Necesito ayuda para mostrar que esta función de onda de hidrógeno está normalizada

Question

Necesito ayuda para mostrar que esta función de onda de hidrógeno está normalizada

colina de persecución

Necesito verificar que la siguiente función de onda del átomo de hidrógeno

Ψ (X, y, z; t = 0) \equiv \frac{4}{(2 a)^{3 / 2}} [\frac{1}{\sqrt{4 π}} {mi}^{- r / a} + A \frac{r}{a} {mi}^{- r / (2 a)} (- i Y_{1}^{+ 1} + Y_{1}^{- 1} + \sqrt{7} Y_{1}^{0})]

$\Psi(x,y,z;t=0)\equiv\frac{4}{(2a)^{3/2}}\left[\frac{1}{\sqrt{4\pi}}e^{-r/a}+A\frac{r}{a}e^{-r/(2a)}\left(-iY_1^{+1}+Y_1^{-1}+\sqrt{7}Y_1^0\right)\right]$ se normaliza para

A = 1 / (12 \sqrt{6})

$A=1/(12\sqrt{6})$ .

Sé que esto implica mostrar que el producto interior de $\Psi$ consigo mismo es igual a 1, aunque llegar allí ha demostrado ser un desafío.

He intentado tanto conectar las definiciones de los armónicos esféricos y resolver la integral directamente (esto lleva a una gran cantidad de términos) como sustituyendo en $R_{nl}$ funciones radiales ( ~~pero esto deja el primer término como una función radial por sí solo~~ ).

Parece que el segundo método sería la forma prevista de abordar el problema, pero realmente me vendría bien un consejo en la dirección correcta.

Edito: lo olvidé $Y_0^0=\sqrt{1/4\pi}$ . Reemplazando esto en el primer término y masajeando los coeficientes para obtener $R_{nl}$ 's para ambos términos permite una representación de $\Psi$ en términos de hidrógeno $\psi_{nlm}$ funciones de onda

NickD

Utilice la ortonormalidad de los armónicos esféricos. Eso eliminará seis términos cruzados y simplificará tres más. Puedes deshacerte de cuatro términos más porque el

ϕ

$\phi$ integral de un armónico esférico con

m \neq 0

$m\ne 0$ desaparece Eso deja tres integrales para evaluar: dos de ellas son independientes de

θ

$\theta$ y

ϕ

$\phi$ y la otra es simple sobre los ángulos; eso deja solo las integraciones r que también son simples.

Respuestas (2)

Necesito ayuda para mostrar que esta función de onda de hidrógeno está normalizada

Utilice la ortonormalidad de los armónicos esféricos. Eso eliminará seis términos cruzados y simplificará tres más. Puedes deshacerte de cuatro términos más porque el $\phi$ integral de un armónico esférico con $m\ne 0$ desaparece Eso deja tres integrales para evaluar: dos de ellas son independientes de $\theta$ y $\phi$ y la otra es simple sobre los ángulos; eso deja solo las integraciones r que también son simples.

ZeroTheHero · Answer 1

La ortogonalidad de los armónicos esféricos eliminará los términos cruzados: $\int d\Omega Y_{\ell m}Y_{\ell m'}^* =\delta_{\ell\ell'}\delta_{mm'}$ por lo que su término con armónicos esféricos, sobre $\int d\Omega$ , Te regalaré $9\vert A\vert^2 r^2 e^{-r/a}/a^2$ .

Te quedas rápidamente con

\frac{8}{a^{3}} \int_{0}^{\infty} d r r^{2} ({mi}^{- 2 a / r} + | A |^{2} \frac{r^{2}}{a^{2}} {mi}^{- r / a} 9)

$\frac{8}{a^3} \int_0^\infty dr\, r^2 \left(e^{-2a/r} + \vert A\vert^2 \frac{r^2}{a^2}e^{-r/a}9 \right)$ donde el

1 / 4 π

$1/4\pi$ factor ha sido eliminado usando

\int d Ω = 4 π

$\int d\Omega=4\pi$ . El resto en integración por partes.

Editar Esta pregunta ya tiene su $\psi$ en la forma

ψ (r, θ, ϕ) = \sum_{norte ℓ metro} C_{norte ℓ metro} ψ_{norte ℓ metro} (r, θ, ϕ)

$\psi(r,\theta,\phi)=\sum_{n\ell m}c_{n\ell m} \psi_{n\ell m}(r,\theta,\phi)$ por lo que la normalización equivale a verificar que

\sum_{n ℓ m} | c_{n ℓ m} |^{2} = 1

$\sum_{n\ell m}\vert c_{n\ell m}\vert^2=1$ ya que las soluciones

ψ_{n ℓ m} (r, θ, ϕ)

$\psi_{n\ell m}(r,\theta,\phi)$ son ortogonales bajo integración

SAKhan · Answer 2

Multiplique esto con su complejo conjugado de la misma función e integre sobre todo el espacio ( $r\theta$ y $\phi$ ). Usar la propiedad de normalización de los armónicos esféricos y realizar la integración de $r$ coordenadas $0$ a $∞$ .

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NickD

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ZeroTheHero

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