¿Por qué es necesario normalizar las funciones de onda? ¿Por qué no están normalizados para empezar? [duplicar]

Antes de empezar a estudiar mecánica cuántica, creía saber qué era la normalización. Solo sacando de Google, aquí hay una definición que coincide con lo que entendí que significa la normalización:

Normalización : multiplicar (una serie, función o elemento de datos) por un factor que hace que la norma o alguna cantidad asociada, como una integral, sea igual a un valor deseado (generalmente 1).

La mayoría de las veces he visto una normalización que se normaliza al 1 o al 100% o algo así. Por ejemplo, ¿poner las cosas en porcentajes no es una especie de normalización? Si realizo una prueba y obtengo 24/25 puntos, entonces "normalizo" esto diciendo que obtuve el 96 %. Eso es lo que entendí que era la normalización.

Por qué estoy confundido ahora

Desde que comencé a estudiar mecánica cuántica, me ha confundido el término normalización. Permítanme citar esta porción de Griffiths para ilustrar un ejemplo de cómo usa el término:

Volvamos ahora a la interpretación estadística de la función de onda, que dice que$|\Psi(x,t)|^2$es la densidad de probabilidad de encontrar la partícula en el punto$x$, en el momento$t$. Se sigue que la integral de$|\Psi|^2$debe ser 1 (la partícula tiene que estar en algún lugar.

$$\begin{equation} \int^{+\infty}_{-\infty} |\Psi(x,t)|^2 dx = 1 \end{equation}$$ Sin esto, la interpretación estadística no tendría sentido.

Sin embargo, este requisito debería molestarlo: después de todo, se supone que la función de onda está determinada por la ecuación de Schrödinger --- no podemos imponer una condición extraña en$\Psi$sin comprobar que los dos son consistentes. Bueno, un vistazo a [la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo] revela que si$\Psi(x,t)$es una solución, también lo es$A\Psi(x,t)$, dónde$A$es cualquier constante (compleja). Lo que debemos hacer, entonces, es elegir este factor multiplicativo indeterminado para asegurar$\int^{+\infty}_{-\infty} |\Psi(x,t)|^2 dx = 1$Está satisfecho. Este proceso se denomina normalización de la función de onda.

Tengo la idea de que necesitamos la distribución de probabilidad$\rho$ser 1 en todo el espacio de posiciones. Eso tiene sentido y es obvio. Entonces la integral tiene sentido. Pero no entiendo un par de cosas:

1. ¿Cómo era la función de onda antes de la normalización? ¿Por qué necesitaba ser normalizado en primer lugar? Para usar la analogía de mi prueba, ¿por qué la prueba no fue de 100 puntos para comenzar, en cuyo caso no sería necesaria la normalización? 96% serían 96 puntos.
2. por que si$\Psi(x,t)$es una solución, también lo es$A\Psi(x,t)$?

Quizás una respuesta podría comentar cómo mi definición inicial de normalización se relaciona con la normalización de la función de onda. Además, si te gusta escribir, agregar uno o dos comentarios sobre la normalización de Dirac sería genial.