¿Por qué los campos de la muerte son relevantes en la física?

Los campos de la muerte son uno de los conceptos más importantes de la relatividad general, tanto en su versión clásica como cuántica.

Clásicamente, una cosa que siempre nos interesa es la trayectoria/línea de universo de un observador en caída libre en un espacio-tiempo curvo. Estas líneas de mundo se describen como geodésicas y satisfacen la ecuación

$$\frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\rho\sigma} \frac{dx^\rho}{d\tau} \frac{ dx^\sigma }{ d\tau } = 0$$ dónde $\tau$es el parámetro afín a lo largo de la geodésica.

Ahora si$\xi^\mu$es un campo vectorial Killing, entonces es fácil demostrar que

$$Q_\xi = \xi_\mu \frac{dx^\mu}{d\tau}$$ es una constante a lo largo de la geodésica, es decir $$\frac{d}{d\tau} Q_\xi = 0$$ De este modo. encontramos que todo campo vectorial Killing da lugar a una cantidad conservada a lo largo de la línea universal de un observador en caída libre. Este hecho se puede usar para etiquetar las geodésicas. Esto no es más que un ejemplo del teorema de Noether en juego en GR.

Por ejemplo, en el espacio-tiempo estacionario, existe un vector Killing que es globalmente similar al tiempo (esta es la definición de espacio-tiempo estacionario),$k^\mu$. Entonces, podemos definir una cantidad conservada

$$E = - k_\mu \frac{dx^\mu}{d\tau}$$ ¡Esta es simplemente la generalización de la definición de energía! ( ¿Puedes comprobar a qué se reduce esto para espacios-tiempos planos? )

En las teorías cuánticas de campos, los vectores Killing se pueden utilizar para construir corrientes conservadas (y, por lo tanto, concluir la existencia de simetrías y todo el alboroto que las acompaña). Por ejemplo, cualquier teoría cuántica de campo local tiene un operador de tensor de tensión$T_{\mu\nu}$que es simétrica y conservada. Uso de campos vectoriales Killing$\xi^\mu$podemos definir corrientes conservadas

$$j^\nu = \xi_\mu T^{\mu\nu}$$ Esta corriente entonces satisface varias identidades de Ward, etc.

En pocas palabras: las simetrías forman la base de casi toda la física que se hace hoy. Los campos vectoriales asesinos son simplemente manifestaciones de simetrías en el contexto de la relatividad general.

Imagine el agua fluyendo constantemente en una corriente, lo suficientemente constante como para que la superficie del agua nunca cambie de forma. El agua forma un colector tridimensional.$M$. Observar cómo se mueve el agua durante un período de$t$segundos da un difeomorfismo$\phi^t \colon M \to M$. Si la corriente lleva una diatomea corriente abajo y la ve en el punto$p$, sabes que en$t$segundos estará en el punto$\phi^t(p)$.

El agua se encuentra dentro del espacio euclidiano, por lo que podemos medir ángulos y distancias en el agua. En otras palabras,$M$tiene una métrica$g$. El flujo de la corriente puede cambiar ángulos y distancias. Como ilustración, imagina una pequeña medusa flotando río abajo. En este momento, está en el punto$p$, y dos de sus tentáculos sobresalen a lo largo de los vectores unitarios perpendiculares$v, w \in T_p M$.

Después$t$segundos, la medusa estará en$\phi^t(p)$, y sus tentáculos sobresaldrán a lo largo de nuevos vectores$\phi^t_*(v)$y$\phi^t_*(w)$. Aquí,$\phi^t_*$denota el avance , también conocido como la derivada total , del difeomorfismo$\phi^t$. los vectores$\phi^t_*(v)$y$\phi^t_*(w)$puede que ya no sean vectores unitarios y que tampoco sean perpendiculares.

A medida que la medusa flota río abajo, ¿cómo cambian los ángulos y las longitudes de sus tentáculos? La derivada de mentira de la métrica$g$nos dirá

La velocidad del agua en el punto$p$se describe mediante un vector tangente a$M$a$p$, por lo que la velocidad del agua en todas partes se describe mediante un campo vectorial$X$en$M$. El campo de velocidad$X$no cambia con el tiempo, porque el agua fluye constantemente. El número

$$\mathcal{L}_X g(v, w)$$ se define como la tasa de cambio actual, es decir, la derivada en el tiempo cero, de $g(\phi^t_*(v), \phi^t_*(w))$. Más generalmente, $\mathcal{L}_X g$describe la forma en que el flujo de la corriente cambia los ángulos y las distancias.

Finalmente, ¿qué significa si$\mathcal{L}_X g$es cero? Significa que el flujo del agua no cambia los ángulos y las distancias en absoluto. El agua se mueve de una manera completamente rígida: bien podría ser una capa de hielo deslizándose por una colina, en lugar de un arroyo. En unos segundos, todas las diatomeas y medusas atrapadas en el hielo estarán en diferentes lugares, pero los ángulos y las distancias entre ellas no cambiarán. Las criaturas incluso quedarán congeladas en las mismas poses; la pobre medusa tendrá sus tentáculos sobresaliendo en ángulo recto para siempre.

En física, la corriente$M$es reemplazado por el espacio-tiempo. Un campo vectorial$X$con$\mathcal{L}_X g = 0$describe un movimiento de espacio-tiempo completamente rígido: un flujo que no cambia los intervalos de espacio-tiempo entre eventos. El nombre técnico para esto es un flujo por isometrías .

En el espacio-tiempo de Minkowski, las rotaciones constantes, los impulsos constantes y las traslaciones constantes en el espacio y el tiempo son todos flujos por isometrías, por lo que los campos vectoriales asociados son todos ejemplos de campos asesinos. En particular, si simplemente estás flotando en el espacio sin dar vueltas ni acelerar, el "flujo del tiempo" desde tu punto de vista es un flujo por isometrías.

Para otro ejemplo, suponga que está en órbita alrededor de una estrella, por lo que su mundo está bien descrito por un espacio-tiempo de Schwarzschild. Si tu órbita es circular, el "flujo del tiempo" desde tu punto de vista vuelve a ser un flujo por isometrías. Un astronauta de deportes extremos que usa una vela ligera para flotar sobre la estrella sin girar alrededor de ella verá un "flujo de tiempo" diferente, y el suyo también es un flujo por isometrías.

En general, un Killing field similar al tiempo describe un punto de vista desde el cual el "flujo del tiempo" es completamente rígido: el río del tiempo es más como un glaciar del tiempo. Un espacio-tiempo con un punto de vista como ese se llama estacionario. De los ejemplos anteriores, podemos ver que el espaciotiempo de Minkowski y el espaciotiempo de Schwarzschild son estacionarios. Los espacio-tiempos FLRW, sin embargo, no lo son: no importa cómo lo cortes, un universo FLRW siempre se está expandiendo o colapsando, por lo que no puedes encontrar ningún punto de vista desde el cual el flujo del tiempo sea rígido. Incluso en la Tierra, dudo que el espacio-tiempo esté muy cerca de estar estacionario: si alguna vez has visto un castillo de arena inundado por la marea creciente, sabes que la gravedad de la Luna es demasiado fuerte para ignorarla, por lo que nuestro espacio-tiempo local probablemente sea mejor descrito por algunos extraño espacio-tiempo de tres cuerpos que involucra a la Tierra, la Luna y el Sol. Esta imagen, si es precisa, justifica la imaginería del "río del tiempo" utilizada por los poetas desde tiempos inmemoriales.

Los flujos del campo de exterminio conservan formas y tamaños. Eso los convierte en generadores de isometrías infinitesimales. Esta conexión con la simetría es una de las razones de su importancia.

La derivada de Lie se puede considerar como el efecto de ser arrastrado por el flujo de un campo vectorial. Para este propósito, una métrica puede ser pensada como un campo de$\epsilon$-balls wrt a esa métrica. Miente arrastrando una métrica en el punto$p$a lo largo de$v$corresponde a desplazar cada punto dentro de la$\epsilon$-bola centrada en$p$por$v$. La derivada de Lie corresponde entonces a la distorsión en la forma y el tamaño de la pelota. La derivada de Lie de una métrica es 0 cuando$\epsilon$-Las bolas se conservan por arrastre. Esto significa que los campos de exterminio deben estar libres de divergencias.

Imagine una gota de tinta en un fluido comprimible que fluye. Si la gota conserva su tamaño y forma, entonces el campo de velocidad del flujo es un campo mortal en la vecindad de la gota de tinta.

Esta es una ilustración de Road to Reality de Penrose :

El flujo de un Killing field puede arrastrar a toda la variedad. Dado que los campos de muerte están libres de divergencias y, por lo tanto, sus flujos no tienen fuentes ni sumideros, arrastrar toda la variedad genera una biyección entre los puntos inicial y final (un automorfismo). Dado que el flujo conserva la métrica, la biyección es una isometría.

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El último párrafo debe tomarse con pinzas, consulte https://physics.stackexchange.com/questions/225636/killing-fields-and-symmetries

Creo que el argumento en el último párrafo solo es válido para variedades compactas/cerradas.

Se puede dar forma a una imagen muy simple e intuitiva con la definición de derivada de mentira provista en el libro de Wald (C.2.1),

$$\mathcal{L}_{v}T_{\ \ \ \ b_{1}...b_{k}}^{a_{1}..a_{k}}=\lim_{t\rightarrow0}\left(\frac{\phi_{-t}^{*}T_{\ \ \ \ b_{1}...b_{k}}^{a_{1}..a_{k}}-T_{\ \ \ \ b_{1}...b_{k}}^{a_{1}..a_{k}}}{t}\right)$$ dónde $\phi_t$es un grupo de un parámetro de difeomorfismos generados por el campo vectorial $v$( $t$es el parámetro) y $\phi^*_{-t}$denota el mapa que lleva el tensor a lo largo del vector tangente $v$cuando $t\rightarrow 0$. Sin ser sofisticado, la derivada de Lie te dice cuánto cambia un tensor en la dirección de $v$.

Ahora, si la métrica no cambia en cierta dirección$X$en$p$(un punto de la variedad) entonces$X$es un vector asesino en$p$y significa físicamente que la "gravedad" no cambia en esa dirección. Entonces, físicamente, un campo vectorial Killing forma curvas donde la "gravedad" no cambia.

Se puede encontrar un ejemplo en las soluciones estáticas de las ecuaciones de Einstein (por ejemplo, Schwarzschild). Estas soluciones tienen "gravedad" que no cambia cuando pasa el tiempo. Por lo tanto, puede encontrar un campo vectorial similar al tiempo que sea de tipo Killing (y$t$anterior puede ser un buen parámetro para su tiempo).

Hay otra forma matemática de ver su importancia: el teorema de Noether. Puedes verlo en estas conferencias de Van Holten y Rietdijk http://arxiv.org/pdf/hep-th/9205074

Si la derivada de Lie de la métrica con respecto a un campo vectorial$X$es cero, entonces la métrica es constante a lo largo de las curvas integrales del campo vectorial.

Si le dan un campo de vector Killing, puede moverse a lo largo de cualquiera de sus curvas integrales sin cambiar la métrica. Por lo tanto, los campos de vectores asesinos corresponden a simetrías de la métrica. Si un espacio-tiempo dado tiene simetrías, a menudo es conveniente describir esas simetrías en términos de campos de vectores Killing.

Los campos vectoriales asesinos son esenciales, por ejemplo, para definir lo que significa que un espacio-tiempo sea invariante en la traducción del tiempo. El término formal para un espaciotiempo invariante en la traducción del tiempo es estacionario , y un espaciotiempo estacionario es aquel que tiene un campo de muerte que es temporal en todas partes (esta definición puede extenderse para no requerir que el campo sea temporal en todas partes, pero no consideraremos esto caso ahora).

En otras palabras, en un espacio-tiempo estacionario hay un conjunto de curvas a lo largo de las cuales la métrica no cambia, y estas curvas son temporales. Esto corresponde a la idea de la invariancia traslacional del tiempo: podemos movernos a lo largo de ciertas curvas temporales sin cambiar el espacio-tiempo.

Esta es una respuesta que solo aborda algunos de los aspectos matemáticos de la pregunta, que puede o no encontrar útil.

Un campo vectorial$X$en un colector$M$es un generador infinitesimal de un difeomorfismo (activo)$\phi: M \rightarrow M$; en geometría diferencial esto sería una sección de su haz tangente$X \in \Gamma(TM)$.

Ahora, sospecho que la relevancia física es esta: la covarianza general es la sugerencia de que las propiedades físicamente relevantes son invariantes bajo los difeomorfismos; pero presumiblemente no cuentan todos los difeomorfismos; la necesitaríamos para conservar la estructura métrica, es decir, es isométrica.

Entonces eso$X$, es un campo vectorial que genera tal difeomorfismo isométrico, se entiende cuando es un campo vectorial Killing, es decir$L_X g=0$.