No entiendo la discontinuidad en el campo eléctrico a través de una superficie.

Esa fórmula se refiere a lo que sucede cuando las cargas superficiales se sumergen en un campo eléctrico externo y desea saber qué sucede con el$total$campo eléctrico en la frontera. Tienes un campo de las cargas superficiales.$\pm E^s =\frac{\sigma}{2\epsilon_0 }$dónde$\pm$muestra si "abajo" o "arriba", y deja que un campo externo$E^x$ser perpendicular al plano de las cargas superficiales. Luego a un lado del avión$E^x-E^s$mientras que del otro lado tienes$E^x+E^s$y la diferencia de los dos, es decir, la discontinuidad de salto a través del aislador del componente normal del total$\mathbf{E}$el campo es exactamente$2E^s=\sigma/\epsilon_0$.

Entonces, ¿no significará eso que la componente perpendicular del campo eléctrico por encima y por debajo de la superficie se sumaría en lugar de restarse?

No. Deje que la carga superficial se ubique en$z=0$, el área de las superficies superior e inferior del pastillero gaussiano sea$A$, y el campo eléctrico inmediatamente por encima y por debajo de la superficie sea$\mathbf E_1$y$\mathbf E_2$. En el límite, cuando la altura vertical de la caja tiende a cero, el flujo a través de las paredes laterales tiende a cero, por lo que el flujo total hacia afuera es

que es igual a$\sigma A/\epsilon_0$por la ley de Gauss. Por lo tanto,

¿No es de la misma manera que obtenemos que el campo eléctrico para un plano con carga infinita es sigma/2*epsilon?

No. Esta derivación es la siguiente. Primero, asumimos simetría traslacional y rotacional en el$x$y$y$direcciones - esto implica en particular que el campo eléctrico sólo tiene una$z$componente. A continuación, asumimos simetría de reflexión a través de la$z=0$avión. Esto implica que el campo eléctrico por encima de la$z=0$plano es la imagen especular del campo eléctrico debajo de él.

Poniendo esto junto, podemos hacer un pastillero gaussiano que no es infinitesimalmente delgado en la dirección vertical, siempre que se extienda la misma distancia por encima$z=0$como debajo de ella. Debido a que el campo eléctrico es puramente vertical, el único flujo es a través de las superficies superior e inferior. Debido a la simetría de inversión, contribuyen precisamente en la misma cantidad:$\Phi_E = EA + (-E)(-A) = 2EA$. De aquí, la ley de Gauss da que

Estas dos derivaciones difieren porque en el último caso suponemos (i) que el campo eléctrico es vertical, (ii) que el campo eléctrico es invariante bajo traslaciones y rotaciones en el$xy$plano, y (iii) que el campo eléctrico tiene simetría de espejo a través de$z=0$. En un caso general, ninguna de estas cosas será cierta, así que lo mejor que podemos hacer es demostrar cómo salta la componente perpendicular del campo eléctrico cuando cruzas$z=0$. Tenga en cuenta que si asume la simetría del espejo (por lo que$E_{2z} = -E_{1z}$), recupera el resultado familiar para un plano infinito de densidad de carga uniforme.