Estoy interesado en ver cómo se ven los grupos de cohomología de esfera, toro, banda de Mobius, botín de Klein o plano proyectivo. ¿Hay alguna intuición, como para los grupos de homología?
Cuando se trata de homología, H0 cuenta la cantidad de componentes conectados, H1 cuenta los agujeros 1D (que es lo mismo que el grupo fundamental, cuando hablamos de espacio conectado por caminos, y todos los que me interesan realmente lo son), H2 cuenta 2D agujeros (cuántos tapones necesitas para inflarlo). Encontré aquí http://www.tricki.org/article/How_to_compute_the_cohomology_of_a_space que cuando se trata de cohomología, H0 también cuenta componentes conectados (o componentes de ruta) y que Hn= , cuando el espacio es una variedad n-dimensional conexa, compacta y orientable.
¿Alguien puede enumerarme grupos de cohomología para esfera, banda de Mobius, disco, toro, botella de Klein y plano proyectivo y darme alguna intuición sobre H1 y H2? Sé que Hn=0, para todos los n>2 para todos los anteriores, porque son variedades unidimensionales o bidimensionales.
¡Gracias de antemano!
La cohomología es "básicamente lo mismo" que la homología. En la medida en que la homología cuenta intuitivamente” -agujeros dimensionales", también lo hace la cohomología. De hecho, los grupos de cohomología de un espacio están completamente determinados por los grupos de homología y, a menudo, son isomorfos a ellos (aunque no canónicamente).
Para ser más precisos, supongamos un espacio ha generado finitamente grupos de homología en cada dimensión. Escribamos , dónde es el subgrupo de torsión de y es un grupo abeliano libre. Entonces la cohomología de (con coeficientes en ) está dada por la fórmula
(Cuando los grupos de homología no se generan finitamente, o si usa diferentes coeficientes, o si desea un isomorfismo natural que identifique , la historia es más complicada. La historia general se conoce como el teorema del coeficiente universal para la cohomología).
Anubhav Mukherjee