Normalización de la suma de funciones de onda y cálculo de probabilidad: comprensión de conceptos

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Normalización de la suma de funciones de onda y cálculo de probabilidad: comprensión de conceptos

jessé

El estado de una partícula limitada por infinitas paredes de potencial en x=0 y x=L se describe mediante una función de onda $\psi = a\phi_1 + b\phi_2$ dónde $\phi_i$ son los estados estacionarios.

Así que digamos que queremos normalizar esta función de onda. Según tengo entendido el procedimiento es el siguiente:

La probabilidad de que la partícula esté en cualquier punto de 0 a L es 1. Entonces necesito integrar las funciones de onda al cuadrado en ese intervalo. Por el principio de superposición, está bien simplemente agregarlos. Además de eso, cualquier $\psi$ también se puede expresar como $\psi \psi^*$

$\psi = a\phi_1 + b\phi_2$

$\psi = (a\phi_1\phi_1^* + b\phi_2\phi_2^*)$

queremos integrar $\vert\psi\vert ^2$

$(a\phi_1\phi_1^*)^2 + 2ab\phi_2\phi_2^*\phi_1\phi_1^*+(b\phi_2\phi_2^*)^2 = (a^2 + b^2)$

Como las funciones phi son autovalores, las de la diagonal de la matriz son las únicas distintas de cero, por lo que desaparecen los términos cruzados del medio (son cero) y los términos finales $(\phi_i\phi_i^*)$ son iguales a 1. Entonces obtenemos

$\psi = \int_0^L\vert\psi(x)\vert ^2dx = \int_0^L\vert(a^2 + b^2)\vert^2dx=1$

y por lo tanto

$\int_0^L\vert(a^2 + b^2)\vert^2dx=1$ y

$(a^2+b^2)^2x\vert^L_0 = 1 \rightarrow (a^2+b^2)^2L=1\rightarrow L=1/(a^2+b^2)^2$

La pregunta conceptual que tuve fue que si tenemos la probabilidad al cuadrado aquí, ¿es eso o la raíz cuadrada de esa probabilidad la constante de normalización? Además, ¿sería también permisible tratar cada una de las funciones de onda como $A\sin\frac{n\pi x}{L}$ dónde $A_1=a$ y $A_2=b$ , y probar la integración de esa manera? Dado que las funciones de onda son supuestamente diferentes, parecía que estaría mal, pero también sabemos que son estados estacionarios, por lo que van a cero en cualquier extremo del pozo de potencial y son sinusoidales, ¿correcto?

Sé que esta área no siempre responde a preguntas de tipo HW. Pero este es el tipo de cosas que creo que podría ayudar a muchas personas a comprender este concepto, porque no puedo ser el único que está un poco perdido sobre cómo usar estas técnicas.

Ari Ben Canaán

Creo que lo que estabas intentando era

| Ψ |^{2} = Ψ Ψ^{*}

$|\Psi|^2=\Psi\Psi^*$ .

Ψ \neq Ψ Ψ^{*}

$\Psi \ne \Psi\Psi^*$ .

jessé

Sí, tiene usted razón..

Respuestas (1)

Normalización de la suma de funciones de onda y cálculo de probabilidad: comprensión de conceptos

Creo que lo que estabas intentando era $|\Psi|^2=\Psi\Psi^*$ . $\Psi \ne \Psi\Psi^*$ .

david z · Answer 1

Honestamente, el argumento que está haciendo aquí es un desastre: la pregunta se basa en premisas incorrectas. Así que déjame mostrarte cómo hacerlo correctamente y espero que eso resuelva tu confusión.

Tienes razón en que para que una función de onda se normalice, debe satisfacer

\begin{matrix} (1) & \int_{todo el espacio} PAG (X) d X = \int_{todo el espacio} ψ^{*} (X) ψ (X) d X = 1 \end{matrix}

$\int_\text{all space} P(x)\mathrm{d}x = \int_\text{all space} \psi^*(x)\psi(x)\mathrm{d}x = 1\tag{1}$

Pero esta declaración:

Además de eso, cualquier $\psi$ también se puede expresar como $\psi\psi^∗$

no es correcto. Dada una función $\psi(x)$ , puedes escribir $\psi(x)\psi^*(x)$ , pero esa es una función diferente.

De todos modos, dado que su función de onda se puede escribir

ψ (X) = a ϕ_{1} (X) + b ϕ_{2} (X)

$\psi(x) = a\phi_1(x) + b\phi_2(x)$

luego simplemente conecta eso a la condición de normalización (1) y obtiene

\int_{0}^{L} (a^{*} ϕ_{1}^{*} (X) + b^{*} ϕ_{2}^{*} (X)) (a ϕ_{1} (X) + b ϕ_{2} (X)) d X = 1

$\int_0^L \bigl(a^* \phi_1^*(x) + b^* \phi_2^*(x)\bigr)\bigl(a \phi_1(x) + b \phi_2(x)\bigr)\mathrm{d}x = 1$

que se expande a

\begin{matrix} (2) & \begin{matrix} a^{*} a \int_{0}^{L} ϕ_{1}^{*} (X) ϕ_{1} (X) d X + a^{*} b \int_{0}^{L} ϕ_{1}^{*} (X) ϕ_{2} (X) d X \\ + b^{*} a \int_{0}^{L} ϕ_{2}^{*} (X) ϕ_{1} (X) d X + b^{*} b \int_{0}^{L} ϕ_{2}^{*} (X) ϕ_{2} (X) d X = 1 \end{matrix} \end{matrix}

$\begin{multline} a^*a \int_0^L \phi_1^*(x)\phi_1(x)\mathrm{d}x + a^*b \int_0^L \phi_1^*(x)\phi_2(x)\mathrm{d}x \\ + b^*a \int_0^L \phi_2^*(x)\phi_1(x)\mathrm{d}x + b^*b \int_0^L \phi_2^*(x)\phi_2(x)\mathrm{d}x = 1 \end{multline}\tag{2}$

Ahora puedes usar la identidad

\int_{0}^{L} ϕ_{1}^{*} (X) ϕ_{2} (X) d X = \int_{0}^{L} ϕ_{2}^{*} (X) ϕ_{1} (X) d X = 0

$\int_0^L\phi_1^*(x)\phi_2(x)\mathrm{d}x = \int_0^L\phi_2^*(x)\phi_1(x)\mathrm{d}x = 0$

que se sigue del hecho de que $\phi_1$ y $\phi_2$ son funciones ortogonales (no basta con que sean funciones propias de un operador, tienen que ser ortogonales), y la identidad

\int_{0}^{L} ϕ_{1}^{*} (X) ϕ_{1} (X) d X = \int_{0}^{L} ϕ_{2}^{*} (X) ϕ_{2} (X) d X = 1

$\int_0^L\phi_1^*(x)\phi_1(x)\mathrm{d}x = \int_0^L\phi_2^*(x)\phi_2(x)\mathrm{d}x = 1$

lo que simplemente refleja el hecho de que $\phi_1$ y $\phi_2$ están normalizados . (Compruebe usted mismo que esto es lo mismo que la condición de normalización, ecuación (1).) Con estas dos identidades, la ecuación (2) se reduce a

| a |^{2} + | b |^{2} = 1

$\lvert a\rvert^2 + \lvert b\rvert^2 = 1$

La pregunta conceptual que tuve fue que si tenemos la probabilidad al cuadrado aquí, ¿es eso o la raíz cuadrada de esa probabilidad la constante de normalización?

Todo depende, ¿cómo defines tu constante de normalización? Depende de lo que esté normalizando y de cómo lo exprese exactamente como una función. Independientemente de cómo lo haga, el requisito final para la normalización es solo eso $\lvert a\rvert^2 + \lvert b\rvert^2 = 1$ .

En cuanto al uso de la forma sinusoidal específica para el $\phi_i$ , puedes hacer eso en este caso, porque tienes suficiente información para darte cuenta de que las funciones propias son, de hecho, sinusoidales. Pero realmente no necesita saber que son sinusoidales para que funcione el argumento anterior; todo lo que necesitas saber es que el $\phi_i$ s son ortonormales.

¡Gracias! para ser absolutamente claro, la razón (2) se reduce a $a^2 + b^2 = 1$ es porque $\phi_1(x)\phi_1^*(x) = 1$ y $a^*a = a^2$ y lo mismo se aplica a b. Y si quisiera normalizar el $\psi$ Empecé con Debería haber $\frac{1}{(a^2+B^2)}(a\phi_1 + b\phi_2)$ ¿bien?
(1) No es cierto que $\phi_1(x)\phi_1^*(x) = 1$ . El producto $\phi_1(x)\phi_1^*(x)$ es una función, que en general variará con $x$ . Solo cuando lo integras obtienes 1. (2) Me había equivocado al omitir los signos de valor absoluto; $a^*a = \lvert a^2\rvert$ , no $a^2$ , pero teniendo en cuenta eso, sí, esa es la razón por la que obtienes $\lvert a\rvert^2 + \lvert b\rvert^2 = 1$ . (3) Ejercicio para el lector :-) Pruebe el procedimiento que le mostré en esa función y vea si está normalizado.

Normalización de la suma de funciones de onda y cálculo de probabilidad: comprensión de conceptos

jessé

Ari Ben Canaán

jessé

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david z

jessé

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