¿Por qué la objeción de Aristóteles no se considera una resolución a la paradoja de Zenón?

La solución de Aristóteles fue ampliamente aceptada hasta finales del siglo XIX, cuando Cantor y Dedekind formalizaron la noción de continuo en términos de la teoría de conjuntos. Según su interpretación, el tiempo se compone de hecho de ahoras indivisibles, al igual que una línea se compone de puntos, y cualquier otra magnitud se compone también de elementos indivisibles. No significa que Aristóteles esté "equivocado", pero sí significa que su interpretación del tiempo/continuo está en desacuerdo con las matemáticas modernas y, por lo tanto, su utilidad se ve gravemente disminuida. Dado que las matemáticas se utilizan para describir el tiempo y el movimiento en las teorías físicas, se preferiría una solución que se adapte a sus premisas.

Por supuesto, los problemas de movimiento puramente matemáticos se resuelven mediante cálculo, pero desde un punto de vista filosófico, la naturaleza de la velocidad instantánea, una sombra de movimiento donde no puede haber movimiento, es desconcertante. Y el hecho de que incluso la descripción física clásica no requiera el espacio físico sensible, sino el espacio de configuración oculto con el doble de dimensiones (para dar cuenta de las velocidades y hacer que la flecha de Zenón se mueva) es aún más desconcertante. Cuando se trata de tiempo, posición y velocidad, las cosas se vuelven aún más desconcertantes en la teoría cuántica.

Pensando en retrospectiva, uno se da cuenta de que la solución de Aristóteles siempre fue incompleta: dice lo que no es el tiempo, lo cual es suficiente para descartar la paradoja, pero no lo que es, lo que se necesita para explicar los enigmas del movimiento que la originan. Bajo diferentes suposiciones, las teorías físicas dan respuestas mucho más precisas y detalladas. Es posible que alguna teoría futura reivindique a Aristóteles de alguna manera, pero su descripción del tiempo tendría que ser mucho más elaborada que la suya.

¿Cómo aborda realmente el problema? No hay argumento en la pregunta misma de que el tiempo esté compuesto de puntos de ninguna manera. De hecho, cada uno de estos puntos en el tiempo en los que muestreamos las distancias existe, y podemos tomar cada una de estas proporciones de distancias. Así que este argumento pierde el punto por completo.

De hecho, en Análisis no estándar hacemos exactamente eso, simplificando Cálculo construyendo elementos infinitesimales y modelando un continuo que de hecho está formado por puntos que de hecho suman la magnitud, por lo que sabemos que esta forma de ver la geometría es no es realmente malo en un sentido absoluto.

El problema es dividir cero por cero y obtener un número definido distinto de cero y no infinito. De alguna manera, esto es lo suficientemente inquietante como para que la solución simulada que no involucra el argumento en absoluto fuera más aceptable para el pensamiento antiguo y medieval.

Pero, dado que personas como Arquímedes de Perge, Albertus Magnus y Newton, estamos acostumbrados a la idea de que el continuo simplemente se cura naturalmente sobre la división por cero y permite que los límites de las proporciones estén bien definidos.

Todavía es un lugar donde uno puede quedar atrapado fácilmente en tonterías, si no lo maneja con mucho cuidado, por lo que, aunque aceptemos una solución para él, merece ser señalado como territorio problemático, y llamarlo una paradoja no lo es. fuera de servicio.

Aristóteles sí parece razonar sobre el tiempo con un modelo matemático (magnitud geométrica) diferente al que se suele utilizar hoy en día (número real). Esto no está tan reñido con las matemáticas modernas como con la forma en que se modela el tiempo en la física moderna.

Los números reales (y la teoría de la medida) conducen a sus propias paradojas, como la de Banach-Tarski (no directamente relacionada con las magnitudes lineales, pero famosa ). Las restricciones en cómo se practicaba la geometría clásica no admitían la división de una magnitud en indivisibles, sino solo en magnitudes más pequeñas. Esto puso una especie de barrera a las resoluciones más modernas de la paradoja, una barrera que fue derribada por el cálculo. Pero mientras estas restricciones permitieron paradojas como la de Zeno, también suprimieron las paradojas inherentes a la teoría de la medida.

La resolución de Aristóteles y Tomás de Aquino se aplica al modelo de tiempo de magnitud geométrica (en el que una magnitud no se puede dividir en indivisibles) pero no al modelo moderno de cálculo/número real de tiempo (en el que una magnitud se puede dividir en indivisibles y recuperar vía integración o medida). Sin embargo, un modelo matemático más nuevo puede resolver algunas viejas paradojas del mismo modo que introduce otras nuevas.

Si quisiera estar en desacuerdo con Aristóteles, lo haría por los siguientes motivos.

En las matemáticas modernas, sabemos cómo adjuntar muchos más datos a puntos individuales; p.ej

• En física, en cualquier instante, las partículas tienen impulso. Las leyes físicas relacionan el momento con cómo cambia la posición
• De manera similar, en geometría diferencial, cada punto tiene un espacio cotangente : los datos del espacio cotangente nos dicen la velocidad a la que varía una función
• De manera más general, cada punto tiene un tallo : el germen de una función en un punto es información suficiente para decirnos todo sobre la función en todo un entorno abierto del punto. (aunque no lo grande que es el barrio)

y hemos estudiado bien cómo ensamblar datos en puntos individuales en un todo continuo.

Podemos insistir en que en cada instante -cada "ahora indivisible"- no nos limitamos a saber con precisión dónde está algo, sino todo su germen de movimiento. Y en consecuencia, podemos estudiar el movimiento como un continuo de "ahoras indivisibles".

Dicho esto, creo que esta objeción es más un tecnicismo que estar en desacuerdo con el espíritu de la posición de Arquímedes. Mi intuición es que las ideas anteriores (y más) están dando cuerpo a una noción "difusa"* de punto que de alguna manera tiene una extensión a pesar de que** solo es un punto. Y en cierto sentido estos puntos borrosos aún logran ser "divisibles"; por ejemplo, pasando del tallo a la fibra. (es decir, olvidar el "germen" del movimiento y recordar únicamente la posición en ese instante).

Una interpretación más caritativa es que esta noción confusa de punto todavía satisface el espíritu de la posición de Aristóteles.

*: Sin relación con la lógica difusa

**: Algunos incluso lo manejan de manera más transparente, como la forma en que el análisis no estándar crea alrededor de un punto estándar un halo completo de puntos no estándar "infinitesimalmente cercanos".

Además, para ampliar algo que mencioné en otro comentario, objetaría la objeción anterior de todos modos, con el argumento de que todavía necesita más que "puntos y datos adicionales", es decir, todavía hay información adicional (como una topología) que codifica cómo los puntos mismos se relacionan entre sí. Esta información adicional es al menos tan importante (y posiblemente más importante) que los puntos mismos.

El siguiente es en realidad el contenido de una pregunta hecha aquí ; pero que tiene relación con la pregunta anterior:

Zeno es bien conocido como el narrador de Aquiles y la tortuga y cómo la tortuga nunca atrapa a Aquiles; lo cual está en contra de nuestra experiencia; la cuestión de cómo cuadrar estas dos nociones generalmente recae en la teoría de las series infinitas; y esto es, de hecho, solo una formalización de la siguiente observación física :

Que la secuencia de desplazamientos que mueve Aquiles es una serie infinita; que sabemos que la suma total de estos desplazamientos debe sumar una suma finita (ya que su camino y el de las tortugas finalmente se cruzan); la formalización de esto matemáticamente se llama técnicamente el teorema de convergencia monótona

Sin embargo, cuando nos dirigimos a la aparición de Zenós en Platón Parménides , encontramos a Sócrates diciendo que:

Veo, Parménides, que a Zenón le gustaría ser no sólo uno contigo en la amistad, sino también tu segundo yo en sus escritos; él pone lo que dices de otra manera, y quisiera hacer creer que nos está diciendo algo que es nuevo.

a lo que elabora

Pues tú, en tus poemas , dices que El Todo es uno, y de esto aduces excelentes pruebas; y él en cambio dice No hay muchos; y en nombre de esto ofrece evidencia abrumadora. Tú afirmas la unidad, él niega la pluralidad. Y así engañas al mundo haciéndole creer que estás diciendo cosas diferentes cuando en realidad estás diciendo casi lo mismo. Esta es una variedad de arte más allá del alcance de la mayoría de nosotros.

Lo cual difícilmente parece ser el contenido del argumento anterior; porque allí se niega la pluralidad , y cuál parece ser el corazón de las preocupaciones de Zenós según Sócrates.

nota :

Una posible sugerencia es que tanto el movimiento en términos de desplazamiento como de tiempo se midan usando la línea real; y esto concebido como una pluralidad de puntos no permite movimiento alguno. Porque ¿cómo puede uno moverse de un punto a otro? Porque entre un punto y otro hay un vacío .

Esto suena poco natural y poco intuitivo; pero considere la línea real con lo que se llama la topología discreta donde:

los puntos forman una secuencia discontinua, lo que significa que están aislados entre sí en cierto sentido

Visualmente, es como si lleváramos una lupa a la línea y viéramos un vacío entre los puntos (por supuesto, es una lupa con un poder de aumento anormalmente alto y que no se encuentra en ninguna tienda de la calle); sugestivamente también se llama la línea totalmente desconectada . La topología une así toda la pluralidad de puntos en una unidad; disipa el vacío; y permite el movimiento.

Hay una diferencia entre un punto y un indivisible. Supongo que lo importante es considerar la distinción. La salida fácil aquí es considerar un punto como un objeto sin magnitud e indivisible como un objeto con magnitud. Si afirmamos que una línea está formada por puntos, eso significará que una cadena de infinitos ceros se sumará a una unidad, lo cual es claramente incorrecto. Pero con los indivisibles como objetos con magnitud como también los usó Arquímedes, entonces sumarán una unidad. Este es un problema de la época de Newton, pero se remonta a Arquímedes, quien nunca tuvo que aclarar la definición de límite y tal vez nunca intentó definirlo.

Para mí, la forma más clara de resolver esta famosa y aparentemente profunda paradoja se encuentra en el cálculo infinito moderno que se puede expresar claramente usando el símbolo dx de Leibnitz. Entonces, en resumen, Zenón "describe" el desplazamiento de una trayectoria en línea recta como: 0 + 0 + 0 + ..(infinitely many).. + 0 = 0, mientras que la manera honesta y sensata de "describir" lo mismo es: dx + dx + dx + ..(infinitely many).. + dx = a finite number(en relación con nuestro mundo), es decir, una integral definida ∫dx = finite number.

Entonces, en este sentido, la explicación de Aristóteles está en el camino correcto pero carece de rigor en comparación con el cálculo, el movimiento se acumula mediante la medición (integración), no la cuenta infinita de instantes.

Pero la parte realmente difícil es nuestra muy limitada comprensión incompleta del continuo, hasta después de que Dedekind, Cantor, Lebesgue, Baire et al. Ahora sabemos más sobre la aparente diferencia entre racionales e irracionales a través de las categorías de Baire. Entonces, este es un ejemplo que muestra que el empirismo no puede explicar cómo los seres humanos pueden descubrir o inventar este tipo de noción que solo parece sensato visualizarla bajo un nivel extremadamente abstracto y trascendental más allá de nuestro mundo comúnmente experimentado. "dx" no tiene sentido para nuestros órganos sensoriales, similar a los fenómenos en la Mecánica Cuántica...