Movimiento y contradicción

Zeno dijo que una flecha no puede estar en movimiento, ya que ocupa una posición precisa en un momento preciso. Y por lo tanto está en reposo.

La física moderna resuelve esto afirmando que la flecha tiene impulso. Es su impulso lo que lleva de un lugar a otro. En cualquier momento preciso tiene una velocidad específica. Entonces no está en reposo.

Para simplificar nuestra presentación, reduzcamos la flecha a un punto y supongamos que se mueve en línea recta sin que actúen fuerzas sobre ella.

Entonces uno puede identificar los continuos del tiempo con los continuos de la línea.

Así que el movimiento es tiempo. Y el tiempo es movimiento.

Pero me parece que la paradoja del descanso permanece. Que en estas fotos es esto. Que un continuo de solo puntos en realidad no es un continuo. No hay cohesión .

Los estudios modernos de la línea real eliminan esta paradoja al estipular que está presente una topología y esto une los puntos. Uno, por supuesto, se da cuenta de que los puntos en realidad no son necesarios, solo el continuo mismo, esa es la topología.

Esa es una topología sin sentido (juego de palabras presumiblemente intencionado por el autor de la acuñación).

Esto luego elimina la primera prescripción de Zenos para poder especificar un momento exacto en el tiempo. En esta imagen esto no se puede hacer.

Pero si uno desea retener los puntos, podría intentar una lógica diferente, digamos diciendo que el punto es a la vez un punto y no un punto; esto se resuelve como falso en la lógica clásica, pero si uno descarta la ley del medio excluido, entonces esto no es asi. Siguiendo esta línea de pensamiento de la lógica intuicionista, se obtiene la noción de la línea infinitesimal rígida. Que no es un punto, es una línea, pero también es un punto, es infinitesimal.

¿Funciona esto como una solución para resolver la paradoja de Zenos?

En serio, ¿vamos a volver a litigar contra Zeno hoy? ¿Cuál es tu definición de un infinitesimal? No hay infinitesimales en el sistema de números reales. El análisis no estándar es altamente técnico. Y nadie realmente piensa que hay infinitesimales en el mundo físico. ¿Tienes una definición de infinitesimal que no sea "un punto y no un punto"?
@ user4894: para el análisis no estándar de Robinson, puede simplemente tomar una descripción axiomática de los reales no estándar más el principio de transferencia. No necesita el meollo de la teoría de modelos excepto para justificarlo, ¿y no hacemos lo mismo con los reales? ¿No empiezas a buscar en los fundamentos teóricos de conjuntos cuando miras el cálculo?
Yo no, pero otras personas tienen "Se supone que un espacio infinitesimal es un espacio cuya extensión es infinitamente pequeña, pero no necesariamente perfectamente pequeña". El punto de ponerlo en los términos que lo hice, fue conectarlo con el argumento de Zenós y Aristóteles.
sí, su punto es todo el camino hacia abajo. Mire @ Nassim Haramein - Crossing the Event Horizon para obtener un razonamiento más detallado detrás de esto
Mozibur, esto es totalmente irrelevante, pero he leído muchas de tus publicaciones y creo que necesitas esto :)
@user132181: Gracias, en serio :). Los apóstrofes son confusos, por lo que he seguido el último dicho : 'en caso de duda, no use un apóstrofe'. Intentaré tener más cuidado de ahora en adelante.
Aparte: la topología sin sentido tiene puntos; simplemente ingresan a la teoría de una manera diferente. Y una noción relacionada (y tópica) es la de germen .
@hurkyl: ¡buen punto! hay diferentes tipos de puntos además del 'punto sin extensión' de Euclides.
Otra visión moderna sobre Zeno y las distancias pequeñas, si está interesado: philpapers.org/archive/CTMPA.pdf

Respuestas (2)

En Aquiles y la tortuga , cuando Aquiles persigue a la tortuga, no está "contando" el punto en el espacio.

En el continuo del espacio lineal, los puntos no son entidades "aisladas": son cortes . Tenemos un "lugar antes" (es decir, todos los números antes de SQRT (2)) el corte, y un "lugar después" del corte (todos los números después de SQRT (2)) [este es el análisis de Dedekind del continuo : ver The Continuum y lo infinitesimal en el siglo XIX ].

Aquiles alcanzará a la tortuga simplemente corriendo (por ejemplo) dos veces más rápido que la tortuga: no necesitamos suponer que tiene que correr cada vez más rápido ("cuenta los números naturales contando más y más y más rápido").

Necesitamos usar un dispositivo para medir el progreso de la carrera: si usamos el latido del corazón, y asumimos que la tortuga comienza un latido antes que Aquiles, después del primer intervalo de tiempo dt , ella [¿él, eso?] habrá recorrido un cierta cantidad de espacio ds . Con el segundo latido del corazón, Aquiles se pondrá en marcha y suponemos que corre el doble de rápido que la tortuga. Después del segundo latido del corazón (es decir, después de 2 x dt ), tanto Aquiles como la tortuga habrán recorrido un espacio igual a 2 x ds . Después del tercer latido, Aquiles habrá superado definitivamente a la tortuga (habrá recorrido 4 x ds , mientras que la tortuga sólo ha recorrido 3 x ds ): esto ha requerido un tiempo finito (3 xdt ) y sin necesidad de una velocidad de "aumento ilimitado".

Si modelamos la carrera con el continuo matemático no debemos cometer el error de describir el progreso del corredor como hecho de movimientos sucesivos desde un punto hasta "el siguiente": en la recta numérica real, un punto no tiene "siguiente".

Podemos decir que Aquiles ganará porque no está contando el punto en el espacio; él está "atravesando" intervalos en el tiempo.

Mi "sentimiento" personal con esta paradoja es el mismo que la solución propuesta en las paradojas de Wiki Zeno :

Pat Corvini ofrece una solución a la paradoja de Aquiles y la tortuga al distinguir primero el mundo físico de las matemáticas abstractas utilizadas para describirlo. Ella afirma que la paradoja surge de un cambio sutil pero fatal entre lo físico y lo abstracto. El silogismo de Zenón es el siguiente:

P1: Aquiles primero debe atravesar un número infinito de divisiones para llegar a la tortuga;

P2: es imposible para Aquiles atravesar un número infinito de divisiones;

C: por lo tanto, Aquiles nunca podrá superar a la tortuga.

Corvini muestra que P1 es una abstracción matemática que no se puede aplicar directamente a P2, que es una declaración sobre el mundo físico. El mundo físico requiere una cantidad de resolución utilizada para distinguir la distancia, mientras que las matemáticas pueden usar cualquier resolución.

Ver también Zeno's Paradox para más referencias y Wesley Salmon, Zeno's Paradoxes , (2nd Ed - 2001).

¡Gran respuesta! Eliminé el mío porque el tuyo es mejor.
Los cortes de Dedekind son solo una forma de construir la línea real a través de los racionales. Podrías usar la finalización de Cauchy. La finalización se trata de puntos: no falta ningún punto de una manera definida con precisión.
Si la topología en la línea es discreta , entonces no hay una idea sensata de moverse de un punto a otro; recuerde que un espacio discreto está extremadamente desconectado ; lo que estoy tratando de señalar en la pregunta, o al menos una parte de ella es esto, es que la topología o la cohesión son importantes, lo que no se ve en la solución estándar.
Tampoco estoy hablando de puntos como en la definición clásica; de no tener extensión alguna; sino como una extensión infinitesimal: un punto que no es un punto clásico, sino que en cierto sentido es simplemente pura extensión.
Aunque no es el problema particular de Zeno que estaba discutiendo; se puede resolver de manera bastante directa usando la geometría plana sintética de Euclides: dos líneas rectas que no son paralelas deben encontrarse en un punto, usar esto como modelo para el problema nos da el tiempo t cuando Aquiles pasa corriendo junto a la tortuga; y rehacerlo en la geometría analítica de Descarte nos da la misma respuesta, siempre que usemos la topología clásica de la línea real; usar la topología discreta significa que no hay prueba de que las líneas se intersecan, ya que la topología no está conectada .
Piense en el teorema del valor intermedio utilizado para construir la teoría del análisis real: falla con la topología discreta.
Mi punto de vista es el mismo para ambas paradojas (Aquiles y la flecha): se trata de un modelo físico de movimiento, basado en la velocidad que se mide, según la definición de Galileo: "como la distancia recorrida por unidad de tiempo". En física medimos la velocidad "contando" intervalos de tiempo (el latido del corazón: Galileo fue el primer físico capaz de medir pequeños intervalos constantes de tiempo cuando no había relojes fiables; era hijo de músicos y, según Stillman Drake reconstrucción, usó el metrónomo). Entonces el movimiento no se modela como una sucesión de... 1/2
... salta de un punto al siguiente (este es el núcleo de las paradojas de Zenón). Por supuesto, puedes vencer la paradoja de Zeno desde el lado matemático (como lo hizo Russell): la suma de la serie infinita: 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... es la suma de un número infinito de cantidades pero todavía es finito (esta es la vista desde el cálculo), pero prefiero el modelo físico de movimiento. 2/2
@allegranza: Sí, estoy de acuerdo en que lo importante es la noción física del movimiento. Lo que estoy cuestionando es la noción de movimiento instantáneo en un instante sin duración , físicamente creo que esto no puede ser correcto, y creo que Aristóteles hace el mismo punto; sin embargo, esto no significa que no lo crea. es muy útil, lo es ; pero esto es como modelar la tierra como un objeto perfectamente esférico, no lo es, por supuesto, pero la representación matemática como tal es útil.
La velocidad que medimos es física : espacio recorrido en un intervalo de tiempo. La velocidad instantánea es una noción matemática: el límite de la relación Ds/Dt cuando Dt tiende a cero.
Claro, cuando medimos la velocidad de un objeto es durante un intervalo de tiempo. De todos modos, la discusión que estoy tratando de tener es complicar la lectura habitual de lo que significa un continuo, esto de ninguna manera invalida la discusión habitual de las paradojas de Zenos en términos de cálculo. Hay más de una manera de fabricar un infinitesimal.

La solución sugerida es muy similar al argumento de Whitehead presentado en la Parte I de Proceso y realidad y presupuesta en la Teoría de la extensión en la Parte IV. Si recuerdas de Aims of Education , sostiene que una línea es un "punto en movimiento", mientras que un "plano es una línea en movimiento ". Junto con el trabajo de von Neumann sobre anillos matemáticos, Whitehead se basa en un continuo, sin puntosgeometría proyectiva de dimensión no finita. Las "extensa" o estructuras extensivas de Whitehead son lógica y metafísicamente anteriores al tiempo y al espacio como sistemas relacionales topológicos (matemáticamente hablando, pueden verse como espaciales, pero esto pertenece al "razonamiento espacial"). Esto permite la apertura en la que la "relatividad universal" (que no debe confundirse con la de Einstein como una sola aplicación) y la "atomicidad" son compatibles. El escribe:

Las criaturas son atómicas [es decir, indivisas]. En la presente época cósmica hay una creación de continuidad. Tal vez tal creación sea una verdad metafísica última que sostenga todas las épocas cósmicas, pero esto no parece ser una conclusión necesaria. La opinión más verosímil es que la continuidad extensiva es una condición especial que surge de la sociedad de las criaturas que constituyen nuestra época inmediata ( PR , 35-6).

Esta compatibilidad permite el "devenir de la continuidad" y no una "continuidad del devenir" como se supone en la paradoja de Zenón. En las condiciones de nuestra época

La extensa continuidad del universo físico generalmente se ha interpretado en el sentido de que hay una continuidad del devenir. Pero si admitimos que 'algo se vuelve' [en el sentido físico], es fácil, empleando el método de Zenón, probar que no puede haber continuidad en el devenir. [Donde estamos hablando exclusivamente de la forma en que las entidades actuales, consideradas físicamente más que lógicamente, dividen el continuo extenso, hay un devenir de continuidad, pero no una continuidad de devenir. [Bajo esos supuestos, las ocasiones reales son las criaturas que se convierten, y [en la misma medida, en el sentido físico solamente] constituyen un mundo continuamente extenso. En otras palabras, [físicamente hablando] la extensión se vuelve, pero el 'llegar a ser' no es en sí mismo extenso ( PR, 35).

Por lo tanto, la paradoja de Zeno es una "falacia matemática" como explica Whitehead:

En su 'Aquiles y la tortuga', Zenón produce un argumento inválido debido a la ignorancia de la teoría de las series numéricas convergentes infinitas. Eliminando los detalles irrelevantes de la carrera y del movimiento , detalles que han hecho que la paradoja sea apreciada por la literatura de todas las épocas , considere el primer medio segundo como un acto de devenir, el siguiente cuarto de segundo como otro acto similar, el siguiente octavo. segundo como otro más, y así indefinidamente. Entonces, Zenón asume ilegítimamente que esta serie infinita de actos de devenir nunca puede agotarse.Pero no hay necesidad de suponer que una serie infinita de actos de devenir, con un primer acto, y cada acto con un sucesor inmediato,† es inagotable en el proceso de devenir. La aritmética simple nos asegura que la serie recién indicada se agotará en el período de un segundo. El camino queda entonces abierto para la intervención de un nuevo acto de devenir que se encuentra más allá de toda la serie. Así, esta paradoja de Zenón se basa en una falacia matemática. La modificación de la paradoja de la 'Flecha', expuesta anteriormente, saca a relucir el principio de que todo acto de devenir debe tener un sucesor inmediato, si admitimos que algo deviene. Porque de lo contrario no podemos señalar en qué criatura se convierte cuando entramos en la segunda en cuestión. Pero no podemos, en ausencia de alguna premisa adicional, infiero que todo acto de devenir debe haber tenido un antecesor inmediato. La conclusión es que en todo acto de devenir hay el devenir de algo con extensión temporal; sino que el acto mismo no es extensivo, en el sentido de que es divisible en actos de devenir anteriores y posteriores que corresponden a la divisibilidad extensiva de lo que ha devenido (PR , 69, énfasis añadido).

Whitehead habla como si la continuidad del devenir fuera natural y obvia, y Zeno muestra que no lo es. Valdría la pena explicar esto con más detalle.
Revisé mi respuesta y agregué la cita completa de Whitehead sobre Zeno para que sea explícito. Creo que es un argumento bastante bueno que no había escuchado hasta hace unos tres años. Algo a tener en cuenta al menos. Gracias por otra gran pregunta y espero la aclaración de lo que Whitehead pensó sobre esto como matemático y luego como metafísico.
@Mozibur, dice específicamente que NO hay continuidad en el devenir. Por lo tanto, no es "natural y obvio" en la forma en que hay un devenir de continuidad. Sigue la noción de Locke de "perpetuo perecer" para describir los procesos de transición y concrescencia que hacen que la realidad sea "incurablemente atómica". Por eso es famoso por la explicación de que experimentamos "gotas de experiencia".
Me estaba centrando en esta parte de su exposición: "La continuidad extensiva del universo físico generalmente se ha interpretado en el sentido de que hay una continuidad del devenir".
Oh, está bien. Bueno, pensó que esa era la lente común a través de la cual la mayoría entiende el movimiento. Se queja de que la noción de "resistencia" de Descartes ha hecho mucho daño dado su significado "superficial". Él escribe en la página anterior: "La dificultad no se evade suponiendo que algo se convierte en cada instante de tiempo no extensivo. Porque al comienzo del segundo de tiempo no hay un instante siguiente en el que algo pueda convertirse".
La idea matemática de la línea infinitesimal pensada temporalmente está, creo, en la línea de Whiteheads. Él dice 'La conclusión es que en cada a del devenir hay el devenir de algo con extensión temporal' pero 'ese acto no es extensivo' en el sentido de que 'es divisible', pues la línea infinitesimal apunta en potencia al pasado, y en potencia al futuro, y en sí mismo no es divisible en nada propiamente más pequeño. Creo que es interesante que, en una línea de argumentación sobre esto, se base específicamente en prescindir de la 'ley de no contradicción'.
y es interesante simplemente porque la ley de no contradicción es prácticamente un principio absoluto en lo que respecta a los fenómenos físicos reales. Y aquí vemos que se prescinde de él con el movimiento más simple.
@Jackson: está bien, veo cómo está usando a Zeno para descartar la continuidad del devenir , presumiblemente esta es la idea de Descart de que algo persiste .
¡Lo tienes, Mozibur! Y es por eso que dije que estoy de acuerdo con su enfoque en la pregunta: es la forma factible de abordarlo. También tiene razón en que Whitehead solo acepta la Entrega y la Libertad como "absolutos" en el sentido pleno y está en guardia contra "la noción de un ideal [que] surge de la desastrosa sobremoralización del pensamiento bajo la influencia del fanatismo o la pedantería". . La noción de un ideal dominante propio de cada entidad actual es platónica [no Platón]" (PR, 84). Para mí, es un uso genial de Zeno porque le da a Zeno el crédito que se merece mientras critica el enigma.
No estoy seguro si dije eso del todo, pero dado que estoy de acuerdo con ello, tal vez estaba implícito en mi 'discurso', siendo la Entrega lo que es , y la Libertad, el Devenir. Y absolutos, ya que son irreductibles a nada menos. ¿Se vincula Whitehead con el discurso de Hegel sobre el devenir? Estoy tratando de ver dónde encaja su filosofía con el discurso angloamericano, ya que parece desviarse bastante de lo que ahora se considera como tal. Al ver que mencioné la topología sin sentido como una innovación contemporánea, parece que Whitehead fue su instigador como en la mereotopología.
¡Eso es correcto! Estoy tan contenta de que estés haciendo estas conexiones porque es cierto que yo, junto con otros, luchamos por descifrarlo todo. He leído un poderoso capítulo de libro que hace la afirmación textual de que su mereotopología y teoría del espacio son de hecho lo que dices. Los informáticos están investigando si la teoría de la extensión de Whitehead tiene una base metafísica para la visión robótica, así que estoy muy emocionado de ver estos campos divergentes en la conversación. Sí, creo que estaba implícito en tu respuesta y así lo leí. Agradezco su trabajo. ¡Esta fue otra pregunta emocionante para mí!
Desprecia a Hegel, pero hay conexiones obvias. Consulte el capítulo de Robert Cummings Neville sobre el tema en su libro The Highroad Around Modernism. ¡Este es un libro realmente bueno y Neville es un gran filósofo amable! Él es el ex decano de la Escuela de Teología de la Universidad de Boston.
@Jackson: la prosa de Whitehead es difícil, porque asume modismos filosóficos con los que no estoy familiarizado; y presumiblemente tampoco es un idioma contemporáneo, aunque la situación matemática y física es clara (en la medida en que puede serlo). Gracias por el consejo del libro, lo buscaré cuando tenga la oportunidad. Me interesaría saber un poco más sobre la historia de la filosofía en Europa entonces, ya que Russel, socio de Whiteheads en Principia , parece ser una figura clave en el giro de la filosofía anglo-amex por el camino analítico.
Es desconcertante que fueran colaboradores tan cercanos cuando sus filosofías eran tan diferentes. O tal vez no, también alude al atomismo.
@Jackson: Volviendo a la prosa de Whitehead, me resulta útil ver lo que su prosa podría significar potencialmente y filosóficamente, como lo has hecho tú. También ilumina la forma en que funciona el lenguaje filosófico actual, es decir, Giviness & Freedom.
Sí, Whitehead fue el maestro de Russell y quedó impresionado con el joven. Aunque siempre tuvo sus dudas sobre el proyecto Principia estuvo intensamente involucrado hasta 1910 y el cuarto volumen nunca apareció. Si lee su correspondencia (alguna de la cual ha sido publicada), verá que Whitehead piensa que Russell es deshonesto y un filósofo terrible. Es una de las razones por las que leía filosofía sin saber nada de literatura secundaria. En realidad, fue Whitehead quien advirtió a su alumno que está arruinando la reflexión filosófica y empobreciéndola. Tenían una relación divertida.
Sí, varios matemáticos me han dicho que Whitehead es pura poesía con una matemática sólida detrás y puedo ver eso. Pero soy muy afortunado de haber tenido grandes maestros que me ayudaron a luchar con eso durante años. Es muy difícil, sobre todo si te has formado en tantas otras áreas como yo. Para poder leer Whitehead es necesario romper un montón de malas lecturas, que eran necesarias para poder crecer. Whitehead no solo te hará releer a todos, sino con ojos frescos y animados. ¡Valió la pena la lucha y el esfuerzo para mí!
@Jackson: ok, eso encaja con el despido de Russell de la Filosofía de la Antigüedad, y Wittgenstein fue estudiante de Russell... posiblemente más empobrecimiento allí. El Tractatus, su filosofía temprana, no menciona ningún antecedente por su nombre , presumiblemente, viéndose a sí mismo como sui generis ; posiblemente recogiendo los malos hábitos de Russell en relación con la Tradición; Whitehead entiende que en matemáticas lo aximático es un contingente, mientras que Russell & Wittgenstein lo toman como un Fin.
Exactamente. La respuesta de Whitehead a la filosofía del lenguaje en el sentido de Wittgenstein es un tema importante para mí y he escrito sobre él. Él lo ve con bastante dureza, pero de una manera que puede decir que lo ha hecho: trabajó con Russell y vio cómo funciona. También existe una afinidad similar entre Russell y Wittgenstein en esa dinámica de maestro-alumno. ¡Conexiones sólidas, Mozibur!
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