Necesita ayuda para comprender la representación matricial de un operador lineal

Question

Necesita ayuda para comprender la representación matricial de un operador lineal

disculpas

Estoy luchando con álgebra lineal. Específicamente, entendiendo lo siguiente:

$\newcommand{\ket}[1]{|#1\rangle}$ Suponer $A:V \rightarrow W$ es un operador lineal entre espacios vectoriales $V$ y $W$ . Suponer $\ket{v_1},\ldots,\ket{v_m}$ es una base para $V$ y $\ket{w_1}, \ldots, \ket{w_n}$ es una base para $W$ . Entonces para cada $j$ en el rango $1,\ldots,m$ , existen números complejos $A_{1j}$ a través de $A_{nj}$ tal que

A | v_{j} ⟩ = \sum_{i} A_{i j} | w_{i} ⟩ .

$A\ket{v_j} = \sum_i A_{ij} \ket{w_i}.$

Entiendo que $A \ket{v_j}$ es un vector en $W$ . También entiendo que podemos escribir cualquier vector en $W$ como una combinación lineal de los vectores base $\ket{w_1}, \ldots, \ket{w_n}$ . No entiendo cómo eso corresponde a la forma matricial de $A$ y en general me falta intuición para lo que está pasando aquí.

¿Puede alguien ayudarme a darme una intuición de lo que significa lo anterior? También se agradecen las sugerencias sobre libros/videos/conferencias/etc.

probablemente_alguien

¿Hay algo insatisfactorio en la respuesta "los números

A_{i j}

$A_{ij}$ son los elementos de la matriz

A

$A$ ?" Si es así, ¿en qué estás confundido?

G. Smith

Es más fácil tener intuición sobre el álgebra lineal si considera el caso donde

V

$V$ y

W

$W$ son el mismo espacio. Comience por pensar en las transformaciones del espacio euclidiano 3D que lo rotan o lo estiran/encogen a lo largo de un eje.

G. Smith

Una vez que se sienta cómodo pensando en las transformaciones lineales de un espacio vectorial, piense en las transformaciones lineales entre dos espacios.

disculpas

@G.Smith cuando

V

$V$ y

W

$W$ son el mismo espacio (digamos dimensión

n

$n$ ), entonces el operador

A

$A$ se puede escribir como un

n \times n

$n \times n$ matriz. Columna

i

$i$ de

A

$A$ corresponde a que? algún efecto sobre el

i

$i$ el vector base de

W

$W$ ?

G. Smith

Así es. En general, cambiará cada vector base, haciéndolo apuntar en una dirección diferente y/o estirándolo/encogiéndolo. Escribe algo arbitrario

3 \times 3

$3\times 3$ matrix (para simplificar, solo use entradas de matriz de enteros aleatorios) y déjelo actuar sobre los vectores de columna

(1, 0, 0)

$(1,0,0)$ ,

(0, 1, 0)

$(0,1,0)$ , y

(0, 0, 1)

$(0,0,1)$ . Ahora deja que actúe en un vector aleatorio como

(2, 3, 4)

$(2,3,4)$ y mira cómo esto es 2 veces el primer resultado más 3 veces el segundo más 4 veces el tercero: ¡linealidad en acción!

vcl

Ya respondiste tu propia pregunta. Para cada

j

$j$ debe existir

n

$n$ Números complejos que te permiten descomponer

A | v_{j} ⟩

$A | v_j\rangle$ en esa base. El conjunto de números resultante

A_{i, j}

$A_{i,j}$ Es como llamamos a la representación matricial de nuestro operador en esas bases. Es una definición .

Respuestas (2)

Necesita ayuda para comprender la representación matricial de un operador lineal

¿Hay algo insatisfactorio en la respuesta "los números $A_{ij}$ son los elementos de la matriz $A$ ?" Si es así, ¿en qué estás confundido?
Es más fácil tener intuición sobre el álgebra lineal si considera el caso donde $V$ y $W$ son el mismo espacio. Comience por pensar en las transformaciones del espacio euclidiano 3D que lo rotan o lo estiran/encogen a lo largo de un eje.
Una vez que se sienta cómodo pensando en las transformaciones lineales de un espacio vectorial, piense en las transformaciones lineales entre dos espacios.
@G.Smith cuando $V$ y $W$ son el mismo espacio (digamos dimensión $n$ ), entonces el operador $A$ se puede escribir como un $n \times n$ matriz. Columna $i$ de $A$ corresponde a que? algún efecto sobre el $i$ el vector base de $W$ ?
Así es. En general, cambiará cada vector base, haciéndolo apuntar en una dirección diferente y/o estirándolo/encogiéndolo. Escribe algo arbitrario $3\times 3$ matrix (para simplificar, solo use entradas de matriz de enteros aleatorios) y déjelo actuar sobre los vectores de columna $(1,0,0)$ , $(0,1,0)$ , y $(0,0,1)$ . Ahora deja que actúe en un vector aleatorio como $(2,3,4)$ y mira cómo esto es 2 veces el primer resultado más 3 veces el segundo más 4 veces el tercero: ¡linealidad en acción!
Ya respondiste tu propia pregunta. Para cada $j$ debe existir $n$ Números complejos que te permiten descomponer $A | v_j\rangle$ en esa base. El conjunto de números resultante $A_{i,j}$ Es como llamamos a la representación matricial de nuestro operador en esas bases. Es una definición .

mike piedra · Answer 1

Si dejas que el operador lineal actúe sobre la base de $V$ , debe escribir la matriz detrás de los vectores base de $W$ :

A {mi}_{i} = F_{j} {A^{j}}_{i} .

$A{\bf e}_i = {\bf f}_j {A^j}_i.$ Suponer que

y = A x

${\bf y}= A{\bf x}$ dónde

x = x^{i} e_{i}

${\bf x}= x^i {\bf e}_i$ , y

y = y^{j} f_{j}

${\bf y}= y^j {\bf f}_j$ . Tenemos

A X = X^{i} (A {mi}_{i}) = X^{i} (F_{j} {A^{j}}_{i}) = F_{j} ({A^{j}}_{i} X^{i})

$A{\bf x}= x^i (A{\bf e}_i)= x^i({\bf f}_j {A^j}_i)= {\bf f}_j ({A^j}_i x^i)$ Comparado con

y = y^{j} f_{j}

${\bf y}= y^j {\bf f}_j$ da

y^{j} = \sum_{i = 1}^{d i metro V} {A^{j}}_{i} X^{i}

$y^j= \sum_{i=1}^{{\rm dim\,}V} {A^j}_i x^i$ que es la acción habitual de una matriz en un vector columna donde sumamos índices adyacentes.
Uno puede pensar en esto como aparece en Quantum Mechanics

A | v_{norte} ⟩ = \sum_{metro = 1}^{d i metro W} | w_{metro} ⟩ ⟨ w_{metro} | A | v_{norte} ⟩,

$A|v_n\rangle = \sum_{m=1}^{{\rm dim} W} |w_m\rangle \langle w_m|A|v_n\rangle,$ donde los elementos de la matriz aparecen naturalmente detrás del vector base

| w_{m} ⟩

$|w_m\rangle$ .

En esta respuesta has tomado $W=V$ . En la pregunta del OP hay dos bases diferentes, posiblemente con dos números diferentes de vectores base.
Esto dice lo que dice el OP en una notación diferente. Además, no necesita un producto escalar para definir la representación matricial de un operador (que es lo que está haciendo en la última línea). Sin mencionar el hecho de que las bases no necesitan ser ortonormales.
@Icv No es lo mismo. Su matriz es la traspuesta de la correcta. Uso el ejemplo de QM para mostrar que todos estamos familiarizados con la idea de que la matriz debe actuar hacia la izquierda cuando actúa sobre una base si desea actuar hacia la derecha cuando actúa sobre componentes.

Medusa superrápida · Answer 2

En la mecánica cuántica hay un truco que usamos cuando estamos atascados. Se llama completitud, que es básicamente un cambio de referencia en forma de cambio de base. Hay una poderosa propiedad del álgebra lineal que dice:

\sum_{i} | w_{i} ⟩ ⟨ w_{i} | = 1

$\sum_{i}|w_i\rangle\langle w_i|=\mathbb{1}$ donde el

| w_{i} ⟩

$|w_i\rangle$ s forman una base. Usando esto tenemos

A | v_{j} ⟩ = \sum_{i} | w_{i} ⟩ ⟨ w_{i} | A | v_{j} ⟩

$A|v_j\rangle=\sum_{i} |w_i\rangle\langle w_i|A|v_j\rangle$ y el numero

⟨ w_{i} | A | v_{j} ⟩

$\langle w_i|A|v_j\rangle$ es solo el elemento de la matriz

A_{i j}

$A_{ij}$ .

Se aplica el mismo comentario que para la otra respuesta. No necesita un producto escalar para definir la representación matricial de un operador. Además, su respuesta solo funciona si la base es ortonormal, lo que obviamente no es necesario. El OP ya dijo las cosas con más precisión.

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