Número esperado de sorteos de cartas de una baraja estándar hasta que se extrae un as

Escribe una secuencia de$52$Os. Para hacer de esto una secuencia válida (con$48$Os y$4$As), solo tenemos que cambiar cualquier$4$Os en As, es decir, elegir$4$posiciones de$\{1,2,3,\dots,52\}$para cambiar a As.

Es decir, tenemos que elegir$4$elementos distintos de un conjunto de$52$.

Esta es precisamente la diferencia de "combinaciones" y su notación.

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También podemos ver más explícitamente cómo el número de posibilidades es

$$\frac{52\times 51\times 50\times 49}{4\times 3\times 2\times 1}\left (=\frac{52!}{48!4!}=\binom{52}{4}\right )$$

Hay$52$formas en que podemos elegir la primera A. Para elegir la siguiente, hay$51$Os quedan y podemos elegir cualquiera de ellos. De manera similar, para la tercera y cuarta opciones hay$50$y$49$OS para elegir.

Entonces, si el orden de nuestras elecciones importara, habría$52\times 51\times 50\times 49$formas de hacer la elección.

Sin embargo, elegir$10,26,41,45$es lo mismo que elegir$41,26,10,45$o$45,26,10,41$etc. es decir, el orden de las elecciones no importa. ¿Cuántos pedidos diferentes elegir?$4$artículos en hay? Bueno, esta es la definición del factorial, o permutación: la respuesta es$4!$.

Así que hemos contado cada conjunto posible de$4$ases$4!$veces, y dividiendo por$4\times 3 \times 2 \times 1$nos da nuestro valor de combinación.

Hay absolutamente una razón intuitiva para esto.

Imagina que tienes una baraja de 52 cartas en blanco y escribes la letra A en 4 de ellas. Hay$\binom{52}{4}$maneras de hacer esto.

Ahora imagina que tienes una cadena de 52 0 y puedes convertir 4 de ellos en A. Este es el mismo problema que antes, por lo que hay$\binom{52}{4}$tales cadenas.