Función propia del vector de onda [cerrado]

Estoy leyendo un libro, donde se dice que las funciones propias están dadas por

⟨ r | k ⟩ = 1 Ω mi i k ⋅ r

En primer lugar, ¿alguien puede explicarme cómo leer este término? ⟨ r | k ⟩ y por qué es función propia? Estoy acostumbrado a la notación de L | ψ ⟩ = yo | ψ ⟩ .

Mi segunda pregunta es ¿cómo obtener esta fórmula? Empecé con función propia para impulso

pag | ψ ⟩ = pag | ψ ⟩ − i ℏ d d r | ψ ⟩ = pag | ψ ⟩ d | ψ ⟩ | ψ ⟩ = i ℏ pag d r

Entonces como resultado obtengo

| ψ ⟩ = A Exp ⁡ ( i ℏ pag ⋅ r ) .

En primer lugar, traté de usar la relación pag = ℏ k , y obten

| ψ ⟩ = A Exp ⁡ ( i k ⋅ r )

Pero, ¿cómo debo normalizarlo? ¿La integral es igual a la delta de Dirac? d ( k − k ′ )? ¿Y hay alguna conexión entre mi | ψ ⟩ y ⟨ r | k ⟩ ?

Es común en la notación de Dirac etiquetar o enumerar los estados propios de un operador autoadjunto con sus respectivos valores propios. En el caso del operador momento: PAG | pag ⟩ = pag | pag ⟩ . Entonces en este sentido | ψ ⟩ = | pag ⟩ en tu caso. Como último punto, normalmente ⟨ X | ψ ⟩ ≡ ψ ( X ) denota la función de onda (en espacio pos.). OMI, la ecuación d d r | ψ ⟩ = … no tiene mucho sentido
Gracias, pero ¿por qué crees que no tiene mucho sentido?
Eche un vistazo a la respuesta dada; tienes que aplicar ⟨ X | desde la izquierda. En otras palabras, el operador de cantidad de movimiento actúa como un operador diferencial en la representación de posición.

Respuestas (2)

Las funciones propias del operador de cantidad de movimiento pag ^ o k ^ como tu tambien lo llamas son | k ⟩ con

pag ^ | k ⟩ = pag | k ⟩
Al aplicar el sostén de la posición. ⟨ r | obtienes la representación de posición de una función de onda | ψ ⟩ es decir ψ ( X ) = ⟨ r | ψ ⟩ . Por lo tanto ⟨ r | k ⟩ ∝ mi i k ⋅ r es la representación de posición de las funciones propias del operador de cantidad de movimiento.

Tenga en cuenta que una onda plana ψ ( X ) = mi i k X no es en sí mismo normalizable. Esto es resultado de la teoría de Fourier o el Principio de Incertidumbre de Heisenberg, porque esta función de onda tiene un momento definido pag entonces Δ pag = 0 . Para seguir siendo capaz de satisfacer HUP necesitas Δ X = ∞ .

Podría considerar abordar la pregunta sobre la normalización.

Tu notación es muy confusa. Si | ψ ⟩ es un vector propio de pag ^ expresión

pag ^ | ψ ⟩ = − i ℏ ∂ r | ψ ⟩
no puede tener sentido como | ψ ⟩ es un elemento del espacio abstracto de Hilbert y no sabe nada de r . Estás confundiendo el vector de estado abstracto. | ψ ⟩ con sus componentes en la base de posición ψ ( r ) ≡ ⟨ r | ψ ⟩ . Aquí | r ⟩ son los estados propios de r ^ :
r ^ | r ⟩ = r | r ⟩ .
son los componentes de | ψ ⟩ que componen la función de onda. La expresión correcta para la acción del operador de cantidad de movimiento es
⟨ r | pag ^ | ψ ⟩ = − i ℏ ∂ r ⟨ r | ψ ⟩
que muestra la acción del operador sobre la función de onda en la base de posición ψ ( r ) = ⟨ r | ψ ⟩ . Es la función de onda que toma la forma
ψ ( r ) ≡ ⟨ r | ψ ⟩ = mi i pag r / ℏ .

Gracias, entonces mi problema era una notación confusa y tengo que estudiar más sobre las representaciones. ¡Gracias!
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