¿Qué queremos decir cuando decimos que algún hamiltoniano es invariante bajo rotaciones?

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¿Qué queremos decir cuando decimos que algún hamiltoniano es invariante bajo rotaciones?

curiosos

Antes de continuar con el examen de algunos ejemplos de precesión de espín, vale la pena comentar la dependencia temporal de los valores esperados. $(4.23),(4.28)$ , y (4.30). Primero, nótese de (4.16) que
$\frac{d}{d t} ⟨ S_{z} ⟩ = \frac{i}{ℏ} ⟨ ψ | [\hat{H}, {\hat{S}}_{z}] | ψ ⟩$ $\frac{d}{d t}\left\langle S_{z}\right\rangle=\frac{i}{\hbar}\left\langle\psi\left|\left[\hat{H}, \hat{S}_{z}\right]\right| \psi\right\rangle$ Podemos ver en la forma explícita del hamiltoniano (4.17), que es solo un múltiplo constante de $\hat{S}_{z}$ , eso $\hat{H}$ viaja con $\hat{S}_{z}$ y por lo tanto $\langle S_{z}\rangle$ es independiente del tiempo [como muestra (4.23)]. Es interesante considerar este resultado desde la perspectiva de la invariancia rotacional. En particular, con el campo magnético externo en el $z$ dirección, rotaciones sobre el $z$ eje deja el espín hamiltoniano sin cambios. Así el generador $\hat{S}_{z}$ de estas rotaciones debe conmutar con $\hat{H}$ , y en consecuencia de (4.31) $\langle S_{z}\rangle$ es una constante del movimiento. La ventaja de pensar en términos de simetría (una operación de simetría es aquella que deja el sistema invariante) es que podemos usar la simetría para determinar las constantes del movimiento antes de realizar los cálculos. También podemos saber de antemano que $\langle S_{x}\rangle$ y $\langle S_{y}\rangle$ debe variar con el tiempo. Después de todo, desde $\hat{S}_{x}$ y $\hat{S}_{y}$ generar rotaciones sobre el $x$ y $y$ ejes, respectivamente, y el hamiltoniano no es invariante bajo rotaciones alrededor de estos ejes, $\hat{H}$ no conmuta con estos generadores.

¿Cómo es un operador invariante (o no invariante) bajo otra operación? Creo que la redacción me confunde. ¿Qué queremos decir con "las rotaciones sobre el eje z dejan el hamiltoniano de giro sin cambios"? ¿Nos estamos refiriendo a la energía correspondiente del estado o simplemente estamos afirmando que el operador de rotación y el hamiltoniano conmutan, es decir, que el estado evolucionado en el tiempo de un estado rotado es igual al estado evolucionado en el tiempo rotado? Lo siento por la falta de claridad.

ZeroTheHero

¿A qué texto se refieren sus números de ecuación?

Respuestas (2)

¿Qué queremos decir cuando decimos que algún hamiltoniano es invariante bajo rotaciones?

Wihtedeka · Answer 1

Si tienes unitario $U^{-1} = U^{\dagger}$ transformación (independiente del tiempo) tal como $U(\varphi)=\exp\left[-\frac{i}{\hbar}\varphi\hat{S}_z\right]$ (el operador de giro en la dirección z es el generador de rotaciones alrededor del eje z), luego transforma el hamiltoniano a través de

H \to H^{'} = tu H {tu}^{†}

$H\to H' = UHU^{\dagger}$ (Esto es análogo a un cambio de base para una matriz). Ahora bien, si el hamiltoniano conmuta con el operador de espín

[H, S_{z}] = 0

$[H, S_z] = 0$ , entonces puede mover libremente el hamiltoniano en la expresión anterior, ya que puede usar la definición de serie del exponencial y luego el hamiltoniano puede moverse a través de cada término. Entonces verás que

H^{'} = H tu {tu}^{†} = H 1 = H

$H' = H UU^{\dagger} = H 1 = H$ por lo que el hamiltoniano es invariante bajo rotaciones sobre el eje z.

"Esto es análogo al cambio de base de una matriz". ¿Qué se entiende por "esto" aquí? Solo me parece ver un cambio de representación para una matriz.
Bueno, si el espacio de Hilbert es de dimensión finita, el hamiltoniano se puede expresar como una matriz y luego $U$ es simplemente una matriz unitaria. Por ejemplo, si está considerando girar $1/2$ partículas la dimensión será 2 y una rotación alrededor del eje x puede ser representada por $U(\varphi) = e^{-i/\hbar \varphi \hat{S}_x} = \begin{pmatrix}\cos(\varphi/2) & -i\sin(\varphi/2) \\ -i\sin(\varphi/2) & \cos(\varphi/2) \end{pmatrix}$ . Que es simplemente una matriz de rotación (excepto que ahora es un espacio vectorial complejo).

ZeroTheHero · Answer 2

Si $U$ es un operador unitario que actúa sobre estados en su espacio de Hilbert y representa la operación (u operaciones) bajo consideración, entonces $H$ es invariante si

H = {tu}^{†} H tu .

$H=U^\dagger H U.$ si representas

U

$U$ como una matriz de la misma dimensión que su espacio de Hilbert, entonces

U

$U$ transforma sus vectores base a una nueva base, y por lo tanto

U^{†} H U

$U^\dagger H U$ es el hamiltoniano expresado en esta nueva base.

Lo que es confuso es que el título de su pregunta se refiere a la invariancia bajo rotaciones, pero el texto se refiere a rotaciones sobre el $\hat z$ eje _ La rotación sobre $\hat z$ son de hecho un subconjunto de todas las rotaciones posibles (hay rotaciones sobre $\hat x$ y $\hat y$ , y de hecho rotaciones sobre ejes en direcciones arbitrarias.)

En el ejemplo de su texto, las rotaciones sobre $\hat z$ se dan (probablemente) de forma abstracta como $U(\theta)=e^{-i\theta L_z}$ . Ahora, la exponencial de un operador viene dada por su serie

{mi}^{- i θ L_{z}} = \hat{1} - i θ L_{z} + \frac{1}{2} θ^{2} L_{z}^{2} + \dots

$e^{-i\theta L_z}=\hat 1-i\theta L_z +\frac{1}{2}\theta^2 L_z^2+\ldots$ tan claro si

[L_{z}, H] = 0

$[L_z,H]=0$ luego luego

{mi}^{i θ L_{z}} H {mi}^{- i θ L_{z}} = H

$e^{i \theta L_z} H e^{-i\theta L_z}=H$ expandiendo ambas exponenciales:

\begin{aligned} {mi}^{i θ L_{z}} H {mi}^{- i θ L_{z}} = H + i θ [L_{z}, H] - \frac{1}{2} θ^{2} [L_{z}, [L_{z}, H]] + \dots \end{aligned}

$\begin{align} e^{i\theta L_z}H e^{-i\theta L_z}= H+i\theta[L_z,H]-\frac{1}{2}\theta^2 [L_z,[L_z,H]]+\ldots \end{align}$ (ver esta parte de wiki , aunque no es la notación más digerible).

Por el contrario, si $e^{i\theta L_z}H e^{-i\theta L_z}=H$ , entonces debe ser (salvo ejemplos intrincados que rara vez ocurren en la física) que $[L_z,H]=0$ , que le permite identificar un operador que se desplaza con $H$ . Por supuesto si $A$ y $B$ viajar con $H$ , esto no significa que $[A,B]=0$ .

Finalmente, si tienes un operador hermitiano $A$ de modo que $[A,H]=0$ , entonces puedes construir la transformación $U(\alpha)=e^{-i \alpha A}$ y viajará con $H$ . Esto es bastante útil cuando se puede identificar fácilmente a dicho operador. Entonces $U(\theta)$ generará un cambio de base que dejará $H$ sin cambios, es decir , generará transformaciones que dejarán $H$ invariante.

Otro ejemplo sería la paridad en un potencial simétrico. Entonces $P^\dagger H P=H$ desde $V(x)=V(-x)$ y el término cinético tampoco cambia. Esto le permite dividir su espacio de Hilbert en soluciones pares o impares.

La diferencia entre paridad y rotaciones es que las rotaciones dependen continuamente de un ángulo, por lo que uno puede escribir $U(\theta)=e^{-i \theta L_z}$ por algún ermitaño $L_z$ , mientras que no existe tal forma exponencial para la paridad. En otras palabras, no es posible recuperar algo como $L_z$ que viaja con $H$ por la paridad, incluso si $H$ es invariante bajo paridad y aún puede dividir el espacio de Hilbert en sectores pares/impares.

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