Propiedades espectrales en física del estado sólido

cualquier función propia de este operador de Schrödinger es automáticamente periódica con el período del potencial, ¿es esto cierto?

¡¡No!! Las funciones propias son ondas de Bloch$\psi(x) = u(x)e^{ikx}$, dónde$u$es periódica (con el período de la red). pero el producto$\psi$no es periódico (con el período de la red) a menos que$k=0$. Puse un ejemplo en Wikipedia recientemente:

Una onda de Bloch (abajo) se puede descomponer en el producto de una función periódica (arriba) y una onda plana (centro). El lado izquierdo y el lado derecho representan la misma onda de Bloch dividida en dos formas diferentes, involucrando el vector de onda k1 (izquierda) o k2 (derecha). La diferencia (k1−k2) es un vector reticular recíproco. En todas las parcelas, el azul es parte real y el rojo es parte imaginaria.

Hice este gráfico principalmente para mostrar por qué$k$es ambiguo, lo cual no es relevante para su pregunta. Pero si solo observa la fila inferior, verá que las ondas de Bloch no son periódicas con el período del potencial.

Aquí hay un ejemplo estúpido. en el vacío,$V(x)=0$, que es (trivialmente) periódico con un período de 1 nanómetro (podría haber puesto cualquier otra distancia aquí). Pero sus estados propios de energía son ondas planas que generalmente no son periódicas con un período de 1 nanómetro.

¿Simplemente llamamos a estas cosas bandas, ya que las k se acercan tanto que no podemos realmente resolver la estructura discreta?

¡Sí, de hecho! Un cristal macroscópico podría tener$10^{20}$valores permitidos de$k$, equidistantes en la primera zona de Brillouin. Entonces podemos y debemos pensar en ello como una curva o superficie suave en lugar de puntos discretos.

... ¿Existe alguna relación entre el problema de los intervalos finitos y el problema de los intervalos infinitos o son dos cosas completamente diferentes?

Para un intervalo infinito, hay$\infty$valores permitidos de$k$, en lugar de simplemente$10^{20}$. Por lo tanto, las bandas se convierten literalmente en curvas o superficies suaves en lugar de curvas o superficies efectivamente suaves. Aparte de eso, todo es igual.

...si no asumimos las condiciones de contorno de Born von Karmann...

... entonces, por lo general, los estados propios no pueden escribirse como$u(x)e^{ikx}$. En 1D, las condiciones de contorno más realistas (no periódicas) le darán una superposición del estado con$+k$y el estado con$-k$, para formar una onda estacionaria en lugar de una onda viajera:$\psi(x) = A u_1(x)e^{ikx} + B u_2(x)e^{-ikx}$dónde$A$y$B$son números complejos y resulta que$u_1=u_2^*$. De nuevo, esto$\psi$no tiene una$k$en la forma en que estás acostumbrado.

¿Cambia esto la estructura de la banda? ¿Qué significa "estructura de banda" si no estamos hablando de los estados de Bloch? Creo que la respuesta es: el término "estructura de banda" es la abreviatura de "estructura de banda asumiendo las condiciones de contorno de Born von Karmann", y si sus condiciones de contorno son diferentes, entonces debe tener en cuenta que para usted, la estructura de banda no es directamente un catálogo de estados y energías permitidas, está un paso alejado de eso. (Pero es solo un pequeño y sencillo paso eliminado). :-D

Entonces, se da el caso de que dicho operador esté definido en el intervalo completo

Supongo que por "intervalo completo" te refieres a toda la línea real.

Primera pregunta: ¿Necesitamos entonces alguna condición de contorno?

Sí, como señaló Sam Bader, las condiciones de contorno son parte del hamiltoniano.

En mi clase de física usamos las llamadas condiciones de contorno de Born von Karmann... para "probar" el teorema de Floquet o Bloch.

De hecho, el teorema de Bloch requiere simetría traslacional. Si limita su dominio a un intervalo finito, tal simetría solo se logra con condiciones de contorno periódicas.

Pero, cuando su dominio es toda la línea real, no hay necesidad de imponer condiciones de contorno especiales para lograr la simetría traslacional: solo la condición habitual de acotación de la solución es suficiente. Véase, por ejemplo, un caso especial: hamiltoniano de partículas libres: requiere que la solución esté acotada en el infinito, y eso es suficiente para obtener la solución como ondas planas. Y tiene simetría de traslación, por lo que ha conservado el quasimomentum (que en este caso coincide con el momento porque el período de esta simetría es arbitrariamente pequeño).

De alguna manera siento que estas condiciones de contorno de Born von Karmann no son necesarias en el sentido de que cualquier función propia de este operador de Schrödinger es automáticamente periódica con el período del potencial, ¿es esto cierto?

Esto está mal, y explicado correctamente por Steve B.

Mi problema con las condiciones de Born von Karmann es que encuentro que no son realmente condiciones de contorno, ya que no actúan sobre algún límite. Entonces, ¿qué pasa con el dominio de tal operador?

Actúan en los límites del dominio: si su dominio finito es$[a,b]$, entonces tiene

Esto es precisamente de lo que se tratan las condiciones de Born-von Karmann. Si intenta implementar estas condiciones en una representación matricial de su operador de energía cinética, obtendrá una matriz circulante , que muestra explícitamente la simetría traslacional. (Intenta jugar con la aproximación de diferencias finitas del operador de energía cinética, lo verás directamente).

En mi clase de física notamos que debido a estas condiciones de Born von Karmann, las posibles k's para el problema (que aparecen en las exponenciales) son discretas. ¿No está seguro de si esto se cumple automáticamente, incluso si no asumimos las condiciones de contorno de Born von Karmann?

De hecho, incluso si no toma las condiciones de frontera de Born — von Karmann y, en su lugar, toma, por ejemplo, las condiciones de frontera homogéneas de Dirichlet o Neumann, terminará con un espectro discreto. Ese es el resultado de la finitud del dominio y es una característica general del problema de Sturm-Liouville .

Luego dijimos que para cada k, la ecuación del operador de Schrödinger que se obtiene al insertar el ansatz del thoerem de Bloch o Floquet tiene un espectro discreto. ¿Es esto cierto?

Nuevamente, es cierto siempre que tenga un dominio finito. Y el teorema de Bloch tiene sentido directo sólo en presencia de simetría de traslación, es decir, con las condiciones de contorno de Born-von Karmann en este caso.

Si es así, ¿qué tiene que ver todo esto con las bandas, si todo es tan discreto? - ¿O simplemente llamamos a estas cosas bandas, ya que las k se acercan tanto que no podemos realmente resolver la estructura discreta?

Las bandas continuas aparecen cuando tomamos el límite del tamaño del cristal.$L\to\infty$(es decir, tome el número de celdas de la red hasta el infinito). En este límite, las condiciones de Born-von Karmann simplemente se transforman automáticamente en las condiciones de acotación de la solución en el infinito, y a medida que aumenta el número de celdas de la red, el espectro se vuelve más y más denso (es decir, los niveles discretos correspondientes a algunos$k$se acercan más y más mientras su número aumenta), y en el límite de$L\to\infty$se vuelve continuo.

Tenga en cuenta que en el dominio infinito no puede aplicar las condiciones de Born-von Karmann; no tiene sentido decir$f(-\infty)=f(+\infty)$, por ejemplo, por lo que utiliza las condiciones naturales de acotación.

Esta es una aproximación al cristal real, en el que hay una gran cantidad de átomos en todas (o algunas, por ejemplo, el grafeno) direcciones, por lo que realmente podemos suponer que es infinito en la primera aproximación.

En los cristales reales, las líneas espectrales son tan densas que, de hecho, no se pueden resolver, pero esto no se debe solo a los instrumentos: se debe al ensanchamiento natural de las líneas espectrales: la incertidumbre del nivel de energía debido al tiempo de vida finito debido a la espontánea emisión.

¿Existe alguna relación entre el problema de intervalos finitos y el problema de intervalos infinitos o son dos cosas completamente diferentes?

Sí, la relación es como señalé anteriormente: a través de un límite. Sin embargo, aparecen algunas diferencias sutiles, como el hecho de que las funciones propias en el dominio infinito se vuelven no normalizables y el espectro se vuelve continuo, pero físicamente sigue siendo bastante similar. Una vez más, puede jugar con la aproximación de celosía vacía (es decir, hamiltoniano con potencial constante) para comprender mejor las propiedades de estos problemas.

Es bueno que esté considerando preguntas como esta; Encuentro que este tipo de preguntas realmente obliga al estudiante a una comprensión más profunda de las matemáticas involucradas.

Entonces, ¿necesitamos alguna condición de contorno?

Sí, las condiciones de contorno deben considerarse como parte de la definición del hamiltoniano y su dominio. Diferentes condiciones de contorno pueden dar como resultado diferentes funciones propias/valores propios.

De alguna manera siento que estas condiciones de contorno de Born von Karmann no son necesarias en el sentido de que cualquier función propia de este operador de Schrödinger es automáticamente periódica con el período del potencial, ¿es esto cierto?

No, incluso con las condiciones BvK, esto no es cierto (consulte la respuesta de Steve B para ver ejemplos). Lo cierto es que (con BvK), la función de onda es periódica hasta un$e^{ikx}$fase. Sin BvK, ninguna de esas declaraciones es necesariamente cierta.

En ese caso: ¿Por qué queremos las condiciones de frontera de Born von Karmann? Mi problema con las condiciones de Born von Karmann es que encuentro que no son realmente condiciones de frontera, ya que no actúan sobre alguna frontera.

Un par de cosas:

1. La esperanza en la física del estado sólido es que, si tiene una región lo suficientemente grande y está calculando propiedades a granel, entonces los bordes forman una pequeña parte de su sistema en comparación con el volumen, por lo que los resultados no deberían depender mucho de qué condiciones de contorno que elija.

2. BvK son condiciones de contorno: dicen que la función de onda en el límite izquierdo del espacio es la misma que la función de onda en el límite derecho del espacio.

3. BvK son útiles, porque mantienen la simetría traslacional discreta del potencial [traducir por$a$y no pasa nada]. Esta es la simetría que representan las ondas de Bloch, y si elige condiciones de contorno que no conservan esa simetría, entonces no tendrá soluciones que reflejen esa simetría.

   • Si tomó algún otro conjunto de condiciones de contorno, por ejemplo, la función de onda llega a cero en ambos infinitos, entonces sus funciones propias (si existen) no serían ondas de Bloch. Podrían parecerse mucho a las ondas de Bloch en una región finita, pero tendrían que caer en algún punto. Por definición, las ondas de Bloch tienen la misma norma en cada celda unitaria.
   • BvK le proporciona funciones propias convenientemente normalizables, ya que su espacio es finito. No tiene que preocuparse por integrar hasta el infinito para los estados no vinculados y hacer que la norma explote.

En mi clase de física notamos que debido a estas condiciones de Born von Karmann, las posibles k's para el problema (que aparecen en las exponenciales) son discretas. ¿No está seguro de si esto se cumple automáticamente, incluso si no asumimos las condiciones de contorno de Born von Karmann? Es cierto que esto no es algo especial sobre BvK. Si diseñó el problema para que la red periódica fuera realmente grande pero finita y tomara las condiciones de contorno para ir a cero en el infinito, entonces encontraría un espectro discreto de estados enlazados en la región de la red que se parecen a los estados de Bloch en la profundidad de la red. pero luego se caen en los bordes. (Supongo que el potencial de la red es lo suficientemente fuerte como para tener estados ligados). Este es, por supuesto, un caso más realista que BvK, ya que los materiales sonfinito en el mundo real... pero no lo haces porque resolver las funciones propias se volvió bastante ridículo.

Luego dijimos que para cada k, la ecuación del operador de Schrödinger que se obtiene al insertar el ansatz del thoerem de Bloch o Floquet tiene un espectro discreto. ¿Es esto cierto? Si es así, ¿qué tiene que ver todo esto con las bandas, si todo es tan discreto? - ¿O simplemente llamamos a estas cosas bandas, ya que las k se acercan tanto que no podemos realmente resolver la estructura discreta?

Exactamente. Si tenemos bandas no degeneradas bien separadas, entonces la "banda" más baja es el conjunto de {para cada k, tome el valor propio más bajo}. La segunda banda más baja es entonces {para cada k, tome el segundo valor propio más bajo}. Etc. Dado que las k permitidas son tan cercanas que básicamente no se pueden resolver, cada banda parece un continuo de estados.