La siguiente cita (en inglés) se atribuye ampliamente a Fourier, pero no puedo corroborarla.
Una función arbitraria, continua o con discontinuidades, definida en un intervalo finito por un gráfico arbitrariamente caprichoso siempre puede expresarse como una suma de sinusoides.
Es decir, no puedo verificar que realmente lo haya dicho o escrito (en cualquier idioma). ¿Puede alguien ayudarme?
Por ejemplo, la declaración aparece en Gao y Yan (2011) : Parece que se ha atribuido tanto a la disertación de Fourier de 1807 como a su monografía de 1822 "Teoría analítica del calor" . El trabajo de 1822 fue traducido al inglés hace mucho tiempo por Alexander Freeman y está disponible en archive.org . Sin embargo, no puedo encontrar ningún texto escrito por Fourier que coincida estrechamente con la cita reclamada. ¿Alguien tiene una referencia sólida (en cualquier idioma)?
Ya he preguntado cuál es básicamente esta misma pregunta en Math SE , donde se sugirió que la hiciera aquí en HSM SE.
De especial interés en la cita reivindicada es la frase explícita, "continua o con discontinuidades" (aunque esto puede inferirse implícitamente de "fonctions etièrement arbitraires"). La referencia explícita tanto a lo continuo como a lo discontinuo fue, históricamente, una reivindicación revolucionaria. Antes de las expansiones de Fourier con coeficientes calculados mediante integrales y bases de sinusoides, existieron las expansiones de Taylor con coeficientes calculados mediante derivadas y bases de polinomios. . Las expansiones de Taylor estaban limitadas a funciones analíticas... y, por lo tanto, las expansiones globales de funciones discontinuas estaban simplemente fuera de discusión. Luego vino Fourier con una afirmación verdaderamente revolucionaria de que su expansión funcionaba no solo para funciones continuas, ¡sino también discontinuas! Y para colmo de males, Fourier ni siquiera era realmente un matemático (sino más bien un ingeniero, entre otras cosas). Para obtener más información, consulte el artículo de Enders A. Robinson, "Una perspectiva histórica de la estimación del espectro" .
Puede encontrar la cita (o algo similar) en varios lugares de la Théorie analytique de la chaleur , por ejemplo en
Capítulo I,
párrafo (artículo) 14:
"L'examen de cette condition fait connaître que l'on peut développer en series convergentes, ou exprimer par des intégrales définies, les fonctions qui ne sont point assujéties à une loi constant e, et qui représentent les ordonnées des lignes irrégulières ou discontinus . Cette propriété jette un nouveau jour sur la Théorie des équations aux différences partielles, et étend l'usage des fonctions arbitraires en les soumettant aux procédés ordinaires de l'analyse".
Capítulo IV, Sección VI,
párrafo 219:
"Nous avons supposé jusqu'ici que la fonction dont on demande le développement en series de sinus d'arcs multiples, peut être développée en une série ordonnée , siivant les puissances de la variable x, et qu'il n'entre dans cette dernière série que des puissances impaires .
párrafo 220:
"Cette remarque est importante, en ce qu'elle fait connaître comment les fonctions entièrement arbitraires peuvent aussi être développées en series de sinus d'arcs multiples".
párrafo 229:
"Les suites formées de sinus ou de cosinus d'arcs multiples sont donc propres à représenter entre des limites determinées , toutes les fonctions possibles , et les ordonnées des lignes ou des surface dont la loi est discontinue ."
párrafo 278:
"[...] Ainsi ce théorême qui donne, entre des limites Assignées , le développement d'une fonction arbitraire en series de sinus ou de cosinus d'arcs multiples se déduit des règles élémentaires du calcul. [...] Dans la pregunta siguiente, sobre réduit encore la fonction arbitraire en une série de sinus"
Agregado:
Después de buscar un poco, creo que finalmente encontré la fuente de la cita (que no es Fourier).
La frase aparece casi textualmente al comienzo del Discurso sobre la serie de Fourier de Cornelius Lanczos (1966):
En una memorable sesión de la Academia Francesa el 21 de diciembre de 1807, el matemático e ingeniero Joseph Fourier anunció una tesis que inauguró un nuevo capítulo en la historia de las matemáticas. [...] Fourier afirmó que una función arbitraria, definida en un intervalo finito por un gráfico caprichoso arbitrario, siempre puede resolverse en una suma de funciones puras de seno y coseno.
Ahora las preguntas son: ¿es históricamente correcta esta reconstrucción? ¿Se informa con precisión la afirmación de Fourier?
En primer lugar, es realmente difícil decir que la audiencia consideró que esa sesión fue verdaderamente memorable . El proceso verbal del asiento es exactamente el siguiente :
M. Fourier encendió un Mémoire sur la Propagation de la chaleur sur le solides . MM: Lagrange, Laplace, Monge y Lacroix.
es decir
Fourier lee una memoria sobre la propagación del calor en los sólidos . Lagrange, Laplace, Monge et Lacroix [estuvieron presentes].
Posteriormente, un relato bastante frío, escrito por Poisson y simplemente firmado por "P.", aparece en marzo de 1808 en el Bulletin des Sciences , donde menciona la ecuación del calor pero no la serie "Fourier".
De todos modos, ahora sabemos, siguiendo a Lanczos, que la afirmación fue hecha por Fourier ya sea oralmente durante la sede de la Academia Francesa o escrita en su tesis original de 1807. La primera hipótesis debe descartarse, ya que no hay registros detallados de la sesión, y la segunda debe rechazarse porque en la Théorie de la propagation de la chaleur dans les solides , publicada recién en 1822 con el nombre de Théorie analytique de la chaleur , no aparecen términos como "capricieux" o "graph(e)".
Entonces, considerando también el anacronismo y la inexactitud de una oración como "[una] función [...] definida [...] por un gráfico arbitrariamente caprichoso", debemos concluir que la respuesta de @Daniel J. Greenhoe es correcta:
Posiblemente lo que sucedió fue que alguien escribió un comentario/resumen sobre el trabajo de Fourier, y luego alguien más llegó pensando que era una cita real [...]
Además, cuando Lanczos quiere citar palabras exactas, también traducidas, usa comillas, como en el siguiente (p. 8):
La clarificación gradual de nuestras ideas sobre el concepto de función tiene mucho que ver con el descubrimiento de Fourier en 1807. Fourier era muy consciente del hecho de que una función no necesita ser diferenciable en todas partes para ser representable por la suma de un número infinito. secuencia de funciones seno y coseno. Habla de "función arbitraria" que podría ser representado por su serie. La falta de precisión en su lenguaje fue fuertemente criticada por sus contemporáneos, aunque de hecho Fourier se acercó más a la verdad que sus críticos, quienes querían restringir la validez de las series de Fourier a la clase de funciones infinitamente diferenciables.
Aquí las comillas alrededor de la función arbitraria son correctas, ya que Fourier en realidad usa la expresión fonctions entièrement arbitraires .
No debemos culpar a Lanczos por esto, y él mismo era muy consciente de que su libro no era un relato fiel de la historia de las series de Fourier, como se informó en el prólogo de la edición de 2016:
Su libro no está seco; una persona lo habita. "¿Y por qué no está permitido", dice en el video, "poner cierto énfasis emocional? Si estás entusiasmado con algo, ¿por qué no decirlo?".
Creo que la conclusión aquí es que no hay pruebas de que la cita de Fourier reclamada sea una cita de Fourier real (en cualquier idioma). Sin embargo ,
(1) La ausencia de prueba no es prueba de ausencia.
(2) Aunque es posible que Fourier no haya comunicado la cita en esencia, podría decirse que sí comunicó la cita en esencia.
Posiblemente lo que sucedió fue que alguien escribió un comentario/resumen sobre el trabajo de Fourier, y luego alguien más llegó pensando que era una cita real, publicó el comentario con comillas a su alrededor... y así nació una leyenda urbana matemática (?) .
Cualquier autor que esté buscando una cita de Fourier comprobada para reemplazar la cita reclamada podría considerar extraer una de Fourier 1822 Sección 219, como lo menciona @user6530: "Hasta este punto, hemos supuesto que la función cuyo desarrollo se requiere
en una serie de los senos de arcos múltiples pueden desarrollarse en una serie ordenada de acuerdo con las potencias de la variable x,... Podemos extender los mismos resultados a cualquier función, incluso a aquellas que son discontinuas y completamente arbitrarias".
( Fourier (1822) , §219, página 184, traducción de Alexander Freeman).
Carlos Witthoft
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Daniel J. Greenhoe