Refracción de las líneas de campo eléctrico, en la interfaz de separación entre dos medios conductores

Supongamos que tenemos 2 medios con parámetros eléctricos${\varepsilon _1},\,{\sigma _1}$, respectivamente${\varepsilon _2},\,{\sigma _2}$, separados por la superficie plana$\Sigma$; densidad superficial de carga eléctrica en$\Sigma$es${\rho _s} = 0$.Denotamos por$\overrightarrow {{E_1}} ,\,\overrightarrow {{E_2}}$los vectores de campo eléctrico en los dos entornos, y por$\overrightarrow {{J_1}} ,\,\overrightarrow {{J_2}}$la densidad de corriente correspondiente, con${J_1} = {\sigma _1} \cdot {E_1}$y${J_2} = {\sigma _2} \cdot {E_2}$. Dejar${\alpha _1},\,{\alpha _2}$ser los ángulos entre la normal n en la superficie$\Sigma$y los vectores$\overrightarrow {{E_1}} ,\,\overrightarrow {{E_2}}$.

Asumiendo las condiciones de frontera${E_{t1}} = {E_{t2}} , {D_{n1}} = {D_{n2}}$, obtenemos la condición de refracción de las líneas de campo eléctrico${\varepsilon _1} \cdot tg\left( {{\alpha _2}} \right) = {\varepsilon _2} \cdot tg\left( {{\alpha _1}} \right)$.

Asumiendo las condiciones de frontera${E_{t1}} = {E_{t2}} , {J_{n1}} = {J_{n2}}$, obtenemos la condición refractiva del campo eléctrico${\sigma _1} \cdot tg\left( {{\alpha _2}} \right) = {\sigma _2} \cdot tg\left( {{\alpha _1}} \right)$; la condición de contorno${J_{n1}} = {J_{n2}}$se obtiene de la ecuación de continuidad de la corriente eléctrica.

porque los valores de${\varepsilon _1},\,{\sigma _1}$y${\varepsilon _2},\,{\sigma _2}$son parámetros materiales arbitrarios, esto produce diferentes valores del ángulo de refracción del campo eléctrico para las dos condiciones límite establecidas. ¿Cuál es la explicación de esta paradoja?