Representación espectral de la corriente de Dirac

Estoy leyendo el libro de Strocchi sobre Los fundamentos no perturbadores de la teoría cuántica de campos.

En el capítulo relativo a la regularización por división de puntos, donde la corriente de Dirac libre se define de la siguiente manera

$$j_\mu(x)\equiv \lim_{\epsilon\to0}\left[\bar\psi(x+\epsilon)\gamma_\mu\psi(x)-\langle\bar\psi(x+\epsilon)\gamma_\mu\psi(x)\rangle\right]$$ para dar un significado preciso al producto de dos distribuciones evaluadas en el mismo punto, existe la siguiente afirmación sobre las propiedades espectrales de la función de conmutador actual: $$\langle[j_\mu(x),j_\nu(y)]\rangle = (\Box g_{\mu\nu}-\partial_\mu\partial_\nu)\int d\rho(\mu^2) i\Delta(x-y;\mu^2)$$ donde el $i\Delta(x-y;\mu^2)$es la función conmutadora de un campo escalar libre o masa $\mu$, y $$\rho(\mu^2)= \frac{1}{3(2\pi)^2}\sqrt{1-\frac{4m^2}{\mu^2}}\left(1+\frac{2m^2}{\mu^2}\right).$$ La sugerencia es calcular este espectro insertando un conjunto completo de estados de pares electrón-positrón. ¿Cómo puedo hacer esto?

Intenté insertarlos en la función de 2 puntos obteniendo: (mantengo la etiqueta de giro implícita en la suma sobre el conjunto completo)

$$\langle j_\mu(x) j_\nu(y)\rangle= \int d\mu^2 \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3}\frac{1}{2\omega_\mu(\mathbf{k})} \langle j_\mu(x)|\mathbf{k};\mu^2\rangle\langle\mathbf{k};\mu^2| j_\nu(y)\rangle=\\ =\int d\mu^2 \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3}\frac{1}{2\omega_\mu(\mathbf{k})}e^{-ik\cdot(x-y)} \langle j_\mu(0)|\mathbf{k};\mu^2\rangle\langle\mathbf{k};\mu^2| j_\nu(0)\rangle$$ ahora, puedo considerar un impulso de Lorentz $\Lambda_\mathbf{k}$tal que nos lleva al marco de reposo del estado de una sola partícula $|\mathbf{k};\mu^2\rangle$: $U(\Lambda_\mathbf{k})|\mathbf{k};\mu^2\rangle=|\mathbf{0};\mu^2\rangle$, y por covarianza de la corriente (vectorial) $j_\mu$tenemos $$\langle j_\mu(x) j_\nu(y)\rangle= \int d\mu^2 \langle j_\rho(0)|\mathbf{0};\mu^2\rangle\langle\mathbf{0};\mu^2| j_\lambda(0)\rangle \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3}\frac{1}{2\omega_\mu(\mathbf{k})}e^{-ik\cdot(x-y)}(\Lambda_\mathbf{k})^\rho_\mu(\Lambda_\mathbf{k})^\lambda_\nu.$$ Suponiendo que la estructura anterior es correcta, ya que el operador diferencial $\Box g_{\mu\nu}-\partial_\mu\partial_\nu$está dictada por la covarianza de Lorentz y la conservación actual, de hecho tenemos: $$\langle j_\mu(x) j_\nu(y)\rangle=(\Box g_{\mu\nu}-\partial_\mu\partial_\nu)\int d\rho(\mu^2) i\Delta^+(x-y;\mu^2)=\\ =(\Box g_{\mu\nu}-\partial_\mu\partial_\nu)\int d\rho(\mu^2) \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3}\frac{1}{2\omega_\mu(\mathbf{k})}e^{-ik\cdot(x-y)}=\\ =\int d\rho(\mu^2) \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3}\frac{-\mu^2 g_{\mu\nu}+k_\mu k_\nu}{2\omega_\mu(\mathbf{k})}e^{-ik\cdot(x-y)}$$ y trazando e igualando ambas expresiones obtenemos, ya que $\Lambda_\mu^\rho g^{\mu\nu}\Lambda_\nu^\lambda=g^{\rho\lambda}$: $$\rho(\mu^2)=-\frac{g^{\rho\lambda}}{3\mu^2}\langle j_\rho(0)|\mathbf{0};\mu^2\rangle\langle\mathbf{0};\mu^2| j_\lambda(0)\rangle.$$ Mi problema está aquí: el elemento de la matriz. $$\langle j_\rho(0)|\mathbf{0};\mu^2\rangle$$ parece desaparecer de manera idéntica ya que hay tres operadores de aniquilación/creación en un valor de expectativa de vacío. ¿Qué me perdí?

(EDITAR)

Ok, supongo que debo sumar los estados intermedios de partículas y antipartículas y no solo los estados de partículas individuales, lo que hace que el vev desaparezca de manera idéntica.

Indicando el elemento de espacio de fase invariante como

$$\int d\Pi(\mathbf{k})\equiv\int \frac{d^3k}{(2\pi)^3}\frac{1}{2\omega_m(\mathbf{k})}$$ obtenemos, dejando $\mathbf{k}$y $\mathbf{p}$ser el momento respectivamente de electrón y positrón y $q^2$el cuadrado del centro de masa energía $$\langle j_\mu(x) j_\nu(y)\rangle= \int dq^2 \int d\Pi(\mathbf{k})\int d\Pi(\mathbf{p}) \langle j_\mu(x)|\mathbf{k},\mathbf{p};q^2\rangle\langle\mathbf{k},\mathbf{p};q^2| j_\nu(y)\rangle$$ ahora, puedo considerar un impulso de Lorentz $\Lambda$que nos lleva al marco del centro de masa del estado partícula-antipartícula y por covarianza de la corriente (vectorial) $j_\mu$tenemos $$\langle j_\mu(x) j_\nu(y)\rangle= \int dq^2 \langle j_\rho(0)|\mathbf{p},-\mathbf{p};q^2\rangle\langle\mathbf{p},-\mathbf{p};q^2| j_\lambda(0)\rangle \frac{|\mathbf{p}|}{(2\pi)^24E_{CM}} \int \frac{d^3P}{(2\pi)^3}\frac{1}{2\omega_m(\mathbf{P})}e^{-iP\cdot(x-y)}(\Lambda)^\rho_\mu(\Lambda)^\lambda_\nu,$$ donde hemos realizado una simplificación en la integral de espacio de fase de 2 cuerpos (Peskin, página 107), aunque no estoy seguro de cómo deshacerme de la integración sobre un ángulo sólido $d\Omega$, que suele entrar en la definición de sección transversal.

Al rastrear con$g^{\rho\lambda}$obtenemos, comparando con la expresión general anterior para la función de 2 puntos:

$$\rho(q^2)=-\frac{1}{3q^2}\frac{|\mathbf{p}|}{(2\pi)^24E_{CM}}\langle j_\rho(0)|\mathbf{p},-\mathbf{p};q^2\rangle\langle\mathbf{p},-\mathbf{p};q^2| j^\rho(0)\rangle;$$ con un poco de álgebra de Dirac: dejando $p_1=(\omega(\mathbf{p}),\mathbf{p})$, $p_2=(\omega(\mathbf{p}),-\mathbf{p})$ $$\langle j_\rho(0)|\mathbf{p},-\mathbf{p};\mu^2\rangle\langle\mathbf{p},-\mathbf{p};\mu^2| j^\rho(0)\rangle=-\text{Tr}\left[(\hat p_1+m)\gamma_\rho(\hat p_2-m)\gamma^\rho\right]=-8(2m^2+p_1\cdot p_2)$$ y desde $$|\mathbf{p}|=\sqrt{\omega(\mathbf{p})^2-m^2}=\frac{E_{CM}}{2}\sqrt{1-\frac{4m^2}{q^2}}$$ obtenemos $$\rho(q^2)=-\frac{1}{3q^2}\frac{\frac{E_{CM}}{2}\sqrt{1-\frac{4m^2}{q^2}}}{(2\pi)^24E_{CM}}[-8(2m^2+p_1\cdot p_2)]=\frac{1}{6(2\pi)^2}\sqrt{1-\frac{4m^2}{q^2}}\left(\frac{2m^2}{q^2}+1\right)$$ que se ve bien aparte del factor extra 2 en el denominador.