Cálculo manual de$193707721 \times 761838257287$

Esto es un$9$-número de dígitos por a$12$-número de dígitos, y por lo tanto requeriría$9 \times 12 = 108$productos dígito por dígito, algunos de los cuales requieren transporte y luego agregar$12$columnas cada una con$9$dígitos (o sumando$9$columnas cada una con$12$dígitos). Suponiendo que cada uno de los$108$tomas de multiplicaciones$3$a$5$segundos (esto incluye escribir cosas en la pizarra y, a veces, llevar) y que agregar las columnas toma alrededor de$2$minutos, obtenemos aproximadamente$7.5$a$11$minutos.

Sin embargo, dado que habrá tres$7$'s en el "número inferior" (sin importar qué número use para el "número inferior"), obtendrá un ahorro de casi un minuto porque para la segunda y tercera vez multiplica el "número superior" por$7,$simplemente copia lo que hiciste la primera vez (con un número apropiado de$0$'s a la derecha). Además, al multiplicar el "número superior" por$1$simplemente copie el "número superior". Finalmente, Cole ciertamente había hecho esto varias veces anteriormente, aunque solo fuera para verificar su trabajo, gran parte del cálculo le habría resultado familiar.

Por lo tanto, apostaría a que la multiplicación se hizo en la pizarra en aproximadamente$5$minutos$(2$a$3$minutos si estaba solo, escribiendo en papel), especialmente dado que sus habilidades para realizar tales cálculos no estaban tan atrofiadas como es el caso de la mayoría de las personas hoy en día (debido a las calculadoras).

Cálculo manual de$2^{67} - 1$

Supongo que comenzó con un poder de$2$que todos sabían, como$2^{10} = 1024,$y trabajado a partir de eso. Probablemente lo más rápido sería elevar esto al cuadrado y luego multiplicar el resultado por$1024$para obtener$2^{30},$luego eleva al cuadrado este último número para obtener$2^{60},$y finalmente multiplicar$2^{60}$por$128.$Mi suposición es que esto lo llevaría sobre$6$a$10$minutos. Usé una calculadora en línea y llegar a$2^{20}$tomó$30$segundos (trabajando rápido, pero sin tratar de correr el reloj), pero por supuesto con tres de los dígitos siendo$0$y$1$y$2,$se necesitaba poco trabajo.

Conclusión

Mi conjetura es que todo el proceso probablemente podría hacerse de una manera relativamente pausada pero constante dentro de$20$minutos.

Por si sirve de algo, solía hacer multiplicaciones largas como esta de vez en cuando antes de que alguien en mi escuela tuviera una calculadora (aproximadamente cuando tenía la edad$11$a$16).$Por ejemplo, al verificar los resultados que vi en libros o artículos (como los artículos de "Juegos matemáticos" de Martin Gardner que vi en copias de la biblioteca de Scientific American o en un libro de la biblioteca de sus artículos, y de manera similar para algunos de los ensayos más conocidos de Isaac Asimov) , o calcular grandes potencias de$2$y$3,$etc. De todos modos, tengo una idea aproximada de cuánto trabajo implicaría esto, y si bien puede parecer desalentador para alguien hoy en día, en realidad no es tanto. (Lo que hice hace un año aquí , ahora eso fue desalentador). Simplemente no es algo que uno haría en una charla, incluso en ese entonces. Por supuesto, lo que "le costó tres años de domingos" fueron los cálculos necesarios para descubrir los factores para empezar.

Da la casualidad de que la misma pregunta se trató en una presentación a SIGBOVIK 2019 con fecha del 13 de marzo de 2019 y se publicó en las páginas 225 a 229 de las actas : se examinaron cuatro métodos (el autor describe la multiplicación larga como multiplicación de celosía pero peor y, por lo tanto, fue no probado) con los siguientes resultados:

• Multiplicación de celosía: 11 minutos
• Doble y mitad: 21 minutos, dio una respuesta incorrecta
• Multiplicación de un cuarto de cuadrado: no probada, pero dadas las tablas de búsqueda de hasta 200,000, el autor estima que se requerirían 12 búsquedas, cada una de las cuales demora entre 30 segundos y un minuto.
• Multiplicación de Karatsuba: 17 minutos, reconocido como anacrónico

Las pruebas se realizaron en papel; no se examinó la sobrecarga de realizar multiplicaciones en la pizarra.