¿Cómo cambiar un conmutador de supercargas SUSY en un anticonmutador?

Question

¿Cómo cambiar un conmutador de supercargas SUSY en un anticonmutador?

Física
conmutador
superálgebra
supersimetría
anticonmutador
Grassmann-números

Federico Tomás

Me gustaría entender un cálculo aparentemente bastante simple que verifica el cierre del álgebra de supersimetría a través del conmutador de 2 variaciones supersimétricas del tipo:

d ϕ = i (ϵ^{α} q_{α} + {\bar{q}}_{\dot{α}} {\bar{ϵ}}^{\dot{α}}) ϕ

$\delta \phi = i(\epsilon^\alpha Q_\alpha + \overline{Q}_\dot{\alpha} \overline{\epsilon}^\dot{\alpha})\phi$

dónde $Q_\alpha$ y $Q_\dot{\alpha}$ son los sobrealimentadores y $\phi$ es un campo escalar complejo. A continuación, el conmutador $[\delta_1,\delta_2]\phi$ se evalúa:

[d_{1}, d_{2}] ϕ = - [ϵ_{1}^{α} q_{α} + {\bar{q}}_{\dot{α}} {\bar{ϵ}}_{1}^{\dot{α}}, ϵ_{2}^{β} q_{β} + {\bar{q}}_{\dot{β}} {\bar{ϵ}}_{2}^{\dot{β}}] ϕ =

$[\delta_1,\delta_2]\phi =-[\epsilon^\alpha_1 Q_\alpha + \overline{Q}_\dot{\alpha} \overline{\epsilon}_1^\dot{\alpha},\epsilon_2^\beta Q_\beta + \overline{Q}_\dot{\beta} \overline{\epsilon}^\dot{\beta}_2]\phi =$

- ([ϵ_{1}^{α} q_{α}, ϵ_{2}^{β} q_{β}] + [ϵ_{1}^{α} q_{α}, {\bar{q}}_{\dot{β}} {\bar{ϵ}}_{2}^{\dot{β}}] + [{\bar{q}}_{\dot{α}} {\bar{ϵ}}_{1}^{\dot{α}}, ϵ_{2}^{β} q_{β}] + [{\bar{q}}_{\dot{α}} {\bar{ϵ}}_{1}^{\dot{α}}, {\bar{q}}_{\dot{β}} {\bar{ϵ}}_{2}^{\dot{β}}]) ϕ

$-\left( [\epsilon^\alpha_1 Q_\alpha, \epsilon^\beta_2 Q_\beta] +[\epsilon^\alpha_1 Q_\alpha, \overline{Q}_\dot{\beta} \overline{\epsilon}^\dot{\beta}_2] + [\overline{Q}_\dot{\alpha} \overline{\epsilon}^\dot{\alpha}_1, \epsilon_2^\beta Q_\beta ] + [\overline{Q}_\dot{\alpha} \overline{\epsilon}^\dot{\alpha}_1,\overline{Q}_\dot{\beta} \overline{\epsilon}^\dot{\beta}_2]\right)\phi$

Ahora supongo que los conmutadores $[\epsilon^\alpha_1 Q_\alpha, \epsilon^\beta_2 Q_\beta]$ y $[\overline{Q}_\dot{\alpha} \overline{\epsilon}^\dot{\alpha}_1,\overline{Q}_\dot{\beta} \overline{\epsilon}^\dot{\beta}_2]$ son cero.

En el papel (lamento no tener más la referencia) he visto el cálculo, sin embargo, los 2 conmutadores restantes se convierten en anti-conmutadores:

[d_{1}, d_{2}] ϕ = - (ϵ_{1}^{α} {q_{α}, {\bar{q}}_{\dot{β}}} {\bar{ϵ}}_{2}^{\dot{β}} - ϵ_{2}^{β} {q_{β}, {\bar{q}}_{\dot{α}}} {\bar{ϵ}}_{1}^{\dot{α}}) ϕ

$[\delta_1,\delta_2]\phi =-\left(\epsilon_1^\alpha \left\{Q_\alpha, \overline{Q}_\dot{\beta}\right\}\overline{\epsilon}_2^\dot{\beta}-\epsilon_2^\beta \left\{Q_\beta, \overline{Q}_\dot{\alpha}\right\}\overline{\epsilon}_1^\dot{\alpha}\right)\phi$

y con notación simplificada se obtiene lo siguiente( $P_\mu$ es el 4-vector de impulso):

[d_{1}, d_{2}] ϕ = - 2 (ϵ_{1} σ^{m} {\bar{ϵ}}_{2} {PAG}_{m} - ϵ_{2} σ^{m} {\bar{ϵ}}_{1} {PAG}_{m}) ϕ = 2 i (ϵ_{1} σ^{m} {\bar{ϵ}}_{2} - ϵ_{2} σ^{m} {\bar{ϵ}}_{1}) \partial_{m} ϕ

$[\delta_1,\delta_2]\phi =-2\left(\epsilon_1 \sigma^\mu\overline{\epsilon}_2 P_\mu- \epsilon_2 \sigma^\mu\overline{\epsilon}_1 P_\mu\right)\phi = 2i\left( \epsilon_1 \sigma^\mu\overline{\epsilon}_2 - \epsilon_2 \sigma^\mu\overline{\epsilon}_1\right)\partial_\mu\phi$

Entonces, en este cálculo, se muestra que el álgebra supersimétrica es cerrada, sin embargo, no tengo idea de cómo funciona el conmutador. $[\epsilon^\alpha_1 Q_\alpha, \overline{Q}_\dot{\beta} \overline{\epsilon}^\dot{\beta}_2]$ respectivamente $[\overline{Q}_\dot{\alpha} \overline{\epsilon}^\dot{\alpha}_1,\epsilon^\beta_2 Q_\beta ]$ se cambia a $\epsilon_1^\alpha \left\{Q_\alpha, \overline{Q}_\dot{\beta}\right\}\epsilon_2^\dot{\beta}$ respectivamente $-\epsilon_2^\beta \left\{Q_\beta, \overline{Q}_\dot{\alpha}\right\}\overline{\epsilon}_1^\dot{\alpha}$ .

En realidad es solo un problema algebraico (sin embargo, el álgebra SUSY es realmente complicado), sin embargo, para mí es particularmente curioso cómo un conmutador puede convertirse en un anticonmutador.

AccidentalFourierTransformar

Hola Frederic, ¿estás seguro de que tu primera ecuación es correcta? Si

Q

$Q$ denota una (super)carga genérica de Noether, entonces

δ ϕ \equiv i θ [Q, ϕ]

$\delta\phi\equiv i\theta[Q,\phi]$ , con un (super)conmutador. ¿Olvidaste escribir los corchetes? o es

Q

$Q$ ¿No es una (super)carga? Si es la derivada supercovariante, la notación estándar es

D, \bar{D}

$D,\bar D$ .

Respuestas (2)

¿Cómo cambiar un conmutador de supercargas SUSY en un anticonmutador?

Hola Frederic, ¿estás seguro de que tu primera ecuación es correcta? Si $Q$ denota una (super)carga genérica de Noether, entonces $\delta\phi\equiv i\theta[Q,\phi]$ , con un (super)conmutador. ¿Olvidaste escribir los corchetes? o es $Q$ ¿No es una (super)carga? Si es la derivada supercovariante, la notación estándar es $D,\bar D$ .

Oktay Dogangün · Answer 1

En realidad, en SUSY, solo hay un conmutador y se llama conmutador graduado o superconmutador , que se denota y define de la siguiente manera:

{A, B] = A B - (- 1)^{a b} B A

$\{ A, B ] = AB - (-1)^{ab} BA$ dónde

a

$a$ y

b

$b$ son los grados de

A

$A$ y

B

$B$ , respectivamente, que es

1

$1$ si el operador es fermiónico y

0

$0$ si es bosónico. Algunos libros de texto o documentos usan solo la notación [,] para conmutadores graduados.

Entonces, si incluso uno de $A$ o $B$ es bosónico, luego el conmutador graduado se reduce al conmutador habitual, de lo contrario se convierte en anti-conmutador. Esto significa que el álgebra es cerrada bajo las relaciones de conmutación graduadas de los generadores.

Tenga en cuenta que $\delta_i$ son bosónicos ya que términos como $\epsilon_i^\alpha Q_\alpha$ no son fermiónicos en su conjunto. Sin embargo, los conmutadores graduados satisfacen los axiomas de conmutación independientemente de sus argumentos. Entonces, para la propiedad de distribución de un conmutador graduado sobre la multiplicación, el resultado será nuevamente en términos de conmutadores graduados, incluso si los argumentos fueran operadores bosónicos. Uno puede cambiar los calificados a los habituales al final del cálculo, por supuesto.

qmecanico · Answer 2

La respuesta de Oktay Dogangun es exactamente correcta:

El único corchete de mentira relevante (graduado) es el superconmutador
$\begin{matrix} (1) & [A, B]_{S C} := A B - (- 1)^{| A | | B |} B A, \end{matrix}$ $[A,B]_{SC}~:=~AB-(-1)^{|A||B|}BA ,\tag{1}$ dónde $|A|$ y $|B|$ denote las paridades de Grassmann de $A$ y $B$ , respectivamente.
Es fácil comprobar que el superconmutador satisface un sesgo/antisimetría gradual
$\begin{matrix} (2) & [A, B]_{S C} = - (- 1)^{| A | | B |} [B, A]_{S C}, \end{matrix}$ $[A,B]_{SC}~=~-(-1)^{|A||B|}[B,A]_{SC}, \tag{2}$ una identidad jacobi graduada, $\begin{matrix} (3) & \sum_{A, B, C C y C yo .} (- 1)^{| A | | C |} [[A, B]_{S C}, C]_{S C} = 0, \end{matrix}$ $\sum_{A,B,C~{\rm cycl.}} (-1)^{|A||C|}[[A,B]_{SC},C]_{SC}~=~0, \tag{3}$ y una regla graduada de Leibniz $[A, B C]_{S C} = [A, B]_{S C} C + (- 1)^{| A | | B |} B [A, C]_{S C},$ $[A,BC]_{SC}~=~[A,B]_{SC}C+ (-1)^{|A||B|}B[A,C]_{SC},$ $\begin{matrix} (4) & [A B, C]_{S C} = A [B, C]_{S C} + [A, C]_{S C} B (- 1)^{| B | | C |} . \end{matrix}$ $[AB,C]_{SC}~=~A[B,C]_{SC}+ [A,C]_{SC}B(-1)^{|B||C|}. \tag{4}$
Ejemplo: Cuando reducimos un superconmutador $[A_1\ldots A_n,B_1 \ldots B_m]_{SC}$ con la ayuda de la regla graduada de Leibniz (4) obtenemos de nuevo $nm$ términos relacionados con superconmutadores $[A_i,B_j]_{SC}$ . Esto explica la observación de OP.

¿Cómo cambiar un conmutador de supercargas SUSY en un anticonmutador?

Federico Tomás

AccidentalFourierTransformar

Respuestas (2)

Oktay Dogangün

qmecanico

¿No se desvanece el conmutador de algo consigo mismo?

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