Notación para la divergencia de un tensor de rango 2

Creo que la pregunta se respondió en los comentarios, pero su principal preocupación parece ser "¿cómo los denotaría en notación vectorial?".

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Mi respuesta a esto es (1) no lo hace , o (2) si debe , entonces tiene la libertad de indicarlo de la forma que desee. La razón por la que no existe un acuerdo estándar sobre una notación "vectorial" es que con tensores con rango mayor que 1 se vuelve mucho más confuso de lo que vale.

Por eso recomiendo la opción (1)

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Ejemplo : suponga que desea tomar la derivada con el segundo índice de un tensor. Entonces puedes escribir

$$\partial_{i_2} T^{i_1i_2 \cdots} \qquad or \qquad\vec{\mathcal{D}}\ \cdot \stackrel{\leftrightarrow}{T}$$

En mi opinión, la segunda ecuación es esencialmente inútil y, sobre todo, confusa. El problema con el de la derecha es que está tratando de empaquetar demasiada información en una notación vectorial. Eso funciona si tiene un solo índice pero pierde este atractivo en proporción a la cantidad de índices que tiene su tensor.

Si intenta salvar la notación "vectorial" de la derecha, lo más probable es que invente la notación de la izquierda, ya que es superior en todos los sentidos.

En esta respuesta uso$x=x_1, y=x_2, z=x_3$y notación de Einstein . Tomemos el tensor A

$$A = \begin{bmatrix} a_{11} && a_{12} && a_{13} \\ a_{21} && a_{22} && a_{23} \\ a_{31} && a_{32} && a_{33} \\ \end{bmatrix}$$

En wikipedia en este artículo encontré la siguiente información (en el artículo usan S en lugar de A) para el sistema de coordenadas cartesianas:

$$\nabla\cdot A = \cfrac{\partial A_{ki}}{\partial x_k}~\mathbf{e}_i = A_{ki,k}~\mathbf{e}_i = \begin{bmatrix} \frac{\partial a_{11}}{\partial x} + \frac{\partial a_{21}}{\partial y} + \frac{\partial a_{31}}{\partial z} \\ \frac{\partial a_{12}}{\partial x} + \frac{\partial a_{22}}{\partial y} + \frac{\partial a_{32}}{\partial z} \\ \frac{\partial a_{13}}{\partial x} + \frac{\partial a_{23}}{\partial y} + \frac{\partial a_{33}}{\partial z} \\ \end{bmatrix}$$

El resultado es un vector contravariante (columna). Pero en este artículo se menciona que$\mathrm{div}(A) \neq \nabla\cdot A$y

$$\mathrm{div}(A) = \nabla\cdot A^T = \cfrac{\partial A_{ik}}{\partial x_k}~\mathbf{e}_i = A_{ik,k}~\mathbf{e}_i = \begin{bmatrix} \frac{\partial a_{11}}{\partial x} + \frac{\partial a_{12}}{\partial y} + \frac{\partial a_{13}}{\partial z} \\ \frac{\partial a_{21}}{\partial x} + \frac{\partial a_{22}}{\partial y} + \frac{\partial a_{23}}{\partial z} \\ \frac{\partial a_{31}}{\partial x} + \frac{\partial a_{32}}{\partial y} + \frac{\partial a_{33}}{\partial z} \\ \end{bmatrix}$$

Cuando A es simétrica:$a_{ij}=a_{ji}$entonces$\mathrm{div}(A) = \nabla\cdot A$

Wiki también menciona que algunos autores usan una definición alternativa:$\nabla\cdot A = \cfrac{\partial A_{ik}}{\partial x_k}~\mathbf{e}_i$probablemente solo para el caso en que A es simétrico (para el cual esa definición alternativa es igual a la original). Sin embargo, la definición alternativa NO es compatible con la definición curvilínea general que también encontré en wiki:

$$\nabla\cdot A = \left(\cfrac{\partial A_{ki}}{\partial x_k}- A_{li}~\Gamma_{kk}^l - A_{kl}~\Gamma_{ki}^l\right)~\mathbf{g}^i$$

Actualmente no sé cuál es la definición exacta de: 𝐠𝑖 - probablemente dará algo como 𝐞𝑖