¿Por qué mi proceso de diferenciación (sustitución trigonométrica) no funciona?

Question

¿Por qué mi proceso de diferenciación (sustitución trigonométrica) no funciona?

cálculo
derivados
Matemáticas
trigonometría

tratando de ser bestial

Prólogo (puede pasar directamente a la sección "Problema" (en negrita) si lo desea) :

Primero, para mostrarle de qué manera (llamémoslo método de sustitución trigonométrica) estoy hablando y para mostrar que esta manera funciona, describiré los principios y luego haré cálculos matemáticos usando esa manera:

Principios básicos del método de sustitución trigonométrica:

Es aplicable cuando estamos derivando funciones trigonométricas inversas.
$x$ debe sustituirse por una relación trigonométrica que pueda contener todos los valores posibles de $x$ y eso facilitará la diferenciación. por ejemplo, en $\cos^{-1}(\sqrt{\frac{1+x}{2}})$ , $-1\leq x\leq1$ , por lo que se puede sustituir por $\cos\theta$ o $\sin\theta$ ; reemplazando con $\sin\theta$ no nos hace la vida más fácil, así que tenemos que sustituirlo por $\cos\theta$ . Del mismo modo, en $\tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)$ ( $-1<x\leq1$ ) y $\sin^{-1}\left(\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}\right)$ $(x\in(\infty,-\infty))$ , $x$ tiene que ser sustituido por $\cos\theta$ & $\tan\theta$ respectivamente.
Todas las matemáticas también se pueden hacer exclusivamente usando la regla de la cadena. Sin embargo, las matemáticas pueden volverse tediosas de esa manera.

Ejemplo

Diferenciar con respecto a $x$ : $\tan^{-1}\frac{4x}{\sqrt{1-4x^2}}.$

Diferenciación usando sustitución trigonométrica:

Dejar, $y=\tan^{-1}\frac{4x}{\sqrt{1-4x^2}}$ y $2x=\cos\theta\implies\theta=\cos^{-1}2x\ [\text{Assuming $\theta$ is within the principal range of $\arccos$}]$

Ahora,

y = {broncearse}^{- 1} \frac{4 X}{\sqrt{1 - 4 X^{2}}}

$y=\tan^{-1}\frac{4x}{\sqrt{1-4x^2}}$

y = {broncearse}^{- 1} \frac{2 porque θ}{\sqrt{1 - {porque}^{2} θ}}

$y=\tan^{-1}\frac{2\cos\theta}{\sqrt{1-\cos^2\theta}}$

y = {broncearse}^{- 1} 2 cuna θ

$y=\tan^{-1}2\cot\theta$

\frac{d y}{d X} = \frac{d}{d (2 cuna θ)} ({broncearse}^{- 1} 2 cuna θ) . \frac{d}{d (cuna θ)} (2 cuna θ) . \frac{d}{d θ} (cuna θ) . \frac{d}{d X} θ

$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{d(2\cot\theta)}(\tan^{-1}2\cot\theta).\frac{d}{d(\cot\theta)}(2\cot\theta).\frac{d}{d\theta}(\cot\theta).\frac{d}{dx}\theta$

. . .

$...$

\frac{d y}{d X} = \frac{4}{(12 X^{2} + 1) (\sqrt{1 - 4 X^{2})}}

$\frac{dy}{dx}=\frac{4}{(12x^2+1)(\sqrt{1-4x^2)}}$

Esta es la respuesta correcta . Podríamos haber tomado $2x=\sin\theta$ también y la respuesta hubiera sido la misma. Podríamos haber hecho los cálculos exclusivamente usando la regla de la cadena también.

Problema

Diferenciar con respecto a $x$ : $\sin^{-1}(2x\sqrt{1-x^2}).$

Intento 1

Dejar $y=\sin^{-1}(2x\sqrt{1-x^2})$ y $x=\sin\theta\implies\theta=\sin^{-1}x\ [\text{assuming $\theta$ is within the principal range of $\arcsin$}]$

y = {pecado}^{- 1} (2 X \sqrt{1 - X^{2}})

$y=\sin^{-1}(2x\sqrt{1-x^2})$

y = {pecado}^{- 1} (2 pecado θ porque θ)

$y=\sin^{-1}(2\sin\theta\cos\theta)$

y = {pecado}^{- 1} (pecado 2 θ)

$y=\sin^{-1}(\sin2\theta)$

\begin{matrix} (1) & y = 2 θ \end{matrix}

$y=2\theta\tag{1}$

y = 2 {pecado}^{- 1} X

$y=2\sin^{-1}x$

\frac{d y}{d X} = 2 \frac{1}{\sqrt{1 - X^{2}}}

$\frac{dy}{dx}=2\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Intento 2

Dejar $y=\sin^{-1}(2x\sqrt{1-x^2})$ y $x=\cos\theta\implies\theta=\cos^{-1}x\ [\text{assuming $\theta$ is within the principal range of $\arccos$}]$

y = {pecado}^{- 1} (2 X \sqrt{1 - X^{2}})

$y=\sin^{-1}(2x\sqrt{1-x^2})$

y = {pecado}^{- 1} (2 pecado θ porque θ)

$y=\sin^{-1}(2\sin\theta\cos\theta)$

y = {pecado}^{- 1} (pecado 2 θ)

$y=\sin^{-1}(\sin2\theta)$

\begin{matrix} (2) & y = 2 θ \end{matrix}

$y=2\theta\tag{2}$

y = 2 {porque}^{- 1} X

$y=2\cos^{-1}x$

\frac{d y}{d X} = - 2 \frac{1}{\sqrt{1 - X^{2}}}

$\frac{dy}{dx}=-2\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Curiosamente, obtenemos dos respuestas diferentes usando $x=\cos\theta$ & $x=\sin\theta$ , que no debería haber sido el caso. Más importante aún, ambas respuestas son incorrectas .

Preguntas:

¿Por qué no puedo diferenciar correctamente usando el método de sustitución trigonométrica?
En la gráfica de la derivada correcta y la derivada incorrecta encontrada usando $x=\sin\theta$ , hay una superposición entre los dos de $x=-0.707$ y $x=0.707$ . ¿Cuál es el significado del número $0.707$ , y ¿por qué está ocurriendo la superposición?
En la gráfica de la derivada correcta y la derivada incorrecta encontrada usando $x=\cos\theta$ , hay una superposición entre los dos de $x=-0.707$ a $x=-1$ en el eje y negativo y desde $x=0.707$ a $x=1$ en el eje y positivo. ¿Cuál es el significado del número $0.707$ , y ¿por qué está ocurriendo la superposición?

Mis observaciones:

Mi corazonada es que las líneas $(1)$ & $(2)$ estan equivocados. Sin embargo, no quiero explicar mi corazonada porque temo que pueda complicar las cosas innecesariamente. Esto podría ayudarlo a responder la pregunta: contiene las gráficas del problema original, la derivada incorrecta encontrada usando $x=\sin\theta$ , la derivada incorrecta encontrada usando $x=\cos\theta$ & la derivada correcta que se puede encontrar derivando exclusivamente usando la regla de la cadena.

lee mosher

En términos generales, debe prestar mucha atención a los dominios y rangos cuando trabaja con funciones inversas. Cuando el dominio y el rango son ciertos intervalos, y cuando su álgebra permite alegremente valores fuera de esos intervalos, entonces sus cálculos serán incorrectos.

david k

Considere lo que sucede en su primer intento si tomamos la convención de que si

x = \sin θ

$x = \sin\theta$ entonces

\sqrt{1 - x^{2}} = \pm \cos θ .

$\sqrt{1-x^2} = \pm\cos\theta.$ llevando el

\pm

$\pm$ a través, obtenemos

\pm 2 / \sqrt{1 - x^{2}},

$\pm 2/\sqrt{1-x^2},$ dos posibles valores de la derivada para cada

x

$x$ , de los cuales uno es correcto para cada

x \neq \pm 1 / \sqrt{2} .

$x\neq \pm1/\sqrt2.$ El segundo intento permite una técnica similar con el mismo resultado. No creo que la razón de esto sea tan obvia como podría parecer a primera vista, y aún se necesitan criterios para seleccionar el signo correcto, pero estos resultados me parecen curiosos.

martín leslie

Si nadie ha comentado esto todavía, podría ayudar a su comprensión notar que la expresión para la derivada dada por la calculadora de derivadas es

- \frac{4 x^{2} - 2}{\sqrt{1 - 4 x^{2} (1 - x^{2})} \sqrt{1 - x^{2}}}

$-\frac{4x^2-2}{\sqrt{1-4x^2(1-x^2)}\sqrt{1-x^2}}$ que se puede simplificar a

\frac{2}{\sqrt{1 - x^{2}}} \frac{1 - 2 x^{2}}{\sqrt{(1 - 2 x^{2})^{2}}}

$\frac{2}{\sqrt{1-x^2}} \frac{1-2x^2}{\sqrt{(1-2x^2)^2}}$ que es igual a

\frac{2}{\sqrt{1 - x^{2}}}

$\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}$ veces el signo de

1 - 2 x^{2}

$1-2x^2$ .

Respuestas (5)

¿Por qué mi proceso de diferenciación (sustitución trigonométrica) no funciona?

En términos generales, debe prestar mucha atención a los dominios y rangos cuando trabaja con funciones inversas. Cuando el dominio y el rango son ciertos intervalos, y cuando su álgebra permite alegremente valores fuera de esos intervalos, entonces sus cálculos serán incorrectos.
Considere lo que sucede en su primer intento si tomamos la convención de que si $x = \sin\theta$ entonces $\sqrt{1-x^2} = \pm\cos\theta.$ llevando el $\pm$ a través, obtenemos $\pm 2/\sqrt{1-x^2},$ dos posibles valores de la derivada para cada $x$ , de los cuales uno es correcto para cada $x\neq \pm1/\sqrt2.$ El segundo intento permite una técnica similar con el mismo resultado. No creo que la razón de esto sea tan obvia como podría parecer a primera vista, y aún se necesitan criterios para seleccionar el signo correcto, pero estos resultados me parecen curiosos.
Si nadie ha comentado esto todavía, podría ayudar a su comprensión notar que la expresión para la derivada dada por la calculadora de derivadas es $-\frac{4x^2-2}{\sqrt{1-4x^2(1-x^2)}\sqrt{1-x^2}}$ que se puede simplificar a $\frac{2}{\sqrt{1-x^2}} \frac{1-2x^2}{\sqrt{(1-2x^2)^2}}$ que es igual a $\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}$ veces el signo de $1-2x^2$ .

Dan Velleman · Answer 1

En primer lugar, su uso de $\theta$ debe ser aclarado. Esta es una nueva variable que está introduciendo, por lo que es su responsabilidad decir cuál es. Sería más claro decir "Vamos $\theta = \sin^{-1} x$ "; que especifica lo que $\theta$ medio. Ahora puedes aplicar la definición de $\sin^{-1}$ para concluir que $\sin\theta = x$ y $-\pi/2 \le \theta \le \pi/2$ . Entonces la restricción de $\theta$ al intervalo $[-\pi/2,\pi/2]$ no es una suposición; está implícito en la definición de $\theta$ .

Algunas respuestas han cuestionado tu ecuación. $\sqrt{1-\sin^2\theta} = \cos\theta$ , pero esa ecuación es correcta, porque $-\pi/2 \le \theta \le \pi/2$ .

El error es de dónde vas $y = \sin^{-1}(\sin 2\theta)$ a $y = 2\theta$ . En general no es cierto que $\sin^{-1}(\sin \alpha) = \alpha$ . Aquí es cómo arreglar ese paso: $y = \sin^{-1}(\sin 2\theta)$ medio $\sin y = \sin 2\theta$ y $-\pi/2 \le y \le \pi/2$ . En otras palabras: $y$ es el ángulo en el rango $-\pi/2 \le y \le \pi/2$ cuyo pecado es el mismo que el pecado de $2\theta$ . Si $-\sqrt{2}/2 \le x \le \sqrt{2}/2$ entonces $-\pi/4 \le \theta \le \pi/4$ , entonces $-\pi/2 \le 2\theta \le \pi/2$ , y en ese caso es correcto decir que $y = 2\theta$ . Pero fuera de ese rango, no será cierto que $y = 2\theta$ . Si $\sqrt{2}/2 < x \le 1$ , entonces $\pi/4 < \theta \le \pi/2$ , entonces $\pi/2 < 2\theta \le \pi$ . Encontrar $y$ , hay que preguntarse: para qué $y$ en el intervalo $[-\pi/2, \pi/2]$ tenemos $\sin y = \sin 2\theta$ ? La respuesta es $y = \pi - 2\theta$ . Del mismo modo, si $-1 \le x < -\sqrt{2}/2$ entonces obtienes $y = -\pi-2\theta$ . Así que la fórmula correcta para $y$ es:

y = 2 {pecado}^{- 1} X si - \sqrt{2} / 2 \leq X \leq \sqrt{2} / 2,

$y = 2 \sin^{-1} x \quad \text{if } -\sqrt{2}/2 \le x \le \sqrt{2}/2,$

y = π - 2 {pecado}^{- 1} X si \sqrt{2} / 2 < X \leq 1,

$y = \pi - 2 \sin^{-1} x \quad \text{if } \sqrt{2}/2 < x \le 1,$

y = - π - 2 {pecado}^{- 1} X si - 1 \leq X < - \sqrt{2} / 2.

$y = -\pi - 2 \sin^{-1} x \quad \text{if } -1 \le x < -\sqrt{2}/2.$ Ahora puedes diferenciar y obtener:

\frac{d y}{d X} = \frac{2}{\sqrt{1 - X^{2}}} si - π / 2 < X < π / 2,

$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{\sqrt{1-x^2}} \quad \text{if } -\pi/2 < x < \pi/2,$

\frac{d y}{d X} = - \frac{2}{\sqrt{1 - X^{2}}} si - 1 < X < - \sqrt{2} / 2 o \sqrt{2} / 2 < X < 1.

$\frac{dy}{dx} = -\frac{2}{\sqrt{1-x^2}} \quad \text{if } -1 < x < -\sqrt{2}/2 \text{ or } \sqrt{2}/2 < x < 1.$ La función no es derivable en

x = \pm \sqrt{2} / 2

$x = \pm \sqrt{2}/2$ . Por cierto,

\sqrt{2} / 2 \approx 0.707

$\sqrt{2}/2 \approx 0.707$ . Eso explica el significado de ese número.

ryang · Answer 2

Dejar $y=\sin^{-1}(2x\sqrt{1-x^2})\,$ y $x=\sin\theta\implies\theta=\sin^{-1}x\\ [\text{assuming $\theta$ is within the principal range of $\arcsin$}]$

Este fragmento fue confuso de leer porque usaste el símbolo $\implies$ cuando en realidad quisiste decir 'por lo tanto': escribiste "Deja $P$ y $[(A$ y $Q){\implies}R]$ ” pero en realidad querías decir “Deja que $P$ y $A$ y $Q$ ; de este modo, $R$ ”, que no es equivalente.

O, de manera equivalente, simplemente escriba "Let $y=\sin^{-1}(2x\sqrt{1-x^2})$ y $\theta=\sin^{-1}x.$ Tenga en cuenta que esto impone implícitamente esa restricción de rango principal.

En general, si deseamos invertir más tarde una sustitución, entonces queremos que la sustitución sea biyectiva.

$\begin{matrix} (1) & y = {pecado}^{- 1} (pecado 2 θ); ∴ y = 2 θ \end{matrix}$ $y=\sin^{-1}(\sin2\theta);\;\;\therefore y=2\theta\tag{1}$

$\begin{matrix} (2) & y = {pecado}^{- 1} (pecado 2 θ); ∴ y = 2 θ \end{matrix}$ $y=\sin^{-1}(\sin2\theta);\;\;\therefore y=2\theta\tag{2}$

Mi corazonada es que las líneas $(1)$ & $(2)$ estan equivocados.

En cada intento, el rango principal de la sustitución especificada permite $2\theta$ ser $\displaystyle\frac34\pi;$ conectar este valor muestra inmediatamente que los pasos $(1)$ y $(2)$ no son válidos De hecho, son los únicos pasos en falso a lo largo de los dos intentos.

Anexo : Esta es una repetición del mismo problema en su pregunta anterior , cuyo error crítico de la solución sugerida (el paso inválido que descartó las soluciones) fue la aplicación de la misma identidad falsa

arcsen (pecado 2 θ) \equiv 2 θ

$\arcsin(\sin2\theta) \equiv 2\theta$ ¡como anteriormente!

$y = {pecado}^{- 1} (2 X \sqrt{1 - X^{2}}); ∴ y = {pecado}^{- 1} (2 pecado θ porque θ)$ $y=\sin^{-1}(2x\sqrt{1-x^2});\;\;\therefore y=\sin^{-1}(2\sin\theta\cos\theta)$

Tenga en cuenta que en ambos intentos, este paso es válido : en el intento 1, $|\cos \theta|\equiv\cos \theta$ en el rango principal especificado, mientras que en el intento 2, $|\sin \theta|\equiv\sin \theta$ en el rango principal especificado.

usuario824530 · Answer 3

El error no es con la parte derivada sino con la parte donde escribiste

$y=\sin^{-1}(2x\sqrt{1-x^2})=2\sin^{-1}x$

Asumiste que $\sqrt{1-\sin^2(\theta)}=\cos\theta$ pero el resultado correcto es $\sqrt{1-\sin^2(\theta)}=|\cos\theta|$

Y como Asher señaló $sin^{-1}(\sin x)=\neq x \forall x$

También $\sin^{-1}(\sin2\theta)=2\theta$ no siempre es verdad

Gábor Palovics · Answer 4

La ecuacion $\sqrt{1 - \sin^2x} = \cos x$ solo vale si $\cos x$ es positivo, igualmente cierto para sen-cos conmutado, por lo que en realidad tienes $\sqrt{1 - \sin^2x} = \pm \cos x$ dependiendo del valor de $x$ . Ahora $\sin^{-1}$ es una función impar, por lo que en caso $\sin x = \theta$ y $\sqrt{1 - \sin^2x} = - \cos x$ , tenemos:

y = {pecado}^{- 1} (2 X \sqrt{1 - X^{2}}) = - 2 θ

$y=\sin^{-1}(2x\sqrt{1-x^2}) = -2\theta$

eric torres · Answer 5

{pecado}^{- 1} pecado (2 θ) = ({2 θ + 2 π k ∣ k \in Z} \cup {π - 2 θ + 2 π k ∣ k \in Z}) \cap [- π / 2, π / 2],

$\sin^{-1}\sin(2\theta) = \left( \{2\theta + 2 \pi k \mid k \in \Bbb{Z}\} \cup \{\pi - 2\theta + 2 \pi k \mid k \in \Bbb{Z}\} \right) \cap [-\pi/2, \pi/2] \text{,}$ que es solo

2 θ

$2\theta$ cuando

2 θ

$2 \theta$ está en el rango de arcoseno,

[- π / 2, π / 2]

$[-\pi/2, \pi/2]$ . De lo contrario,

2 θ

$2\theta$ es el ángulo en el cuadrante 2 o 3 que tiene el mismo seno, o es algún otro ángulo coterminal de uno de estos dos ángulos.

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¿No está mi libro equiparando erróneamente sin2x−cos2xsinxcosxsin2x+cos2xsinxcosxsin2⁡x−cos2⁡xsin⁡xcos⁡xsin2⁡x+cos2⁡xsin⁡xcos⁡x\frac{\frac{\sin^2x-\cos^2x}{\ sin x\cos x}}{\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin x\cos x}} y −cos2x−cos⁡2x-\cos2x?

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