Newton como el primero en establecer el análisis numérico como un nuevo campo de estudio

Estaba leyendo sobre la historia del Método de Newton. Newton usó una ecuación cúbica, X 3 − 2 X − 5 = 0 , para mostrar la eficacia de su método alrededor de 1670. Me preguntaba por qué Newton elegiría esta ecuación cúbica deprimida en particular, uno podría haber usado la fórmula de Cardano ya existente , un método analítico/simbólico, para ecuaciones cúbicas deprimidas para obtener el verdadero valor de X . Hay dos raíces adicionales de la ecuación cúbica dada que son complejas y los números complejos no habían entrado en la corriente principal en ese momento.

Parece que Newton estaba más interesado en encontrar una forma alternativa de resolver problemas y, por lo tanto, decidió usar una ecuación que se pudiera resolver usando otro método existente. Anteriormente, las técnicas numéricas se usaban más de manera ad hoc o por necesidad: o la solución no se podía obtener usando técnicas simbólicas o carecían de las herramientas matemáticas adecuadas en ese momento para llegar a una fórmula simbólica. En este sentido, se podría considerar a Newton como el primero o uno de los pioneros que sentó las bases del análisis numérico, el "nuevo análisis", como un enfoque alternativo.

¿Estás de acuerdo conmigo hasta cierto punto? Agradecería si pudieras corregirme.

Posteriormente, en 1687 en su libro Philosophiae NaturalisPrincipia Mathematica , Newton usó su método de aproximación para resolver la ecuación no polinomial , X − mi pecado ⁡ ( X ) = z , también conocido como problema de Kepler, que no tiene solución analítica. En la ecuación, z es la anomalía media conocida, mi la excentricidad y X la anomalía excéntrica a determinar.

10.2.6 No integrabilidad algebraica de óvalos

La Sección 6, Libro 1, de los Principia está dedicada a la solución del llamado problema de Kepler. El problema consiste en encontrar el área de un sector focal de la elipse y es equivalente a la solución para x de la ecuación X — mi pecado ⁡ X = z ( mi y z dado). ... En el Lema 28, Sección 6, Newton demostró que este problema no se puede resolver en términos algebraicos finitos (§13.3). En la Proposición 30, Sección 6, mostró que la determinación de la posición de un cuerpo que orbita en una trayectoria parabólica (tal que la ley del área es válida para el foco) es en cambio algebraica (ver capítulo 11). Pero para lidiar con el problema de Kepler para trayectorias elípticas, las ecuaciones polinómicas no son suficientes. Por lo tanto, en la Sección 6, Newton ilustró cómo se pueden determinar las raíces de la ecuación de Kepler a través de su método de aproximaciones sucesivas, es decir, a través de series infinitas (ver §7.5, figura 7.10).2' Las series infinitas ocurren a lo largo de los Principia ( especialmente en el Escolio final a la Sección 13, Libro 1: Proposición 45, Libro 1: y Proposición 10, Libro 2), yNewton bien podría haber tenido esto en mente cuando afirmó que su trabajo se basaba en un nuevo análisis . También empleó técnicas de cuadratura, otro elemento clave de su nuevo análisis.

[Isaac Newton sobre la certeza matemática y el método, número 4, por Niccolò Guicciardini, 2009; página #248]

Yo creo que no. Incluso en lo que respecta al método de "Newton", Newton fue uno en una línea de muchas personas después de Cardano para aproximar numéricamente raíces de ecuaciones polinómicas, y cosas similares se hicieron antes de Cardano. La fórmula de Cardano es de poca utilidad si uno quiere el valor numérico (incluso las raíces cuadradas requieren una aproximación numérica), por lo que las fórmulas simbólicas no eliminaron la "necesidad", ni su ausencia la creó. Vieta y Napier, entre otros, desarrollaron métodos numéricos sistemáticamente antes de Newton, y muchos lo hicieron después, pero como "campo de estudio", el análisis numérico es un elemento del siglo XX.
No está claro qué significa realmente esta pregunta. Los métodos numéricos se practicaron desde la antigüedad, por ejemplo, para extraer raíces cuadradas y cúbicas con precisión arbitraria, para aproximar pi, etc. O piense en cálculos en trigonometría y astronomía. Los logaritmos se inventaron mucho antes que Newton. ¿En qué sentido fue Newton el primero?
El ejemplo que usted mismo da: Kepler en realidad inventó un método numérico para resolver la ecuación de Kepler. Y muchas otras personas inventaron sus métodos. ¿Por qué dar crédito a Newton sobre la base de que él era uno de ellos?
¡Gracias a los dos! Mejor edito mi pregunta porque no podré aclarar usando el espacio limitado. Lo haría en los próximos días.

Respuestas (1)

La fórmula de Cardano es inútil si realmente quieres resolver la ecuación cúbica. En nuestra cultura decimos que "resolver una ecuación" significa escribir su solución en forma cerrada usando un cierto conjunto de símbolos matemáticos. Pero esto es solo un acuerdo, y no siempre fue así. Si necesita resolver una ecuación no para aprobar un examen, pero para algunos propósitos prácticos, necesita encontrar una aproximación de su solución. Si va a utilizar la fórmula de Cardano, debe tomar raíces cúbicas y cuadradas. Pero, ¿cómo sacas, digamos, una raíz cúbica de 5 sin una calculadora? La forma más fácil es usar el método de Newton para resolver la ecuación X 3 = 5 . Ahora, para usar la fórmula de Cardano, debe tomar dos raíces cúbicas y una raíz cuadrada, es decir, usar los métodos de Newton tres veces. ¿Por qué no usarlo simplemente para la ecuación original?

Gracias. No diría que la fórmula de Cardano fue del todo inútil. En ese momento, había tablas extensas para pisos cuadrados y raíces cúbicas disponibles. Tenía esta pregunta en mente, pero no sabía cómo responder adecuadamente a @Conifold y Alexandre Eremenko, ya que ambos son 'gurús' y decir algo que va en contra de su punto de vista no es fácil. De todos modos, Newton podría haber optado por usar esas tablas en lugar de idear un método, ya que el método también requería algo de trabajo e iteraciones para aproximar la respuesta. Otro problema principal es que cómo uno... Continuación
define un método numérico. Por ejemplo, aquí hsm.stackexchange.com/questions/5612/… , se presenta un cronómetro marino como ejemplo de la necesidad de un método numérico. En mi humilde opinión, la invención del cronómetro marino fue más una hazaña ingeniosa de diseño de ingeniería. Aquí, hsm.stackexchange.com/a/5639/9341 , la fórmula de Euler-Maclaurin se presenta como otro ejemplo de método numérico. En mi humilde opinión, realmente no lo veo como un método numérico. Euler pudo resolver el problema de Basilea en 1735... Continuación
y llegó a una solución de forma cerrada mostrando que la serie converge a π²/6. Entonces, cada vez que sumas solo un número limitado de términos sin sumar todos los términos infinitos, ¿se convierte en un método numérico? Entonces, ¿qué pasa con la serie de Taylor porque también terminas la serie después de sumar una cierta cantidad de términos para obtener un polinomio de Taylor? Además, ¿qué pasa con la serie de Fourier? En la serie de Fourier, ¿tampoco sumas un número infinito de sinusoides? ¿La serie de Fourier también es un método numérico porque está aproximando una función utilizando un número finito de sinusoides?
Newton como el primero en establecer el análisis numérico como un nuevo campo de estudio
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