Cantidad de movimiento cristalina en un potencial periódico

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Cantidad de movimiento cristalina en un potencial periódico

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Estoy trabajando en una teoría básica sobre potenciales periódicos, y agradecería ayuda para comprender el momento del cristal. Supongamos que tenemos una red de Bravais con vectores de red $\textbf{R}$ . Hay una red recíproca asociada con vectores de red $\textbf{K}$ tal que $\textbf{K} \cdot \textbf{R} = 2\pi n$ para $n \in \mathbb{Z}$ . La relación entre estas dos redes asegura que las ondas planas de la forma $e^{i \textbf{K} \cdot \textbf{r}}$ son periódicas en la red directa. Una consecuencia del teorema de Bloch es que los estados $\langle x|\psi \rangle$ de una partícula asume la forma

ψ_{norte k} (r) = {mi}^{i k \cdot r} tu (r),

$\psi_{n\textbf{k}}(\textbf{r}) = e^{i \textbf{k} \cdot \textbf{r}}u(\textbf{r}),$

dónde

tu (r + R) = tu (r) .

$u (\textbf{r} + \textbf{R}) = u(\textbf{r}).$

Para estas funciones de onda, $\textbf{p} \equiv \hbar \textbf{k}$ se define como el momento del cristal. El momento canónico está mal definido para este problema ya que el cristal rompe la simetría de traslación. Sin embargo, para cualquier traducción $T_{\textbf{R}}$ dentro de un vector de red, $[H, T_{\textbf{R}}] = 0$ . Mis preguntas son:

En la primera ecuación, actualmente creo que $\textbf{k}$ puede ser cualquier vector, y no está necesariamente en el conjunto de vectores de onda recíprocos (es decir, $\textbf{k} \notin \{\textbf{K}\}$ necesariamente). Dado que esto es cierto, ¿cuál es $\psi_{n\textbf{k}+\textbf{K}}?$
Supongamos que una partícula tiene un momento cristalino $\textbf{p} = \hbar \textbf{k}$ . ¿Cómo interpretamos $\textbf{p}' = \hbar (\textbf{k} + \textbf{K})$ ?
Aunque no hay simetría continua en la red, hay una simetría discreta del potencial $U(\textbf{r} + \textbf{R}) = U(\textbf{r})$ , y por tanto del hamiltoniano. Si el teorema de Noether no se aplica aquí, ¿qué cantidad se "conserva" en el tiempo y cómo justificamos tal conservación en general?

nikos m.

de la parte superior de mi cabeza,

K

$K$ parece el núcleo/espacio nulo de impulsos, por lo que

k + K

$k+K$ El impulso que actúa sobre un estado debería tener el mismo efecto que

k

$k$ cantidad de movimiento que actúa sobre un estado (siempre que se establezca que

k \notin {K}

$k \notin \{K\}$ )

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de la parte superior de mi cabeza, $K$ parece el núcleo/espacio nulo de impulsos, por lo que $k+K$ El impulso que actúa sobre un estado debería tener el mismo efecto que $k$ cantidad de movimiento que actúa sobre un estado (siempre que se establezca que $k \notin \{K\}$ )

Xcheckr · Answer 1

(1) Desde $u(\textbf{r}) = u(\textbf{r}+\textbf{R})$ , podemos expandir esta parte en términos de vectores reticulares recíprocos, $u_k(\textbf{r}) = \sum_\textbf{G}{e^{i\textbf{G}\cdot \textbf{r}}u_\textbf{k-G}}$ . Por lo tanto, podemos escribir:

ψ_{k + k} = {mi}^{i (k + k) \cdot r} \sum_{GRAMO'} {mi}^{i GRAMO' \cdot r} {tu}_{k - k - {GRAMO}^{'}} = {mi}^{i k \cdot r} \sum_{GRAMO'} {mi}^{i (GRAMO' + k) \cdot r} {tu}_{k - k - {GRAMO}^{'}} = {mi}^{i k \cdot r} \sum_{GRAMO} {mi}^{i GRAMO \cdot r} {tu}_{k - GRAMO} = ψ_{k}

$\begin{equation} \psi_{\textbf k+\textbf K} = e^{i(\textbf k + \textbf K)\cdot \textbf r}\sum_\textbf{G'}{e^{i\textbf{G'}\cdot \textbf{r}}u_{\textbf k-\textbf K- \textbf G'}} = e^{i\textbf k \cdot \textbf r}\sum_\textbf{G'}{e^{i(\textbf{G'}+\textbf K)\cdot \textbf{r}}u_{\textbf k-\textbf K- \textbf G'}}=e^{i\textbf k \cdot \textbf r}\sum_\textbf{G}{e^{i\textbf{G}\cdot \textbf{r}}u_{\textbf k-\textbf G}} = \psi_\textbf k \end{equation}$ dónde

G = K + G^{'}

$\textbf G = \textbf K+\textbf G'$ .

(2) Puedes interpretar $\textbf p'$ como siendo igual a $\textbf p$ . Esto es cierto porque la red del espacio real es periódica; $\textbf k$ siempre es igual a $\textbf k + \textbf K$ .

(3) La cantidad conservada es $\textbf k$ $\textit mod$ $\textbf K$ . Puedes ver que usé este hecho en la respuesta a (2).

Puede leer casi cualquier libro de texto de física del estado sólido para obtener una justificación completa, aunque mi favorito personal es la Teoría de los sólidos de Ziman.

¡Ah, gracias por aclarar mi confusión! Tiene sentido que usted debe ampliar $\psi$ en k-espacio para obtener la igualdad. ¿Podría señalarme una prueba de cómo se sigue que $\textbf{k}$ es la cantidad conservada? Supongo que probablemente consiste en expresar el hamiltoniano también en el espacio k y mostrar que [H, k] = 0, pero podría estar equivocado.
Bueno, no es una cantidad conservada per se (solo $\textbf k mod \textbf K$ ). De todos modos, el capítulo 8 de Ashcroft y Mermin es bastante bueno en este frente.
Es lo que pensaba. No es una cantidad conservada en el tiempo, solo una cantidad que es invariante bajo transformaciones de la forma: $k \to k + k$ $\textbf{k} \to \textbf{k} + \textbf{K}$
@Ultima ¿Por qué no considerar la relación de conmutación? $[H,T_{\textbf{R}}]=0$ más la ecuación de movimiento de Heisenberg para afirmar que $\textbf{k}$ se conserva en el tiempo? También podemos suponer $\textbf{k}$ ser el generador de $T_{\textbf{R}}$ .

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