Normalización de función propia de posición física

La ostensiblemente triste realidad es que tal$\psi_{x_o}$no es realmente una función propia de posición. Intente actuar sobre él con el operador de posición. simplemente no entiendes$x_o$veces la función de onda.

Dicho esto, hay formas importantes y significativas en las que es casi una función propia de posición. Observe que tal gaussiana es extremadamente estrecha para valores muy pequeños de$a$. Así puedes aproximar la multiplicación por$x$(que es la acción del operador de posición en la base de posición) por multiplicación por$x_o$. En los únicos lugares que importa (donde la función de onda no es excesivamente pequeña), la posición es casi $x_o$, por lo que no hace mucho daño solo pretender que realmente es$x_o$.

De hecho, cuando tomamos el límite$a \to 0$es un resultado exacto. El problema es que el estado se vuelve no normalizable en este caso. Claro, es una función delta, por lo que su área sigue siendo solo uno, pero el área debajo de su cuadrado absoluto, lo que realmente nos interesa, es infinita. Sin embargo, esto no debería molestarle demasiado, porque estos estados propios de posición verdadera (funciones delta en la base de posición) forman una base completa para el espacio de funciones de onda físicas. Cualquier tal estado$\psi(x)$se puede representar como una superposición de estados propios de posición:

Donde ahora$\psi_x(x')$representa el estado propio de la posición verdadera (no normalizable) en la posición x.

$\psi_{x_0}$es la función de onda del estado fundamental de un potencial armónico centrado en$x_0$con una curvatura elegida para que coincida$a=\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}$. Dado que los potenciales armónicos (aproximadamente) ocurren a menudo en sistemas reales, esto es "físico".