Normalización arbitraria de una función de onda de partículas libres

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Normalización arbitraria de una función de onda de partículas libres

Física
función de onda
normalización
mecánica cuántica
regla-de-oro-de-fermis
sección transversal de dispersión

grito

$\newcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}}$ Estoy leyendo el libro de Landau y Lifshitz sobre mecánica cuántica no relativista y tengo algunas dudas sobre un pasaje del capítulo sobre dispersión elástica. Tengo la edición francesa de 1966, por lo que no puedo citar con precisión, pero debería estar en §125, alrededor de la ecuación (125.10).

Al estudiar la tasa de transiciones en el espectro continuo (que trata con partículas libres de momentos dados) debido a algún potencial $U$ , está escrito que «normalizamos la función de onda saliente, con cantidad de movimiento $\vec p'$ , como el delta de Dirac en el espacio de momento

ψ_{{pags}^{'}} (X) = \frac{1}{(2 π ℏ)^{3 / 2}} {mi}^{\frac{i}{ℏ} {pags}^{'} \cdot X}

$\begin{equation*} \psi_{\vec{p}'}(\vec{x})=\frac1{(2\pi\hbar)^{3/2}}e^{\frac{i}{\hbar}\vec{p}'\cdot\vec{x}} \end{equation*}$ y la función de onda entrante a la densidad de corriente unitaria

ψ_{pags} (X) = \sqrt{\frac{metro}{pags}} {mi}^{\frac{i}{ℏ} pags \cdot X}

$\begin{equation*} \psi_{\vec{p}}(\vec{x})=\sqrt{\frac{m}{p}}e^{\frac{i}{\hbar}\vec{p}\cdot\vec{x}} \end{equation*}$ por lo tanto, la probabilidad dada por la regla de oro de Fermi

d w_{pags {pags}^{'}} = \frac{2 π}{ℏ} | ⟨ {pags}^{'} | tu | pags ⟩ |^{2} d (mi (pags) - mi ({pags}^{'})) d v

$\begin{equation*} \dd w_{\vec{p}\vec{p}'}=\frac{2\pi}{\hbar}\bigl\lvert \langle\vec{p}'|U|\vec{p}\rangle\bigr\rvert^2\delta\bigl(E(\vec{p})-E(\vec{p}')\bigr)\,\dd\nu \end{equation*}$ representa la sección transversal diferencial del proceso de dispersión».

Aquí $m$ es la masa de la partícula, $p=\lVert\vec{p}\rVert$ y $\dd\nu$ representa un "intervalo de estados", en este caso $\dd p_x\dd p_y\dd p_z$ .

Ahora, mi pregunta: ¿puede ser arbitrario el factor de normalización de una partícula libre? Mi sensación es que los autores lo hicieron "porque funciona" y porque da el resultado deseado, pero probablemente no sepa algo que sucede detrás de las cortinas de esta derivación. Entiendo que las funciones de onda de partículas libres no se pueden normalizar de todos modos en $\mathbb{R}^3$ , pero ¿significa esto que puedo multiplicarlos por lo que quiera (factor escalar constante)?

Cuando se introdujo la ecuación de la regla de oro para las transiciones entre estados continuos del espectro (§43 en mi edición), los autores de hecho escribieron que $\dd w$ no se puede considerar como una tasa de transición, ya que ni siquiera tiene las unidades correctas (supongo que eso depende de cómo "cuentes los estados": podría haber usado, por ejemplo $\dd\nu=\dd p_x\dd p_y\dd p_z/\hbar^3$ también).

¿Cómo resuelvo toda esta arbitrariedad?

Aarón

Algo es muy sospechoso acerca de la normalización a la densidad de corriente unitaria; ni siquiera tiene las unidades adecuadas. Definitivamente, las funciones de onda siempre deben normalizarse a 1 (esto es lo que hace la normalización a delta de Dirac). Mi instinto me dice que la "normalización a la densidad de corriente unitaria" en realidad debería estar ocurriendo en la regla de oro de Fermi, no al nivel de la función de onda. Tal vez realmente debería estar en este "intervalo de estados" (o como wikipedia lo llama densidad de estados finales). Sin embargo, quiero señalar que las funciones de onda de partículas libres tienen una normalización adecuada (por ejemplo, Dirac)

grito

Si tuviera que elegir cómo normalizar la función de onda entrante, elegiría también el delta de Dirac en el espacio de momento, como la onda saliente, ya que la propiedad de la partícula después de todo es tener un momento definido. Además, ¿la elección de tal densidad de estados (en términos de las coordenadas de cantidad de movimiento) se deriva de la normalización en el espacio de cantidad de movimiento? Me parece probable ya que el impulso (final) es la única "variable" en la regla de Fermi.

Aarón

La normalización siempre está determinada por su definición de producto interno en el espacio de Hilbert. Además, la densidad de estados está determinada por la definición de producto interno. Entonces, de manera indirecta, la normalización debería determinar su densidad de estados. Dado esto, lo que dije antes no parece ser cierto. El único otro lugar del que podrían provenir legítimamente estos factores adicionales es la sección transversal diferencial. Desafortunadamente, no tengo una copia del libro, así que no sé cómo se define esto para ellos.

grito

Nunca lo pensé de esta manera... Entonces sería algo como esto: represento los estados en la "imagen de momento" (lo cual es natural ya que son partículas libres) que es como funciones en

L^{2} (R^{3})

$L^2(\mathbb{R}^3)$ con la medida

d p_{x} d p_{y} d p_{z}

$\mathrm{d}p_x\mathrm{d}p_y\mathrm{d}p_z$ , por lo tanto, los estados de partículas libres están representados por (y normalizados como) deltas de Dirac

δ (p - p^{'})

$\delta(\mathbf{p}-\mathbf{p}')$ y la densidad de estados es la medida de integración elegida? (No estoy seguro de si "medir" es una terminología correcta desde un punto de vista matemático, pero el significado debería ser claro)

Aarón

En términos generales, eso es correcto. Puedes pensar en un sistema cuántico en un tamaño finito

L^{3}

$L^3$ sistema y tomando el

L \to \infty

$L \rightarrow \infty$ límite, y las conexiones son más claras ya que no tienes que preocuparte por las distribuciones (al menos más claras para mí).

Respuestas (1)

Normalización arbitraria de una función de onda de partículas libres

Algo es muy sospechoso acerca de la normalización a la densidad de corriente unitaria; ni siquiera tiene las unidades adecuadas. Definitivamente, las funciones de onda siempre deben normalizarse a 1 (esto es lo que hace la normalización a delta de Dirac). Mi instinto me dice que la "normalización a la densidad de corriente unitaria" en realidad debería estar ocurriendo en la regla de oro de Fermi, no al nivel de la función de onda. Tal vez realmente debería estar en este "intervalo de estados" (o como wikipedia lo llama densidad de estados finales). Sin embargo, quiero señalar que las funciones de onda de partículas libres tienen una normalización adecuada (por ejemplo, Dirac)
Si tuviera que elegir cómo normalizar la función de onda entrante, elegiría también el delta de Dirac en el espacio de momento, como la onda saliente, ya que la propiedad de la partícula después de todo es tener un momento definido. Además, ¿la elección de tal densidad de estados (en términos de las coordenadas de cantidad de movimiento) se deriva de la normalización en el espacio de cantidad de movimiento? Me parece probable ya que el impulso (final) es la única "variable" en la regla de Fermi.
La normalización siempre está determinada por su definición de producto interno en el espacio de Hilbert. Además, la densidad de estados está determinada por la definición de producto interno. Entonces, de manera indirecta, la normalización debería determinar su densidad de estados. Dado esto, lo que dije antes no parece ser cierto. El único otro lugar del que podrían provenir legítimamente estos factores adicionales es la sección transversal diferencial. Desafortunadamente, no tengo una copia del libro, así que no sé cómo se define esto para ellos.
Nunca lo pensé de esta manera... Entonces sería algo como esto: represento los estados en la "imagen de momento" (lo cual es natural ya que son partículas libres) que es como funciones en $L^2(\mathbb{R}^3)$ con la medida $\mathrm{d}p_x\mathrm{d}p_y\mathrm{d}p_z$ , por lo tanto, los estados de partículas libres están representados por (y normalizados como) deltas de Dirac $\delta(\mathbf{p}-\mathbf{p}')$ y la densidad de estados es la medida de integración elegida? (No estoy seguro de si "medir" es una terminología correcta desde un punto de vista matemático, pero el significado debería ser claro)
En términos generales, eso es correcto. Puedes pensar en un sistema cuántico en un tamaño finito $L^3$ sistema y tomando el $L \rightarrow \infty$ límite, y las conexiones son más claras ya que no tienes que preocuparte por las distribuciones (al menos más claras para mí).

qmecanico · Answer 1

Por un lado, la regla de oro de Fermi establece que la tasa de probabilidad de transición es
$\begin{matrix} (1) & \frac{d PAGS}{d t} = \frac{2 π}{ℏ} | ⟨ F | V | i ⟩ |^{2} ρ_{F} . \end{matrix}$ $\frac{dP}{dt}~=~\frac{2\pi}{\hbar} | \langle f | V| i\rangle|^2 \rho_f. \tag{1}$ Se supone que el estado inicial $|i\rangle$ está normalizado. Los estados finales $|f\rangle$ no tiene que ser normalizado. (Esto último se puede ver poniendo el sistema en una caja potencial con volumen $L_xL_yL_z$ , y tomar el límite $L_xL_yL_z\to \infty$ . La normalización de $|f\rangle$ y $\rho_f$ escalaría de tal manera que la fórmula (1) permanezca invariable).
Por otro lado, en la teoría de la dispersión , el estado inicial no está normalizado. En este caso no existe una noción absoluta de probabilidad. En cambio, la sección transversal de dispersión está por definición normalizada en relación con el flujo del haz incidente. La normalización de L&L de la función de onda inicial a la densidad de corriente unitaria está diseñada para cumplir con esta definición. No es arbitrario.

Referencias:

[L&L] LD Landau y EM Lifshitz, QM, vol. 3, 3ª ed., 1981; $\S$ 126.

¿Cómo se interpreta un estado no normalizado? ¿Tiene esto algo que ver con las condiciones de contorno en el infinito? ¿Es correcto pensar que el "estado no normalizado" se formula más correctamente como un estado normalizado pero con factores adicionales para hacer la conexión con la sección transversal de dispersión?

Normalización arbitraria de una función de onda de partículas libres

grito

Aarón

grito

Aarón

grito

Aarón

Respuestas (1)

qmecanico

Aarón

¿Qué significa la notación Ψk/(Ψk,Ψk)1/2Ψk/(Ψk,Ψk)1/2\Psi_k/(\Psi_k,\Psi_k)^{1/2}?

δ(0)=∫∞−∞|x1(x)|2dxδ(0)=∫−∞∞|x1(x)|2dx\delta(0)=\int_{-\infty}^\infty |x_1( x)|^2dx?

¿Quién está haciendo la normalización de la función de onda en la evolución temporal de la función de onda?

¿Hay un evento de dispersión si dos funciones de onda se superponen en el espacio de momento?

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