12~\epsilon ~\hat z \left(\frac{\partial V_y}{\partial x} - \frac{\partial V_x}{\partial y}\right).$$ Esto es $\vec \tau = \epsilon~\hat z~(\hat z \cdot (\nabla \times \vec V)),$entonces la extensión adecuada de esto a todas las coordenadas es simplemente: en la posición $\vec r$inserte un molinete en el $\hat n$dirección, el par por unidad de radio en ese molinete es simplemente $\hat n \cdot (\nabla \times \vec V).$

Entonces, el rotacional de un campo de fuerza es el torque por unidad de radio en un pequeño molinete, apuntando en la dirección del mayor torque.

Dado que un campo de velocidad a distancias pequeñas generalmente influirá en las partículas mediante un arrastre lineal $\vec F \propto \vec v$, esta también es una buena interpretación para los campos de velocidad: inserta un pequeño molinillo que mantienes fijo, y el rotacional te dice el torque que el fluido comenzará a ejercer sobre ese molinete (al que tendrás que oponerte para mantenerlo fijo).

El$\hat \theta / r$Por lo tanto, el campo no hace girar un objeto pequeño cuando pasa junto a él. Puede entender esto aproximadamente describiendo el molinete no como un pequeño círculo de radio$\epsilon$pero un poco trapezoidal$\delta r, \delta \theta.$El fluido permanece en contacto con la superficie exterior durante un tiempo$\delta \theta~(r + \delta r)$pero solo está en contacto con la superficie interna durante la longitud$\delta \theta~ r.$Al hacer que la fuerza vaya como$\vec F = U_0~\hat \theta/r,$el trabajo realizado en la superficie interna que viaja alrededor de la espira es$-U_0~\delta\theta~r/r ~+~ U_0 \delta\theta (r + \delta r) / (r + \delta r) = 0,$como debe ser si el molinete no quiere girar de esa manera.

Considerar$\vec V$para representar el campo de velocidad de un fluido. Elegimos un punto$x_0$. En una pequeña región alrededor de este punto podemos aproximar el campo vectorial por$\vec V(\vec x_0 + \vec x) = \vec V(\vec x_0) + D\vec V(\vec x_0)x$, dónde$D\vec V(\vec x_0)$representa la matriz jacobiana. Podemos descomponer esta derivada únicamente en la parte simétrica y antisimétrica:$J := D\vec V(\vec x_0) = S + A$, dónde$A^T = -A$y$S^T = S$. Explícitamente,$A = \frac 1 2 (J - J^T)$y$S = \frac 1 2 (J + J^T)$.

Como los campos de velocidad generados por las partes simétrica y antisimétrica simplemente se superponen, podemos considerar sus efectos por separado (y aquí solo consideramos la parte antisimétrica).

cerca del punto$x_0$, la parte antisimétrica$A$genera un campo de velocidad:

$$\begin{align*} \vec V_A(\vec x_0 + \vec x) &= \begin{pmatrix} 0 & -\omega_3 & \omega_2 \\ \omega_3 & 0 & -\omega_1 \\ -\omega_2 & \omega_1 & 0 \end{pmatrix} \vec x = \vec \omega \times \vec x. \end{align*}$$ Esto corresponde al campo de velocidad de un cuerpo rígido que gira con la velocidad angular $\vec \omega$. (Tenga en cuenta que uno simplemente nombra ingeniosamente los componentes de $A$por $\omega_i$para obtener este resultado).

Escribir los elementos de$A$explícitamente, uno puede trivialmente identificarlos con los componentes de$\nabla \times \vec V$(p.ej$(\nabla \times \vec V)_1 = \partial_2 V_3 - \partial_3 V_2 = 2A_{23} = 2\omega_1$).

En conclusión, si$\vec V$es un campo de velocidades, entonces$\nabla \times \vec V(\vec x) = 2\vec \omega(\vec x)$con la velocidad angular$\vec \omega(\vec x)$con respecto al punto$\vec x$.

Un análisis similar de la parte simétrica revela que$\mathrm{Tr}(S) = \nabla \cdot V$está relacionado con el aumento del volumen del flujo (es decir, con el aumento del volumen de un pequeño volumen transportado en el flujo).

$\nabla$representar el pseudo-vector$(\frac\partial{\partial x},\frac\partial{\partial y})$(en 2D). Entonces :

• $\nabla(v)$es el gradiente$(\frac{\partial v}{\partial x} , \frac{\partial v}{\partial y})$,
• $\nabla\cdot v$es la divergencia$\frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y}$,
• $\nabla \times v$es el rizo$\frac{\partial v_y}{\partial x} - \frac{\partial v_x}{\partial y}$

Así que si$v$es un campo giratorio$v(r,\theta) = r\dot{\theta}(-\sin(\theta),\cos(\theta))$, es decir$v(x,y)=\dot{\theta}(-y,x)$, ves ese rizo($v$) =$2\dot{\theta}$, con es (dos veces) la velocidad constante de rotación.