Considere un problema de muchos cuerpos de un grupo pequeño, por ejemplo, el 'Cluster de Hubbard' (aunque la pregunta también puede ser relevante para otros hamiltonianos):
Se entiende bien que cuando dicho operador conmuta con un observable como la densidad y/o el momento magnético estos son buenos números cuánticos y bajo una clasificación apropiada de estados fock la matriz hamiltoniana
se descompone en bloques de número de partículas y momento magnético constantes. Sin embargo, en la mayor parte de la literatura también se menciona que si el grupo es invariante bajo una operación de simetría el problema puede simplificarse aún más, es decir, el hamiltoniano puede descomponerse en bloques aún más pequeños mediante una transformación unitaria. Ahora aquí están mis preguntas:
¿Existe alguna comprensión sistemática de esta simplificación? Dada una simetría , ¿cuál es la transformación unitaria que simplifica el hamiltoniano?
Una vez que se ha encontrado una operación de simetría, ¿qué tan pequeños son los bloques resultantes? ¿Se puede predecir su tamaño?
Si hay varias operaciones de simetría disponibles, ¿cuál resulta en la mayor simplificación del problema?
¿Cómo se pueden encontrar soluciones exactas usando transformaciones unitarias relacionadas con la simetría?
Puede encontrar útil el siguiente artículo: Una solución simbólica del modelo de Hubbard para pequeños grupos , por J. Yepez.
También es posible que desee revisar la teoría de grupos para la física de la materia condensada, ya que sus preguntas abarcan esencialmente los conceptos básicos de la teoría de grupos y de representación. Muchos textos brindan una buena descripción general de los fundamentos de la teoría de grupos aplicada a los cristales de estado sólido, y algunos están disponibles en línea, por ejemplo, "Symmetry in Condensed Matter Physics" de PG Radaelli (enlace de la Universidad de Oxford) o "Aplicaciones de Group Teoría de la física de los sólidos" de MSDresselhaus (enlace MIT).
De todos modos, las ideas básicas son las siguientes:
- ¿Existe alguna comprensión sistemática de esta simplificación? Dada una simetría S, ¿cuál es la transformación unitaria que simplifica el hamiltoniano?
Sí, hay una forma sistemática de hacer esto, y tiene que ver con el grupo de transformaciones de simetría del hamiltoniano. . Se puede encontrar una transformación unitaria simplificadora a partir de cualquier base arbitraria de estados de la siguiente manera:
i) En la base dada generar las representaciones matriciales para el hamiltoniano y los generadores de simetría. Estas matrices producen en general una representación reducible del grupo de simetría. ii) Usar las matrices generadoras y técnicas de teoría de grupos para construir proyectores sobre estados que son invariantes bajo las transformaciones de simetría. Estos nuevos estados no son estados propios de energía, solo estados invariantes de simetría. iii) Construir los estados de la nueva base y la operación unitaria que transforma la base original en la nueva. Esta es la transformación unitaria que estás buscando. Consulte a continuación para obtener más detalles.
- Una vez que se ha encontrado una operación de simetría, ¿qué tan pequeños son los bloques resultantes? ¿Se puede predecir su tamaño?
Sí, el tamaño de los bloques y la degeneración de los estados propios de energía están determinados por la naturaleza del grupo de simetría. La nueva base invariante de simetría contiene grupos de estados que se transforman entre sí bajo las transformaciones de simetría, pero no se pueden descomponer en grupos más pequeños con la misma propiedad. Cada uno de estos grupos genera lo que se llama una representación irreducible del grupo de simetría. La transformación unitaria descrita anteriormente descompone la representación reducible original en un cierto número de tales representaciones irreducibles. Los estados correspondientes a cualquier representación irreducible dada se mezclan solo entre ellos en la matriz hamiltoniana. Por lo tanto, la transformación a estados invariantes de simetría y la descomposición en representaciones irreducibles resuelve la matriz del hamiltoniano en una forma diagonal de bloque más simple. Las posibles dimensiones de los bloques son conocidas y están determinadas por la estructura del grupo de simetría, independientemente de la forma particular del hamiltoniano. Es decir, los hamiltonianos de sistemas completamente diferentes que comparten el mismo grupo de simetría tendrán formas de bloques diagonales con bloques de las mismas dimensiones predeterminadas. Estas son las dimensiones de las representaciones irreducibles del grupo de simetría. Difieren de un grupo a otro, pero han sido calculados y tabulados para todos los grupos de simetría importantes.
- Si hay varias operaciones de simetría disponibles, ¿cuál resulta en la mayor simplificación del problema?
La regla general es que las operaciones de mayor simetría generan representaciones reducibles con respecto a las operaciones de menor simetría. Por lo tanto, la operación que realmente determina la resolución en los bloques más pequeños es la de menor simetría entre las operaciones del grupo de simetría.
- ¿Cómo se pueden encontrar soluciones exactas usando transformaciones unitarias relacionadas con la simetría?
Básicamente, las simplificaciones de simetría de la matriz hamiltoniana producen descomposiciones en bloques diagonales mucho más pequeños (representaciones irreducibles) que luego se pueden diagonalizar de forma independiente. Entonces, el procedimiento es diagonalizar un bloque, generar la transformación unitaria asociada y luego usar esta última para encontrar los estados propios exactos. A veces, la diagonalización se puede hacer analíticamente, pero incluso si se necesita hacer numéricamente, sigue siendo un problema mucho más simple que el original.
Creen Fitzgerald
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