¿Existe una derivación "más rigurosa" de las condiciones de contorno electrostáticas?

Hoy creo que puedo responder la pregunta yo mismo, y considerando el renovado interés en ella, lo haré. Si se encuentra algo erróneo, los comentarios son bienvenidos.

El motivo de la pregunta es que Griffiths fue impreciso, dio la idea de la demostración, pero no los detalles de rigor matemático. Primero, planteemos mejor cuál es el resultado que queremos probar:

Teorema: Sea$\mathbf{E}$ser un campo electrostático, es decir, en particular obedecer la ley de Gauss en forma integral. Dejar$S\subset \mathbb{R}^3$ser una superficie cargada con carga superficial$\sigma : S\to \mathbb{R}$y con normalidad$\mathbf{n}_0 : S\to T\mathbb{R}^3$. Entonces sí$p\in S$se mantiene

$$\lim_{\epsilon\to 0}\mathbf{E}(p+\epsilon \mathbf{n}_0(p))\cdot \mathbf{n}_0(p)-\mathbf{E}(p-\epsilon \mathbf{n}_0(p))\cdot\mathbf{n}_0(p)=\dfrac{\sigma(p)}{\epsilon_0}.$$

Vamos a mostrar esto usando la idea de Griffith, pero completando los detalles. Primero construyamos el "pastillero gaussiano delgado como una oblea" y usemos la ley de Gauss.

Llevar$p\in S$un punto en la superficie. Dejar$\mathbf{n}_0 : S\to T\mathbb{R}^3$Sea el campo vectorial normal de la superficie. Entonces deja$U\subset S$estar abierto conteniendo$p$, y considere el siguiente conjunto de puntos de$\mathbb{R}^3$

$$\mathcal{D}_U(\epsilon)=\{q\in \mathbb{R}^3 : q = q_0 + \lambda \mathbf{n}(q_0),\quad q_0\in U,\lambda \in [-\epsilon,\epsilon]\}$$

En otras palabras: elige un barrio de$p$en la superficie. Tomar cada punto del barrio y "salir de$S$de él" en ambas direcciones. Este es el "fortín gaussiano".

definir también$\mathcal{D}_U^\lambda(\epsilon)$ser el subconjunto de$\mathcal{D}_U(\epsilon)$correspondiente a una determinada$\lambda\in [-\epsilon,\epsilon]$. Debe quedar claro que el área satisface$A(\mathcal{D}_U^\lambda(\epsilon))=A(U)$.

Ahora,$\mathcal{D}_U(\epsilon)$es un volumen tridimensional con un límite$\partial \mathcal{D}_U(\epsilon)$. Analicemos su límite. Por construcción, su límite se puede dividir en tres partes

$$\partial \mathcal{D}_U(\epsilon)= \mathcal{D}_U^\epsilon(\epsilon)\cup \mathcal{D}_U^{-\epsilon}(\epsilon)\cup \mathcal{W}_U(\epsilon)$$

los términos primero y segundo son respectivamente las tapas superior e inferior y el tercero,$\mathcal{W}_U(\epsilon)$es el muro formado por la selección de la línea que delimita$U$y moviéndola hacia arriba y hacia abajo. la pared tiene area$A(\mathcal{W}_U(\epsilon))=2\ell\epsilon$, dónde$\ell$es la longitud de la curva que delimita$U$.

Reuniéndolos y recordando la única carga dentro de$\mathcal{D}_U(\epsilon)$es que uno de la superficie, la ley de Gauss

$$\int_{\partial \mathcal{D}_U(\epsilon)} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{a}=\dfrac{1}{\epsilon_0}\int_{U} \sigma dA$$

puede reformularse como

$$\int_{\partial \mathcal{D}_U^\epsilon(\epsilon)}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{a}+\int_{\partial \mathcal{D}_U^{-\epsilon}(\epsilon)} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{a} + \int_{\mathcal{W}_U(\epsilon)}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{a}=\dfrac{1}{\epsilon_0}\int_U \sigma dA.$$

Ahora aplicamos el teorema del valor medio para integrales en ambos lados. Esto produce$p^\pm \in \mathcal{D}_U^{\pm \epsilon}(\epsilon)$en los párpados superior/inferior,$q\in \mathcal{W}_U(\epsilon)$y$p'\in U$tal que la ecuación se convierte en

$$\mathbf{E}(p^+)\cdot \mathbf{n}_0(p^+) A(\mathcal{D}_U^{\epsilon}(\epsilon))-\mathbf{E}(p^-)\cdot \mathbf{n}_0(p^-) A(\mathcal{D}_U^{-\epsilon}(\epsilon))+\mathbf{E}(q)\cdot \mathbf{n}_W(q) A(\mathcal{W}_U^{\epsilon}(\epsilon))=\dfrac{\sigma(p')}{\epsilon_0}A(U).$$

donde hemos usado que las normales de$\mathcal{D}_U^{\pm \epsilon}(\epsilon)$son solo$\mathbf{n}_0$copiado, y con la dirección invertida en la tapa inferior, y la normal de la pared es$\mathbf{n}_W$. Insertar lo que sabemos sobre las áreas da

$$\mathbf{E}(p^+)\cdot \mathbf{n}_0(p^+) A(U)-\mathbf{E}(p^-)\cdot \mathbf{n}_0(p^-) A(U)+\mathbf{E}(q)\cdot \mathbf{n}_W(q) 2\ell \epsilon =\dfrac{\sigma(p')}{\epsilon_0}A(U).$$

finalmente tomando$\epsilon\to 0$rendimientos

$$\lim_{\epsilon \to 0} \mathbf{E}(p^+)\cdot \mathbf{n}_0(p^+) -\mathbf{E}(p^-)\cdot \mathbf{n}_0(p^-) =\dfrac{\sigma(p')}{\epsilon_0}.$$

Ahora observe que desde$p^{\pm} \in \mathcal{D}^{\pm \epsilon}_U(\epsilon)$debe ser$p^+ = p_0 + \epsilon \mathbf{n}_0(p_0)$y$p^- = p_0' - \epsilon \mathbf{n}_0(p_0')$. Esto a su vez da un resultado

$$\lim_{\epsilon \to 0} \mathbf{E}(p_0 + \epsilon \mathbf{n}_0(p_0))\cdot \mathbf{n}_0(p_0) -\mathbf{E}(p_0' - \epsilon \mathbf{n}_0(p_0'))\cdot \mathbf{n}_0(p_0') =\dfrac{\sigma(p')}{\epsilon_0}.$$

hasta ahora nos ha quedado$U$arbitraria y, por lo tanto, vale para cualquiera de tales$U$. Considere ahora$U = B(p,1/n) \cap S$la bola abierta centrada en$p$de radio$1/n$. Los resultados dependerán de$n$por supuesto. Así tendremos$p_0 = x_n$,$p_0' = y_n$y$p' = z_n$. La ecuación entonces se convierte en

$$\lim_{\epsilon \to 0} \mathbf{E}(x_n + \epsilon \mathbf{n}_0(p_0))\cdot \mathbf{n}_0(x_n) -\mathbf{E}(y_n - \epsilon \mathbf{n}_0(y_n))\cdot \mathbf{n}_0(y_n) =\dfrac{\sigma(z_n)}{\epsilon_0}.$$

finalmente tomar$n\to \infty$reduciéndose a$p$. Desde$x_n,y_n,z_n\in B(p,1/n)$todas estas secuencias convergen a$p$. Suponiendo suavidades de todo para poder intercambiar los límites, obtenemos el resultado

$$\lim_{\epsilon \to 0} \mathbf{E}(p + \epsilon \mathbf{n}_0(p))\cdot \mathbf{n}_0(p) -\mathbf{E}(p- \epsilon \mathbf{n}_0(p))\cdot \mathbf{n}_0(p) =\dfrac{\sigma(p)}{\epsilon_0},$$

como queríamos demostrar.